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Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL 1 Estatística Básica Utilizando o Excel Delamaro e Marins 5a. Aula – Distribuições de Probabilidade - Contínuas.

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1 Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL 1 Estatística Básica Utilizando o Excel Delamaro e Marins 5a. Aula – Distribuições de Probabilidade - Contínuas

2 Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL 2 Tópicos Distribuição Normal Distribuição Normal Padronizada ou Reduzida Avaliando a Normalidade dos Dados Distribuição Exponential

3 Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL 3 Variável Aleatória Contínua Uma Variável Aleatória Contínua é uma variável que pode assumir valores num intervalo definido.

4 Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL 4 Exemplos de Variáveis Aleatórias Contínuas Tempo para realizar uma tarefa Taxas Financeiras Pesos (volumes) de produtos Distância entre dois pontos

5 Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL 5 Distribuição de Probabilidades Contínuas A Distribuição de Probabilidades de uma Variável Aleatória Contínua é representada por uma função densidade de probabilidade f(X) que define uma curva.

6 Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL 6 Função Densidade de Probabilidade Propriedades f(X) 0, para todo X 0 P(X=x) 1 Discretas Contínuas

7 © 2002 Prentice-Hall, Inc.Chap 5-7 Distribuição de Probabilidades Discretas versus Contínuas x f(X) P(X) Valores possíveis de X x (a) Distribuição de Probabilidades Discreta (b) Função Densidade de Probabilidade Maio/2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL 6

8 Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL 8 Distribuição Normal Em forma de Sino Unimodal Simétrica Média, mediana e moda são iguais Assintótica em relação ao Eixo X Amplitude Interquartil é 1,33 Média, Mediana Moda X f(X) Q1Q3

9 Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL 9 Modelo Matemático X: valores da variável aleatória ( ) F(X):função densidade probabilidade da variável aleatória X média da população desvio padrão da população

10 Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL 10 Distribuição Normal Variando os parâmetros e, obtém-se diferentes formas de distribuições normal

11 Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL 11 Cálculo de Probabilidades Probabilidade é a área sob a curva! c d X f(X)f(X)

12 Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL 12 Cálculo de Probabilidades Qual a área total abaixo da curva? f(X)f(X) X Área = 1 P(- < X < + )

13 Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL 13 Qual Tabela usar? Deveríamos ter disponíveis uma infinidade de Tabelas, uma para cada par e !

14 Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL 14 Solução: Distribuição Normal Padronizada ou Reduzida Z , Distribuição Normal Padronizada Tabela (Parte) Probabilidades Uma única Tabela basta! Z = 0,12

15 © 2002 Prentice-Hall, Inc.Chap 5-15 Distribuição Normal Padronizada Valor da V. A. Normal Z Padronizada: Valor da V. A. Normal Z Padronizada: onde: x = valor da V. A. Normal X = Desvio padrão da V. A. Normal X = Média da V. A. Normal X z = valor padronizado de x (número de desvios padrão com relação à Média) Maio/2003 FEG/UNESP 7 CONFAB INDUSTRIAL 13

16 Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL 16 Exemplo X: Distribuição Normal Z: Distribuição Normal Padronizada

17 Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL 17 Exemplo: X: Distribuição Normal Z: Distribuição Normal Padronizada

18 Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL 18 Z , Distribuição Normal Tabela (Parte) Z = 0,21 Exemplo: (continuação)

19 Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL 19 Z , Distribuição Normal Tabela (Parte) Z = -0,21 Exemplo: (continuação)

20 Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL 20 Exemplo: Distribuição Normal Distribuição Normal Padronizada

21 Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL 21 Exemplo: (continuação) Z , Distribuição Normal Tabela (Parte) Z = 0,30

22 Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL 22 0,6217 Encontrando Valores de Z para Probabilidades conhecidas Z Distribuição Normal Tabela (Parte) Qual é Z associado à Probabilidade= 0,6217 ?.6217

23 Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL 23 Recuperando Valores de X para Probabilidades Conhecidas Distribuição Normal Distribuição Normal Padronizada

24 Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL 24 Avaliando Normalidade Na prática é importante saber avaliar quanto (quão bem) um conjunto de dados pode ser adequadamente aproximado por uma distribuição normal

25 Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL 25 Avaliando Normalidade Construir gráficos Para conjuntos pequenos ou moderados de dados, o stem-and-leaf display e o box-and-whisker plot apresentam simetria? Para conjuntos com muitos dados, o histograma ou o polígono apresentam a forma de sino? Calcular medidas descritivas dos dados A média, mediana e moda têm valores similares? A amplitude interquartil é aproximadamente 1,33 ? (continuação)

26 © 2002 Prentice-Hall, Inc.Chap 5-26 Uniform Probability Distribution Distribuição de Probabilidades Uniforme A Distribuição Uniforme é uma distribuição de probabilidades na qual a probabilidade de ocorrer um valor entre dois pontos, a e b, é a mesma de ocorrer um valor entre dois outros pontos, c e d, se a distância entre a and b é igual a distância entre c e d. Maio/2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL 24

27 © 2002 Prentice-Hall, Inc.Chap 5-27 Distribuição de Probabilidades Uniforme onde: f(x) = Função Densidade de Probabilidade de X a = Limite Inferior de intervalo de definição de X b = Limite Superior de intervalo de definição de X Parâmetros: = (a+b)/2 e 2 = (b – a) 2 /12 Maio/2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL 25

28 Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL 28 Distribuição de Probabilidades Uniforme f(x) 25 ab ab 38 para 2 x 5 para 3 x 8

29 Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL 29 Cálculo de Probabilidades na Uniforme f(x) 16 ab 0,25 0,50 para 2 x 5 P(3 X 5) = ? P(3 X 5) = (5 – 3)/(6 – 1) = 2/5 = 0,4

30 Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL 30 Distribuição de Probabilidades Exponencial T: valores da variável aleatória contínua = intervalo entre chegadas, com e = 2,71828 P(intervalo entre chegadas < t)= 1- e -t : taxa média de chegadas 1/ : intervalo médio entre chegadas Exemplos: Carros chegando num pedágio; Clientes chegando num caixa eletrônico

31 Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL 31 Distribuição de Probabilidades Exponencial Usada para estudos de Sistemas de Filas Função densidade de probabilidade Parâmetros (continuação)

32 Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL 32 Distribuição de Probabilidades Exponencial Valores of X f(x) Lambda = 3,0 (Média = 0,333) Lambda = 2,0 (Média = 0,5) Lambda = 1,0 (Média = 1,0) Lambda = 0,50 (Média = 2,0)

33 Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL 33 Exemplo Ex.: Operários chegam no almoxarifado a uma taxa de 30/h. Qual é a probabilidade do intervalo entre chegadas consecutivas de Operários ser maior que 5 ? e intervalo = 5/60 = 0,0833 horas P(intervalo entre chegadas > t) = 1 – P(intervalo entre chegadas t) = 1 – (1 – e -30.0,0833 ) = 0,0821


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