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Estatística 8 - Distribuições de Probabilidade de Variáveis Aleatórias Contínuas Prof. Antonio Fernando Branco Costa Página.

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1 Estatística 8 - Distribuições de Probabilidade de Variáveis Aleatórias Contínuas Prof. Antonio Fernando Branco Costa Página da FEG:

2 Distribuição Uniforme Variável aleatória contínua podendo assumir qualquer valores dentro de um intervalo [a,b] tal que: Probabilidade da variável assumir um valor num subintervalo é a mesma para qualquer outro subintervalo de mesmo comprimento. para a x b; para qualquer outro valor.

3 Distribuição Exponencial Se T é uma variável aleatória com Distribuição Exponencial, então: para t 0; para t < 0. t

4 Distribuição Exponencial Mostra-se que:

5 Distribuição Exponencial Exemplo: Um componente eletrônico, de marca A, tem duração de vida que segue uma Distribuição Exponencial com vida média de 100 horas. Qual a probabilidade de um componente, de marca A, durar mais de 150 horas? Como a vida média é de 100 horas, então: Logo: Seja T A : duração da vida de um componente A Sabe-se que:

6 Distribuição Exponencial Exemplo: Um componente eletrônico, de marca A, tem duração de vida que segue uma Distribuição Exponencial com vida média de 100 horas e um custo unitário de R$10,00. A marca B, desse componente eletrônico, tem uma vida média de 200 horas e um custo de R$15,00. Considere também a incidência de um custo adicional de R$8,00 se o componente durar menos de 200 horas, qualquer que seja a marca Qual a marca mais econômica? Custo esperado da marca A: Portanto: marca A é mais econômica! Custo esperado da marca B:

7 Distribuição Exponencial Distribuição Exponencial não tem memória: Por isso, é usada em modelos de duração de vida que não desgastam com o tempo

8 Distribuição Weibull

9 Engenharia de Confiabilidade Confiabilidade do sistema

10 Engenharia de Confiabilidade Confiabilidade do sistema Sistema em série R1 R2Rn Sistema em paralelo R1 R2 Rn

11

12 Distribuição Normal ou de Gauss Definida pela seguinte fdp: - < x < +

13 Exemplo: A duração de um certo tipo de pneu, em km rodados, é uma variável normal com duração média km e desvio-padrão de km. a) Qual a probabilidade de um pneu escolhido ao acaso durar mais de km? Pr[Z>1,5] = 0,5-0,4332 = 0,0668

14 Z : Distribuição Normal Reduzida Distribuição normal – valores de P(0 Z z 0 )

15 Exemplo: A duração de um certo tipo de pneu, em km rodados, é uma variável normal com duração média km e desvio-padrão de km. a) Qual a probabilidade de um pneu escolhido ao acaso durar entre e km? Pr[0,35

16 Z : Distribuição Normal Reduzida Distribuição normal – valores de P(0 Z z 0 )

17 Distribuição Normal – Importância Teórica Teorema das Combinações Lineares: Se X 1, X 2,..., X n são V.A. com Distr. NORMAL então Teorema do Limite Central: Se X 1, X 2,..., X n são V.A. Independentes, com Distribuição QUALQUER então onde: a i são constantes para n suficientemente grande

18 Exemplo: Uma companhia embala em cada caixa 5 pires e 5 xícaras. Os pesos dos pires distribuem-se normalmente com média de 190 g e variância 100 g 2. Os pesos das xícaras também são normais com média 170 g e variância 150 g 2. O peso da embalagem é praticamente constante, igual a 100g. Qual a probabilidade da caixa pesar menos de 2000 g? X = peso da xícaras Y = peso do pires E = peso da embalagem C = peso da caixa completa P(C<2000)=? Distribuição Normal Considerando X e Y variáveis aleatórias INDEPENDENTES, tem-se:

19 Qual a probabilidade de um píres pesar menos que uma xícara numa escolha ao acaso? Distribuição Normal Exemplo: Uma companhia embala em cada caixa 5 pires e 5 xícaras. Os pesos dos pires distribuem-se normalmente com média de 190 g e variância 100 g 2. Os pesos das xícaras também são normais com média 170 g e variância 150 g 2. O peso da embalagem é praticamente constante, igual a 100g. X = peso da xícara Y = peso do pires Pergunta: Seja W = Y – X, logo:

20 Distr. BINOMIAL, para n suficientemente grande: n.p 5 Distribuição Normal n.q 5 Aproximação utilizando a Distr.Normal: Distr. POISSON, para: Correção de Continuidade devido aprox. Distr. discreta pela Distr.Normal (contínua):


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