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Probabilidade e Esperança Condicional Como definir apropriadamente F X (x | Y = y) e E(X | Y = y)? Duas situações: –Y discreto –Y contínuo.

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1 Probabilidade e Esperança Condicional Como definir apropriadamente F X (x | Y = y) e E(X | Y = y)? Duas situações: –Y discreto –Y contínuo

2 Caso Discreto

3 Propriedades P(X B) = y P(X B | Y=y) P(Y=y) F X (x) = P(X x) = y P(X x| Y=y) P(Y=y) F X,Y (x,y) = P(X x, Y y) = t P(X x| Y=t) P(Y=t) E(X) = y E(X|Y=y) P(Y=y) (ou seja, E(X) = E(E(X | Y))

4 Exemplo O número de pessoas que visita uma academia diariamente tem distribuição de Poisson com parâmetro. Cada visitante tem probabilidade p de ser homem, independentemente dos demais visitantes. Qual é a probabilidade de que k homens visitem a academia?

5 Exemplo O número mensal de sinistros em uma dada carteira de seguros tem distribuição de Poisson com parâmetro. O valor de cada sinistro tem distribuição exponencial de média. Qual é o valor esperado para o total de sinistros pagos em um dado mês?

6 Caso Contínuo F X (x | Y = y) e E(X | Y = y) são definidos de modo que as mesmas propriedades anteriores sejam válidas (devidamente adaptadas para Y contínua).

7 Propriedades (caso contínuo) P(X B) = P(X B | Y=y) f Y (y)dy F X (x) = P(X x) = P(X x| Y=y) f Y (y)dy F X,Y (x,y) = P(X x, Y y) = y P(X x| Y=t) f Y (t)dt E(X) = E(X|Y=y) f Y (y)dy (ou seja, E(X) = E(E(X | Y))

8 Caso contínuo Caso geral: Quando X e Y tem distribuição conjunta contínua:

9 Exemplo Um ponto de coordenadas (X, Y) é escolhido ao acaso no triângulo da figura. Qual é a distribuição condicional de Y dado X? 1 1

10 Exemplo Em uma cidade, o gerador de luz é ligado em um instante escolhido ao acaso entre 18 horas e meia-noite e desligado em um instante escolhido ao acaso entre o instante em que foi ligado e meia-noite. a)Em média, quanto tempo ele fica ligado por noite? b)Qual é a probabilidade de que seja desligado depois das 22 horas? c)Qual é a probabilidade de que seja ligado antes da novela e desligado depois?

11 Exemplo Se X e Y são independentes e têm densidades f X e f Y, qual é a densidade de X+Y?

12 Exemplo Uma moeda tem probabilidade P de dar cara, onde P tem distribuição uniforme em [0, 1]. Qual é a densidade condicional de P dado que X = 1?

13 Somas e médias de v.a. i.i.d. Dada uma sequência de variáveis aleatórias i.i.d. X 1, X 2, …, X n, obter a distribuição de:

14 Somas e médias de v.a. i.i.d. Em geral, é complicado calcular a distribuição exata de S n e X Fácil calcular médias e variâncias

15 Somas e médias de v.a. i.i.d. Quando n, Var(X) 0 Isto sugere que X tenda a se concentrar em torno de sua média. É possível tornar esta afirmativa precisa?

16 Desigualdade de Markov Seja X uma variável aleatória tal que X 0 e EX = m. Então, para todo a>0:

17 Desigualdade de Chebyshev Seja X uma variável aleatória tal que EX = e Var(X) = 2. Então, para todo > 0:

18 Lei Fraca dos Grandes Números (Chebyshev, 1867) Sejam X 1, X 2, … v.a. i.i.d, com EX 1 = e Var X 1 = 2. Então, para todo > 0,

19 Lei Forte dos Grandes Números (Kolmogorov, 1925) Sejam X 1, X 2, … v.a. i.i.d, com EX 1 = Então: Em consequência, para todo > 0:

20 Observações Se E|X| = +, então X não é limitada (logo não converge), com probabilidade 1. Exemplos –Jogo de São Petersburgo –X~Cauchy (f X (x) = 1/(1+x 2 ))

21 Teorema Central do Limite Estimativa para P(|X– | ) dada pela desigualdade de Chebyshev é extremamente conservativa. É possível refiná-la? Idéia: padronizar X, subtraindo a média e a variância, de modo a ter média 0 e variância 1. Resultado: a distribuição da versão padronizada converge para uma distribuição fixa (a normal).

22 Teorema Central do Limite Sejam X 1, X 2, … v.a. i.i.d, com EX 1 = e Var X 1 = 2. A distribuição de converge para a normal padrão:

23 Noções de Simulação Teorema Fundamental Seja F uma f.d.a. qualquer e seja U uma v.a. com distribuição uniforme em [0, 1]. A f.d.a da v.a. X = F -1 (U) é F.

24 Exemplos Como gerar uma v.a. com distribuição exponencial ? Como gerar uma v.a. com distribuição binomial (3; 0,6)? Como gerar uma v.a. com distribuição N(60, 10 2) ?

25 Para gerar v.a. normais Algoritmo de Box-Muller são normais e independentes

26 Método de aceitação/rejeição Seja f uma função de densidade de probabilidade de suporte limitado [a, b] e tal que f(x) M, para todo x [a, b]. Gerar U ~ U [a, b] e V ~ U [0, 1], independentes, até que f(U) < M.V Retornar U (que é uma v.a. de densidade f)

27 Método de aceitação/rejeição Método de aceitação/rejeitação U MV

28 Método de aceitação/rejeição Sejam f e g funções de densidade de probabilidade de suporte limitado [a, b] e tal que f(x) Mg(x), para todo x [a, b]. Gerar U ~ U [a, b] e V ~g, independentes, até que f(U) < M.V Retornar U (que é uma v.a. de densidade f)

29 Outros métodos Algoritmo de Metrópolis Importance Sampling (MacKay, cap. 29)


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