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Distribuição Gama Qual é a distribuição do tempo em que ocorre a 3 a chegada em um Processo de Poisson de taxa ?

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1 Distribuição Gama Qual é a distribuição do tempo em que ocorre a 3 a chegada em um Processo de Poisson de taxa ?

2 Distribuição Gama A distribuição Gama com parâmetros e tem densidade f(x) = x –1 e – x / ( ), para x>0. No caso em que é inteiro, ( e X tem a distribuição da soma de variáveis independentes com distribuição exponencial de parâmetro.

3 Distribuição Normal A distribuição normal padrão é a distribuição da variável aleatória Z de densidade Notação: Z ~ N(0, 1) EZ = 0, Var Z = 1

4 Distribuição Normal Uma variável X tem distribuição normal com parâmetros (média) e 2 (variância) quando é da forma X = Z +, onde Z~N(0,1) Notação: X~N( 2 )

5 Distribuição Normal Qual é a densidade da distribuição X~N( 2 )? De modo geral, qual é a densidade de g(X), onde g é uma função inversível e X é uma v. a. de densidade f?

6 Transformando uma v. a. A densidade de Y = g(X) é dada por onde x é tal que g( x) = y.

7 Transformando uma v.a. Caso particular: Se X tem densidade f, então Y = aX + b (a>0) tem densidade X Y Y = 2XX= Y/2

8 Densidade da distribuição normal A densidade da v.a. X com distribuição normal N(, 2 ) é

9 Exemplo As notas dos alunos em um teste têm distribuição normal com média 70 e desvio padrão 10. –Se um aluno for escolhido ao acaso, qual é a probabilidade de que sua nota seja maior que 85? –Qual é a nota correspondente ao percentil 95%?

10 V. A. Multidimensionais Exemplo: moeda honesta lançada 3 vezes X = número de caras Y = número de transições Qual é a probabilidade de que X = 2 e Y =1? x0123 P(X=x)1/83/8 1/8 y012 P(Y=y)1/42/41/4

11 V. A. Multidimensionais Não se pode responder (em geral) a partir das distribuições individuais (marginais) de X e Y. Pode-se responder com base na distribuição de (X, Y), também chamada de distribuição conjunta de X e Y.

12 Distribuição Conjunta XY ccc30 cck21 ckc22 kcc21 ckk11 kck12 kkc11 kkk00

13 Distribuição Conjunta PXY ccc1/830 cck1/821 ckc1/822 kcc1/821 ckk1/811 kck1/812 kkc1/811 kkk1/800 X Y

14 Distribuição Conjunta PXY ccc1/830 cck1/821 ckc1/822 kcc1/821 ckk1/811 kck1/812 kkc1/811 kkk1/800 X Y / / /8 - P(X=2 e Y =1) = 2/8

15 Distribuição Conjunta A distribuição conjunta de X = (X 1, X 2,..., X n ) completamente caracteriza probabilidades envolvendo X 1, X 2,..., X n e quaisquer subconjuntos delas (distribuições marginais).

16 Distribuição Conjunta X Y 0123Y 01/ / /8 - X

17 Distribuição Conjunta X Y 0123Y 01/8-- 1/4 1-2/8 -1/2 2-1/8 -1/4 X1/83/8 1/8

18 Função de Distribuição Acumulada A distribuição conjunta de X = (X 1, X 2,..., X n ) é completamente caracterizada pela sua função de distribuição acumulada. F X 1, X 2,... X n (x 1, x 2,..., x n ) = P(X 1 x 1, X 2 x 2,..., X n x n ) Exemplo F X 1 (x 1 ) = ?

19 Função de Distribuição Acumulada A distribuição conjunta de X = (X 1, X 2,..., X n ) é completamente caracterizada pela sua função de distribuição acumulada. F X 1, X 2,... X n (x 1, x 2,..., x n ) = P(X 1 x 1, X 2 x 2,..., X n x n ) Exemplo F X 1 (x 1 ) = lim x 2,..., x n F X 1, X 2,... X n (x 1, x 2,..., x n )

20 Tipos de distribuição conjunta Discretas Quando existe um conjunto enumerável A = {x 1, x 2,...} tal que P(X A) = 1. Neste caso, P(X B) = x i B P(X = x i )

21 Tipos de distribuição conjunta Discretas Quando existe um conjunto enumerável A = {x 1, x 2,...} tal que P(X A) = 1. Neste caso, P(X B) = x i B P(X = x i ) Contínuas Quando existe uma função de densidade f tal que Neste caso:

22 Exemplo Um ponto (X, Y) é escolhido no quadrado unitário com densidade proporcional a x+y. –Qual é a função de densidade? –Qual é a probabilidade de que X seja menor que 1/2?

23 Propriedades Esperança de funções de v.a. multidimensionais E(g(X)) = i g(x i ) P(X=x i ) (discreta) E(g(X)) = R n g(x) f X (x) dx (contínua) Casos particulares: EX = R 2 x f X,Y (x,y) dy dx E(X+Y) = R 2 (x+y) f X,Y (x,y) dy dx = = R 2 x f X,Y (x,y) dy dx + R 2 y f X,Y (x,y) dy dx = EX +EY

24 Propriedades Em geral, E (XY) EX EY Mas E(XY) = EX EY se X e Y são independentes.

25 Observação X, Y independentes E(XY) = EX EY E(XY) = EX EY X, Y independentes não correlacionadas

26 Covariância e Correlação Cov(X, Y) = E(X–EX)(Y–EY) = = E(XY) – EX EY (X, Y) = Cov(X,Y)/ (X) (Y) Teorema: –1 (X, Y) 1

27 Exemplo As variáveis aleatórias X e Y têm distribuição conjunta de densidade f X,Y (x,y) = x+y, para 0 < x, y < 1 –Quais são as distribuições marginais de X e Y? –Qual é a covariância de X e Y? –Qual é o coeficiente de correlação de X e Y? –Qual é a distribuição condicional de X dado Y? –X e Y são independentes?


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