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1 Estatística 8 - Distribuições Amostrais 9 - Estimação de Parâmetros por Intervalo Prof. Antonio Fernando Branco Costa Página.

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1 1 Estatística 8 - Distribuições Amostrais 9 - Estimação de Parâmetros por Intervalo Prof. Antonio Fernando Branco Costa Página da FEG:

2 2 Exemplo: População = {2,3,6,8,11} Amostra de 2 (dois) elementos com reposição. N = 5 n = 2 Amostras possíveis: 5 2 = 25 amostras Amostra: População: Distribuição da Média Amostral

3 3 Exemplo: População = {2,3,6,8,11} Amostra de 2 (dois) elementos sem reposição. N = 5 n = 2 Amostras possíveis: Distribuição da Média Amostral

4 4 Onde: N tamanho da população n tamanho da amostra Amostragem sem reposição População finita Xi: V.A. não Independentes Amostragem com reposição População infinita Xi: V.A. Independentes Então Distribuição da Média Amostral

5 5 Se a população não for Normal, mas a amostra for suficientemente grande então a Distribuição Amostral de pode ser aproximada pela Normal, devido ao Teorema do Limite Central (no caso de população infinita) ou devido à consideração de amostragem com reposição. Resultados importantes: Se a população for Normal então a Distribuição Amostral de é Normal para qualquer tamanho da amostra, devido ao Teorema das Combinações Lineares de Variáveis Normais Independentes. Distribuição da Média Amostral

6 6 / e 0 + e 0 Intervalo de Confiança para a média e 0 : Erro ou Precisão do Intervalo Nível ou Grau de Confiança

7 7 Neste caso: Intervalo de Confiança para a média de uma População infinita, com desconhecido Nível ou Grau de Confiança

8 8 Exemplo: Uma amostra de 4 elementos extraídas de uma população com Distribuição Normal forneceu média = 8,20 e desvio-padrão s = 0,40. Construir um intervalo com nível de confiança de 99 % para a média dessa população. Solução: Intervalo de Confiança: Onde: Logo: Intervalo de Confiança: Então: Intervalo de Confiança para a média de uma População infinita, com desconhecido Da tabela t de Student:

9 9 Distribuições t de Student - valores de, onde P = P( )

10 10 2,5% 95% 35,208 35,6 35,992 Exemplo: Considerando-se que uma amostra de 100 elementos extraída de uma população Normal, cujo desvio-padrão é igual a 2,0, forneceu média amostral = 35,6, construir um intervalo com nível de confiança de 95 % para a média Intervalo de Confiança para a média de uma População infinita, com conhecido Intervalo de Confiança: Então: Portanto: z /2 = z 2,5 % = 1,96, logo:

11 11 Distribuição normal – valores de P(0 Z z 0 )

12 12 Exemplo 1: Qual o tamanho de amostra necessária para se estimar a média de uma população infinita cujo desvio- padrão é igual a 4, com 98 % de confiança e precisão de 0,5? Tamanho da Amostra Distribuição normal – valores de P(0 Z z 0 )

13 13 Distribuição da Variância Amostral s 2

14 14 Distribuição

15 15

16 16

17 17

18 18 VARA(...) INV.QUI(ALFA/2;n-1)

19 19 Uma amostra de 11 elementos, extraída de uma população com Distribuição Normal, forneceu variância s 2 = 7,08. Construir um intervalo de 90 % de confiança para a variância dessa população Solução: Intervalo de Confiança para a Variância da População - Exemplo Da tabela Qui-Quadrado: Logo: Portanto:

20 20

21 21 Intervalo de Confiança para o Desvio-Padrão da População Como: Então: Caso de amostras grandes (n>30), pode-se, alternativamente, usar:


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