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Estimação de parâmetros Aula 05 Prof. Christopher Freire Souza Centro de Tecnologia Universidade Federal de Alagoas www.ctec.ufal.br/professor/cfs.

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1 Estimação de parâmetros Aula 05 Prof. Christopher Freire Souza Centro de Tecnologia Universidade Federal de Alagoas

2 Objetivos Desenvolver habilidades para estimar valores de parâmetros Promover o entendimento do que são intervalos de confiança Desenvolver habilidades para estimar tamanhos amostrais 2 Christopher Souza: Estimação de parâmetros

3 Relevância do conteúdo Estimação de parâmetros serve a dois propósitos: Comparar populações Ajustar modelos de distribuição de probabilidades a dados amostrais no intuito de permitir interpolações e extrapolações sobre freqüências de ocorrência de valores. Christopher Souza: Estimação de parâmetros 3

4 Conteúdo Características dos estimadores Estimação Pontual Intervalos de confiança Margem de Erro Tamanhos amostrais 4 Christopher Souza: Estimação de parâmetros

5 Características dos estimadores Consistência – Ausência de viés – Eficiência – Christopher Souza: Estimação de parâmetros 5

6 Estimadores pontuais Método gráfico Método dos momentos Método dos mínimos quadrados Método da máxima verossimilhança Christopher Souza: Estimação de parâmetros 6

7 Método gráfico Papéis de probabilidade e posição de plotagem definida via estimativa empírica de probabilidade Christopher Souza: Estimação de parâmetros 7 0,50

8 Método gráfico Ajuste de reta aos dados dispostos segundo fórmula de posição de plotagem (q i é a probabilidade empírica) Christopher Souza: Estimação de parâmetros 8 0,50

9 Método gráfico Estimativa de parâmetros a partir da relação entre equação da reta e variáveis dispostas nos eixos Grigorten: q i =(i-0,44)/(n+0,12) Gumbel: Inversa: Christopher Souza: Estimação de parâmetros 9

10 Método gráfico Grau de linearidade dos dados dispostos no gráfico serve à avaliação do ajuste ao modelo de distribuição para o qual foi elaborado o papel de probabilidade Quantidade de dados pode levar as posições de plotagem de probabilidades a valores que mais aproximem dados à reta Grigorten: q i =(i-0,44)/(n+0,12) Christopher Souza: Estimação de parâmetros 10

11 Método dos Momentos Aproxima-se a estimativa de parâmetros populacionais por meio de estimativas de momentos amostrais. Os m coeficientes de um modelo de distribuição de probabilidades podem ser aproximados pelas equações dos m primeiros momentos amostrais. Christopher Souza: Estimação de parâmetros 11

12 Método dos Momentos AmostraMédiaMedianaAmp.Var.stdProp. Ímpar Prob. 1,11,0 00,0 11/9 1,21,5 10,50,7070,51/9 1,53,0 48,02,82811/9 2,11,5 10,50,7070,51/9 2,22,0 00,0 01/9 2,53,5 34,52,1210,51/9 5,13,0 48,02,82811/9 5,23,5 34,52,1210,51/9 5,55,0 00,0 11/9 Média amostral 8/3 16/926/91,32/3 Média populacional 8/32426/91,72/3 Sem ViésSimNão SimNãoSim Christopher Souza: Estimação de parâmetros 12

13 Método dos Mínimos Quadrados Estimação dos coeficientes de um modelo de distribuição, e.g., ŷ i =a+b. x i, para minimizar os quadrados das diferenças (e i ) entre valores de frequências amostrais (y i ) e estimadas por meio de funções densidade de probabilidades ( ŷ i ). Estimativa de coeficientes a partir de valores de mínimas diferenças a partir de: Christopher Souza: Estimação de parâmetros 13

14 Método da Máxima Verossimilhança Função de verossimilhança definida como a probabilidade conjunta de obter coincidentemente/concomitantemente a melhor aproximação da função para a definição do coeficiente O valor do coeficiente que resulta nas melhores estimativas é obtido para um valor de máximo da função de verossimilhança, sendo estimado a partir do seu valor para quando a derivada é nula. É frequente o emprego do logaritmo Christopher Souza: Estimação de parâmetros 14

15 Método da Máxima Verossimilhança A solução de funções de máxima verossimilhança por vezes demanda esforço formidável Uma alternativa tem sido a aplicação de soluções iterativas que consistem em adequar a equação para uma expressão do tipo, quando originalmente se apresentava a equação A estratégia consiste em adotar valor para x e identificar quando (x) se aproxima de x, alterando o valor de x iterativamente. Christopher Souza: Estimação de parâmetros 15 f(x) = (x) – x (x) = x

16 Comparação de métodos Máxima verossimilhança sugere parâmetros considerados mais eficientes. Para pequenos tamanhos de amostra, a qualidade do estimador é comparável ou inferior ao de outros métodos. Métodos dos momentos são mais simples, mas seus parâmetros apresentam qualidade inferior para funções com 3 ou mais parâmetros. Christopher Souza: Estimação de parâmetros 16

17 Caso em estudo: Paraná em Itaipú Desenvolvido por Gláucia Nascimento e Christopher Souza Séries de vazões naturais para anos hidrológicos de cheias entre 1962 e 2006 Ajuste do modelo GEV a máximos anuais Uso da função gevfit para sugestão de valor inicial dos coeficientes Modificação dos coeficientes pela soma dos valores apresentados na legenda Christopher Souza: Estimação de parâmetros 17

18 Caso em estudo: Paraná em Itaipú Christopher Souza: Estimação de parâmetros 18

19 Intervalos de confiança Christopher Souza: Estimação de parâmetros 19 Estamos 95% confiantes de que o intervalo ± E contém o valor de

20 Intervalos de confiança (proporção) Requisitos: Amostra aleatória simples. Condições para a distribuição binomial satisfeitas. Haver pelo menos 5 sucessos e 5 fracassos, o que permite aproximar pela distribuição normal Associa-se um grau de confiança, e.g. 95%, de que o valor do parâmetro de proporção esteja inserido no intervalo construído a partir da proporção amostral Christopher Souza: Estimação de parâmetros 20 PopulaçãoInfinitaFinita Margem de Erro Tamanho da Amostra

21 Intervalos de confiança (, para conhecido) Requisitos: Amostra aleatória simples. Teorema do limite central (Normal se não houver outlier e histograma ~ forma de sino) Associa-se um grau de confiança, e.g. 95%, de que o valor do parâmetro de média esteja inserido no intervalo construído a partir da média amostral Christopher Souza: Estimação de parâmetros 21 PopulaçãoInfinitaFinita Margem de Erro Tamanho da Amostra

22 Intervalos de confiança (, para desconhecido) Requisitos: Amostra aleatória simples. Teorema do limite central (Normal se não houver outlier e histograma ~ forma de sino) Associa-se um grau de confiança, e.g. 95%, de que o valor do parâmetro de média esteja inserido no intervalo construído a partir da média amostral Christopher Souza: Estimação de parâmetros 22 Margem de Erro População infinita População finita

23 Intervalos de confiança ( ² ) Requisitos: Amostra aleatória simples. Distribuição normal mesmo para grandes amostras Associa-se um grau de confiança, e.g. 95%, de que o valor do parâmetro de variância esteja inserido no intervalo construído a partir da variância amostral Estima-se desvio populacional a partir da raiz da estimativa do parâmetro de variância Christopher Souza: Estimação de parâmetros 23

24 Bootstrap Não tem pré-requisitos Consiste na obtenção de estatísticas amostrais de reamostragens de n valores da amostra com repetição Estima-se intervalos de confiança a partir do valor de percentis Exemplo de dados não- normais 2,9 564,2 1,4 4,7 67,6 4,8 51,3 3,6 18,0 3,6 Exemplo de uma replicação 2,9 3,6 1,4 18,0 67,6 4,8 51,3 3,6 18,0 3,6 Christopher Souza: Estimação de parâmetros 24


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