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Variáveis Aleatórias Contínuas F(x) = - x f(t) dt f 0 é a densidade de X P(a < X < b) = a b f(t) dt - + f(t) dt = 1 f(x) = F (x) P(x– / 2 < X < x+ / 2.

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1 Variáveis Aleatórias Contínuas F(x) = - x f(t) dt f 0 é a densidade de X P(a < X < b) = a b f(t) dt - + f(t) dt = 1 f(x) = F (x) P(x– / 2 < X < x+ / 2 ) f(x) x

2 Exemplo Seja X a abscissa de um ponto escolhido ao acaso no triângulo da figura. Qual é a densidade de X? 1 1

3 Solução 1 1 x

4 Outra solução 1 1 x

5 Esperança –discreta: –contínua: –mista:

6 Exemplo Qual é o valor esperado da variável aleatória do exemplo anterior?

7 Principais Distribuições Contínuas Uniforme Exponencial Gama Normal (e associadas: 2, t, F)

8 Distribuição Uniforme a b 1/(b-a) a b 1 fXfX FXFX

9 Distribuição Exponencial De volta ao exemplo do site na Internet. Qual é a distribuição do tempo de espera X até a ocorrência do primeiro acesso? X > t se e só se o número de acessos em [0, t] é igual a 0 Logo, P(X>t) = P(N = 0), onde N~Poisson( t) Portanto, P(X>t) = e - t

10 Distribuição Exponencial X tem distribuição exponencial com parâmetro quando F X (x) = 1–e – x, para x >0 Ou seja, f X (x) = e – x, para x > 0

11 Exemplo O tempo de vida, em meses, de um componente tem distribuição exponencial de parâmetro = 0,5. a)Qual é a probabilidade de que um componente novo dure pelo menos 2 meses? b)Dado que um componente usado já tem 1 mês de vida, qual é a probabilidade de que ele dure pelo menos mais dois meses?

12 Processo de Poisson Tempo entre chegadas consecutivas independentes, com distribuição exponencial ( ) Número de chegadas em intervalos disjuntos independentes e com distribuição Poisson ( t), onde t é o comprimento do intervalo

13 Exemplo Os acidentes em uma rodovia ocorrem de acordo com um Processo de Poisson de taxa 2 acidentes por dia –Número médio de acidentes por semana? –Número médio de dias sem acidentes por semana? –Intervalo médio entre acidentes? –Probabilidade de que haja 2 acidentes na 2a e 1 na 3a? –Probabilidade de que o primeiro acidente em um certo dia só ocorra depois das 12 horas?


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