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Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/2009 EE-240 Probabilidade e Processos Estocásticos.

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1 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/2009 EE-240 Probabilidade e Processos Estocásticos

2 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/ Espaço de Probabilidades: É uma Tripla 2. Espaço Amostral: É o conjunto dos resultados possíveis 3. Classe de Eventos: É a classe de sub-conjuntos de que satisfaz: 4. Medida de Probabilidade: É uma função P: tal que, para

3 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/ Probabilidade Condicional: A M Exemplo:

4 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/ Probabilidade Condicional: A M 6. Fórmula de Bayes:

5 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/ Independência: tesindependenBeABPAPBAP 8. Variáveis Aleatórias: R 0

6 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/2009 Exemplo: $

7 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/ Função Distribuição de Probabilidade: R 0

8 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/ Função Distribuição de Probabilidade: 10. Propriedades da Função Distribuição: 11. Função Densidade de Probabilidade:

9 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/ Distribuição Condicional de Probabilidade: Exemplo: 1 FxFx a aF F axFxaxxa axFaxaxxa x x 1 x x

10 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/ Funções de uma variável aleatória: R R

11 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/ Média: 0 fxfx

12 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/ Média: 0 fxfx R

13 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/ Média: 0 fxfx R

14 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/ Estatística conjunta de duas variáveis aleatórias: y x 16. Propriedades de F x,y :

15 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/ Distribuição Marginal: 18. Independência de Variáveis Aleatórias: As variáveis aleatórias x e y são ditas independentes se, para A,B são independentes, ou seja,

16 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/ Função de duas variáveis aleatórias: y x z g(.,.) g(x,y) z = g(x,y)

17 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/ Função de duas variáveis aleatórias: y x z g(.,.) g(x,y) z = g(x,y) DzDz

18 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/2009 Conexão Série S1S1 S2S2 t1t1 t2t2 t t T 1 ( ) T 2 ( ) Na área sombreada, o sistema conectado em série ficou inoperante antes do instante t

19 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/2009 Conexão Paralela t1t1 t2t2 t t T 1 ( ) T 2 ( ) Na área sombreada, o sistema conectado em paralelo ficou inoperante antes do instante t S1S1 S2S2

20 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/2009 Conexão Stand By t1t1 t2t2 t t T 1 ( ) T 2 ( ) Na área sombreada, o sistema conectado em configuração stand by ficou inoperante antes do instante t S1S1 S2S2

21 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/ Covariança: 21. Distribuição Normal: x ~ N(m,Q),

22 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/ Processos Estocásticos: Coleção de variáveis aleatórias indexadas por parâmetro t

23 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/ Caracterização de Processos Estocásticos: Para cada t fixo, é uma variável aleatória. Logo, para caracterizar a coleção de variáveis aleatórias, necessita-se de

24 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/2009 Caracterização de Processos Estocásticos: Para cada t fixo, é uma variável aleatória. Logo, para caracterizar a coleção de variáveis aleatórias, necessita-se de x t1 x t2 x t3 x t4 x t5

25 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/ Caracterização de Processos Estocásticos: Para cada t fixo, é uma variável aleatória. Logo, para caracterizar a coleção de variáveis aleatórias, necessita-se de 24. Processos Estacionários (no Sentido Estrito) Um processo x t (.) é dito ser estacionário se,

26 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/2009 Exemplo: Processo Não-Estacionário tempo x

27 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/2009 Exemplo: Processo Não-Estacionário tempo x

28 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/ Processos Estacionários no Sentido Amplo Um processo x t (.) é dito ser estacionário no sentido amplo se, Estacionário no Sentido Amplo Estacionário no Sentido Estrito

29 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/ Função de Auto-Correlação No caso de processo estacionário no sentido amplo:

30 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/2009 Função de Auto-correlação e Densidade Espectral de Potência

31 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/ Função de Auto-Correlação No caso de processo estacionário no sentido amplo: 27. Ruído Branco 28. Ruído Gaussiano

32 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/ Ruído Branco Gaussiano Se x e y são variáveis aleatórias conjuntamente normais de média 0, Portanto, no caso do Ruído Branco Gaussiano Padrão Observação: independência não-correlação não-correlação independência

33 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/2009 Exemplo: Ruído em Sistemas Lineares hkhk ukuk ykyk

34 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/2009 hkhk ukuk ykyk * E (.) hihi

35 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/2009

36 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/2009 Exemplos de Processos Estocásticos

37 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/2009 Ruído Branco Gaussiano

38 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/2009 Ruído Branco Gaussiano Nova Variança

39 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/2009 ? ? ? Outlier

40 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/2009 ? ? Novelty

41 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/2009 Alteração Brusca de Tendência

42 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/2009 ?

43 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/2009 Sinal dependente de variável manipulada... y(t) u(t) y(t) u(t) S

44 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/2009 y(t) u(t) S Ausência de Resposta pode ser Falha... y(t) u(t)

45 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/2009 Saturação

46 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/2009 Modelo AR: y(k)=0.8*y(k-1) + ruído Nova Variança do Ruído

47 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/2009 Qual a distribuição do ruído? N(0, 2 ) U(-2,2)

48 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/2009 Ruído aumentando com o tempo...

49 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/2009 Falhas Intermitentes...

50 Probabilidades e Processos Estocásticos EE-240/2009 Muito Obrigado!


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