10. Análise de Fourier usando DFT

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1 10. Análise de Fourier usando DFT
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR 10. Análise de Fourier usando DFT 10.1. Introdução Análise de Fourier : Avaliação explícita da Transformada de Fourier (sinais limitados e amostrados) Na verdade o que se deseja é: TDFT Transformada de Fourier para Sinais Discretos No entanto o que é realmente realizado é a : DFT Transformada Discreta de Fourier DFT é uma amostragem da TDFT

2 10.1 Análise de Fourier usando DFT
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR 10.1 Análise de Fourier usando DFT Diversas aplicações: - Análise, Síntese e Codificação de Voz - Sinais de Radar por efeito Doppler - Avaliação de falhas mecânicas – motores - Análise de harmônicos da rede – cos() - Análise de imagens (bordas, ruídos,etc) - Modulação – Telecomunicações - etc A análise de Fourier de sinais contínuos envolve:

3 Sinal contínuo a ser analisado.
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Sinal contínuo a ser analisado. Filtro de Anti-aliasing Sinal filtrado – espectro limitado. Sinal filtrado amostrado. Resposta em frequência da Janela. Espectro do Sinal Janelado (convolução periódica) DFT do sinal janelado (amostragem)

4 10.2. DFT de sinais sinusoidais
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR 10.2. DFT de sinais sinusoidais Como vimos na aula passada: Se o número de amostras do sinal sinusoidal não for tal que haja um número inteiro de ciclos amostrados há o efeito de espalhamento espectral

5 Consideremos um sinal contínuo composto por duas componentes:
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Efeito do Janelamento Consideremos um sinal contínuo composto por duas componentes: E sua amostragem ideal (sem aliasing e erros de quantização) Onde : A sequência janelada será: Cujo espectro, convolução de W() e X(). É:

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Ex.:10.3 Leakage ou Vazamento : redução da amplitude das componentes devido à iteração de fase das duas componentes.

7 A resolução de frequência é definida pela largura do lóbulo
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR A resolução de frequência é definida pela largura do lóbulo principal da janela.  Ajustar L tamanho da Janela O leakage é definido pela relação entre as amplitudes do lóbulo principal e os secundários.  Tipo da Janela Exemplo: Janela Kaiser

8 10.2.2. Efeito da Amostragem do Espectro
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Efeito da Amostragem do Espectro Ex.10.5: v[n] zero-padding

9 Ex.10.6: uso da janela de Kaiser
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Ex.10.6: uso da janela de Kaiser Escolha: =5.48 Lóbulo lateral com –40dB Largura do lóbulo principal Como: Logo a janela ainda consegue distinguir as 2 componentes

10 Porém, reduzindo para L=32
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Porém, reduzindo para L=32 Já não se consegue perceber os dois picos. Aumentar a resolução da DFT resolve??

11 Usando zero-padding no sinal anterior para fazer a DFT de 64 pontos.
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Ex.: 10.7 Usando zero-padding no sinal anterior para fazer a DFT de 64 pontos. N=32 N=64

12 N=128 N=1024 DTFT estimada do sinal com L=32
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR N=128 N=1024 DTFT estimada do sinal com L=32

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Ex.:10.8 DFT N=1024 L=32 L=42 L=54 L=64

14 10.3. Transformada de Fourier Dependente do Tempo
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR 10.3. Transformada de Fourier Dependente do Tempo Até agora consideramos que os sinais eram estacionários no tempo, isto é, as propriedades dos sinais não variavam do início ao fim da janela. No entanto a maioria dos sinais naturais não são estacionários. Ex.: Voz, música, imagem, vídeo. Nestes casos as propriedades espectrais dos sinais variam com o tempo. Necessitamos de uma ferramenta capaz de fazer esta análise. Short-Time Fourier Transform: STFT ou Transformada de Fourier dependente do tempo.

15 A transformada de Fourier dependente do tempo de um
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR A transformada de Fourier dependente do tempo de um sinal x[n] é definida como: Onde: n: amostra temporal (discreta) : Frequência (Contínua: análoga ao , porém dependente do tempo) w[n]: Janela Logo X[n,) é uma função de duas variáveis, 2-D Pode ser vista como a Transformada de Fourier do sinal deslocado no tempo x[n+m] janelado por w[m].

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Ex.: 10.9 Espectrograma:

17 10.5. Análise de Fourier de Sinais Não-Estacionários
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR 10.5. Análise de Fourier de Sinais Não-Estacionários Sinais Estacionários: Sinais cujas propriedades estatísticas (momentos) não se alteram com o tempo. A magnitude da Transformada de Fourier não se altera no tempo, apenas a fase das componentes.

18 Exemplo de aplicação: Análise de Sinais de Voz
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Exemplo de aplicação: Análise de Sinais de Voz - Sons Vozeados: A E I O U Sons Fricativos: X, S - Sons Fricativo-Vozeados: V, F, Z Sons explosivos: B, P Formantes: Frequências naturais de ressonância das cavidades que compõe o trato vocal. Faixa de frequências: 50 a 15kHz (20kHz mulheres e crianças) Porém: mantém alta inteligibilidade mesmo limitada 3kHz Telefonia: considera-se 300Hz a 3400kHz, usa-se fs=8kHz O sistema vocal pode ser pensado como um sistema variante no tempo. E a voz como a resposta desse sistema à uma entrada trem de pulso quase-periódico (vozeados) ou ruído branco (fricativos). A voz pode ser considerada um sinal estacionário em janelas de 15ms a 20ms.

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20 10.6. Análise de Fourier de Sinais Randômicos
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR 10.6. Análise de Fourier de Sinais Randômicos Sinais randômicos (estocásticos): Sinais que não possuem uma formulação matemática definida, porém podem ser caracterizados por medidas estatísticas (momentos). Média: Variância: Estas são estimativas das verdadeiras varáveis baseados em L amostras. A estimativa tende ao valor verdadeiro a medida que L

21 Como estimar a densidade Espectral de Potência
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Problema mais comum: Como estimar a densidade Espectral de Potência de um sinal randômico contínuo ? Podemos estimar através do Espectro do sinal amostrado e janelado Através da Relação: Se w[n] é a Janela Retangular I() é dito periodograma Se w[n] é outra janela I() é dito periodograma modificado Usando a DFT para calcular o espectro V() temos:

22 Cuidado no cálculo do periodograma amostrado I(k):
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Cuidado no cálculo do periodograma amostrado I(k): - Se o sinal x[n] possuir um nível DC (média não nula), este deve ser retirado de modo a não obscurecer possíveis baixas frequências existentes, devido ao leakage. No entanto demostra-se que: Não é um estimador consistente uma vez que a variância não tende a zero apenas com o incremento da Janela

23 distribuição uniforme. Idealmente:
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Ex.: Ruido branco distribuição uniforme. Idealmente: Periodogramas calculados por:

24 Um estimador consistente é a média de K periodogramas:
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Um estimador consistente é a média de K periodogramas: Uma vez que a variância tente a zero com o aumento de K

25 A=0.5 0=2/21 e  fase randômica 0 <2 
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Ex.: A=0.5 0=2/21 e  fase randômica 0 <2  e[n] ruído branco de distribuição uniforme com média zero e variância unitária

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27 10.7. Analise espectral de sinais randômicos usando
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR 10.7. Analise espectral de sinais randômicos usando a função de autocorrelação. Baseia-se no Princípio que: A Densidade Espectral de Potência de um Sinal pode ser calculada como a Transformada de Fourier da função de autocorrelação do sinal.

28 Ex.1: Deseja-se analisar em frequência um sinal estacionário
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Ex.1: Deseja-se analisar em frequência um sinal estacionário cuja frequência máxima é 1.25kHz, com resolução de 5Hz. a)Qual a taxa de amostragem mínima a ser utilizada? b)Quantas amostras necessito adquirir?

29 Mínima freq. de amostragem: Taxa de Nyquist
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Mínima freq. de amostragem: Taxa de Nyquist Fs>2*1.25kHz Fs>2.5kHz Logo b) P/ resolução de 5Hz Tamanho da janela: Logo necessito: Uso N=512 p/ Radix-2 FFT

30 Ex.2: Um certo processador de FFT tem uma capacidade
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Ex.2: Um certo processador de FFT tem uma capacidade máxima de computar FFT 2048 pontos e o tempo requerido para carregar e computar um espectro é de 200ms. O processador atua em tempo real, e uma memória auxiliar é utilizada para fazer a aquisição enquanto a FFT e computada. Qual a mais alta frequência que pode ser resolvida? Qual a resolução em frequência obtida?

31 Sistema processa/captura 2048 amostras em 200ms, logo
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Sistema processa/captura 2048 amostras em 200ms, logo O período de amostragem é: a) Maior frequência resolvível: b) Resolução em frequência: