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Capítulo 3 Valor esperado; dispersão e correlação.

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1 Capítulo 3 Valor esperado; dispersão e correlação

2 A distribuição de uma V.A. contém toda a informação sobre esta V.A.. Entretanto, a distribuição pode não ser fácil de estimar, especialmente se o problema é multivarado e a dimensão não é baixa Então, valores numéricos que sumarizem uma distribuição são de muita utilidade

3 Esperança em Distribuições Discretas Se X é uma V.A. com distribuição discreta, a esperança, ou valor esperado de X é dado por:

4 Exemplo: Um concorrente em um programa de TV tem 4 caixas fechadas com prêmios, 1 está vazia, 2 tem R$ 5000,00 e 1 tem R$ 20000,00. Ele deverá escolher e abrir um destas caixas. Por quanto o concorrente deveria aceitar uma oferta da produção para vender sua caixa? Seja X uma V.A. com o valor do prêmio, então: E(X) = 0.25 x 0, x 5000, x 20000,00 = = R$ 7500,00

5 Esperança em Distribuições Contínuas Se X é uma V.A. com distribuição contínua, a esperança, o valor esperado de X é dado por:

6 Variância Var(X) = E[ (X- ) 2 ]; onde E(X) Note que: A variância mede a dispersão em torno da média A variância mede o preço a pagar se representássemos tos os pontos como sendo iguais à média A variância é o valor esperado de uma V.A. positiva (X- ) 2, e portanto var(X) 0

7 Covariância Seja X n ( X= (x 1, x 2,...,x n ) vetor aleatório, então define-se a matriz de covariância como: = E[ (X- ) (X - ) T ] nxn Por exemplo, se X 2 teremos:

8 Podemos definir o coeficiente de correlação como: pode-se mostrar que | | < 1. O coeficiente de correlação é uma espécie de covariância padronizada

9 Teorema: Sejam X e Y 2 V.A.s com variâncias finitas e positivas, então: (x 1, x 2 ) = 1 P(x 2 = ax 1 + b) = 1 para algum a > 0 e b para algum a < 0 e b Então, podemos concluir que o coeficiente de correlação (X,Y) representa a dependência linear das V.A.s X e Y (x 1, x 2 ) = - 1 P(x 2 = ax 1 + b) = 1

10 Diz-se que x 1 e x 2 : são positivamente correlatadas se ( x 1, x 2 ) > 0 são negativamente correlatadas se ( x 1, x 2 ) < 0 são descorrelatadas se (x 1,x 2 ) = 0

11 x * * * * * * * ** correlação positiva y * * * * * * * x y correlação negativa

12 y descorrelatado * * * * ** x * * * * * ** x y

13 X e Y independentes X e Y descorrelatadas X e Y descorrelatadas > X e Y independentes


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