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1 Análise de Resposta em Freqüência 8.1. Introdução 8.2. Diagramas de Bode 8.3. Construção do Diagrama de Bode com o Matlab Prof. André Marcato Livro Texto:

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1 1 Análise de Resposta em Freqüência 8.1. Introdução 8.2. Diagramas de Bode 8.3. Construção do Diagrama de Bode com o Matlab Prof. André Marcato Livro Texto: Engenharia de Controle Moderno – Quarta Edição – Editora Pearson Prentice Hall – Autor: Katsuhiko OGATA

2 Aula 4 Introdução Resposta em Freqüência: Resposta em regime permanente de um sistema a uma entrada senoidal Resposta em Freqüência: Resposta em regime permanente de um sistema a uma entrada senoidal Métodos de resposta em freqüência: Varia- se a freqüência do sinal de entrada dentro de um certo intervalo e estuda-se a resposta resultante. Métodos de resposta em freqüência: Varia- se a freqüência do sinal de entrada dentro de um certo intervalo e estuda-se a resposta resultante. Forma Gráfica: Forma Gráfica: Diagrama de Bode ou gráfico logarítmico Diagrama de Bode ou gráfico logarítmico Diagrama de Nyquist ou diagrama polar Diagrama de Nyquist ou diagrama polar Diagrama do Logaritmo do módulo versus ângulo de fase (carta de Nichols) Diagrama do Logaritmo do módulo versus ângulo de fase (carta de Nichols)

3 Aula 4 Obtenção das Respostas em Regime Permanente às Entradas Senoidais transferência senoidal A resposta em regime permanente da função de transferência de um sistema pode ser obtida diretamente a partir da função de transferência senoidal. Função de transferência na qual s é substituído por jw, onde w é a freqüência

4 Aula 4 Sistema Estável, Linear, invariante no tempo Se a entrada for um sinal senoidal, a saída em regime permanente também será um sinal senoidal com a mesma freqüência, mas possivelmente o módulo e o ângulo de fase serão diferentes.

5 Aula 4 Resposta em Regime Permanente às Entradas Senoidais Objetivo Objetivo: Mostrar que após esperar até que as condições de regime permanente sejam alcançadas, a resposta em freqüência pode ser calculada substituindo-se s por j na função de transferência. Será mostrado também que a resposta em regime permanente é dada por: Relação de amplitude entre a saída e a entrada senoidal Defasagem, ou diferença de fase, entre a entrada senoidal e a saída senoidal

6 Aula 4 Resposta em Regime Permanente às Entradas Senoidais

7 Aula 4 Resposta em Regime Permanente às Entradas Senoidais

8 Aula 4 Resposta em Regime Permanente às Entradas Senoidais Multiplicando os dois lados da igualdade por e avaliando no ponto igual s = -j Repetindo o mesmo procedimento para

9 Aula 4 Resposta em Regime Permanente às Entradas Senoidais

10 Aula 4 Resposta em Regime Permanente às Entradas Senoidais A amplitude do sinal de saída é dada pelo produto da amplitude do sinal de entrada pelo módulo de G(j ) O ângulo de fase da saída, difere do ângulo de fase da entrada pelo valor de

11 Aula 4 Resposta em Regime Permanente às Entradas Senoidais

12 Aula 4 Resposta em Regime Permanente às Entradas Senoidais

13 Aula 4 Exemplo 8.1.

14 Aula 4 Exemplo 8.1.

15 Aula 4 Exemplo 8.1. Conclusões Conclusões: Se for pequeno: a defasagem da saída será pequena e a amplitude de resposta de saída será K vezes a amplitude da entrada Se for grande: a amplitude de resposta (saída) será pequena e quase inversamente proporcional a. A defasagem se aproxima de -90 º à medida que tende a infinito. Essa é uma rede de atraso de fase.

16 Aula 4 Exemplo 8.2.

17 Aula 4 Exemplo 8.2.

18 Aula 4 Exemplo 8.2.

19 Aula 4 Diagramas de Bode Dois gráficos traçados em relação à freqüência em escala logarítmica: Dois gráficos traçados em relação à freqüência em escala logarítmica: Gráfico do Módulo em dB Gráfico do Módulo em dB Gráfico do ângulo de fase Gráfico do ângulo de fase Representação padrão do logarítmo do módulo de G(j) – a base do logarítmo é 10: Representação padrão do logarítmo do módulo de G(j) – a base do logarítmo é 10: A unidade da representação do módulo é o decibel (db) A unidade da representação do módulo é o decibel (db) A multiplicação dos módulos pode ser convertida em soma. A multiplicação dos módulos pode ser convertida em soma. 19

20 Aula 4 Fatores Básicos de G(j )H(j ) 20 Ganho K Ganho K Fatores integral e derivativo (j) ±1 Fatores integral e derivativo (j) ±1 Fatores de primeira ordem (1+j) ±1 Fatores de primeira ordem (1+j) ±1 Fatores quadráticos [1+2(j n )+(j n ) 2 ] ±1 Fatores quadráticos [1+2(j n )+(j n ) 2 ] ±1 Uma vez familiarizados com a construção dos gráficos logarítmicos destes fatores básicos é possível utilizá-los na construção de um gráfico logarítmico composto por qualquer forma geral de G(j)H(j). Uma vez familiarizados com a construção dos gráficos logarítmicos destes fatores básicos é possível utilizá-los na construção de um gráfico logarítmico composto por qualquer forma geral de G(j)H(j).

21 Aula 4 O Ganho K Um número maior que uma unidade possui um valor positivo em decibéis Um número maior que uma unidade possui um valor positivo em decibéis Um número menor que uma unidade tem valor negativo Um número menor que uma unidade tem valor negativo A curva do módulo em dB de um ganho constante K é uma reta horizontal de valor 20 log K decibéis A curva do módulo em dB de um ganho constante K é uma reta horizontal de valor 20 log K decibéis O ângulo de fase do ganho K é zero O ângulo de fase do ganho K é zero O efeito da variação do ganho K na função de transferência é o deslocar para cima ou para baixo a curva de módulo em dB da função de transferência por um valor constante correspondente, sem nenhum efeito na curva de ângulo. O efeito da variação do ganho K na função de transferência é o deslocar para cima ou para baixo a curva de módulo em dB da função de transferência por um valor constante correspondente, sem nenhum efeito na curva de ângulo. 21

22 Aula 4 Conversão de um Número de dB 22

23 Aula 4 O Ganho K - Propriedades Quando um número aumenta de um fator 10, o valor correspondente em dB fica acrescido de 20 Quando um número aumenta de um fator 10, o valor correspondente em dB fica acrescido de 20 Estendendo a análise: Estendendo a análise: O recíproco de um número difere apenas no sinal: O recíproco de um número difere apenas no sinal: 23

24 Aula 4 Fatores integral e derivativo (j ) ±1 O valor de logarítmico de 1/j em decibéis é: O valor de logarítmico de 1/j em decibéis é: O ângulo de fase de 1/j decibéis é constante e igual a 90. O ângulo de fase de 1/j decibéis é constante e igual a 90. No diagrama de Bode as relações entreas freqüências são dadas em termos de oitavas e décadas: No diagrama de Bode as relações entreas freqüências são dadas em termos de oitavas e décadas: Uma oitava é um intervalo compreendido entre 1 e 2 1, onde 1 é qualquer valor de freqüência. Uma oitava é um intervalo compreendido entre 1 e 2 1, onde 1 é qualquer valor de freqüência. Uma década é um intervalo compreendido entre 1 e 10 1, onde 1 é qualquer valor de freqüência. Uma década é um intervalo compreendido entre 1 e 10 1, onde 1 é qualquer valor de freqüência. Exemplo: a distância horizontal entre =1 e =10 é igual a distância horizontal entre =3 e =30. Exemplo: a distância horizontal entre =1 e =10 é igual a distância horizontal entre =3 e =30. 24

25 Aula 4 Gráfico de -20log dB versus Em escala logaritmica será uma reta Em escala logaritmica será uma reta Localiza-se um ponto (0 dB, =1) Localiza-se um ponto (0 dB, =1) Como Como a inclinação da reta será -20dB/década (ou - 6db/Década) 25

26 Aula 4 De forma análoga, o módulo de j em decibéis é: De forma análoga, o módulo de j em decibéis é: O ângulo de fase é 90 o O ângulo de fase é 90 o A curva do logarítmo do módulo é uma reta com inclinação de 20db/década A curva do logarítmo do módulo é uma reta com inclinação de 20db/década 26 Fatores integral e derivativo (j ) ±1

27 Aula 4 Diagrama de Bode de G(j ) = 1/j e G(j ) = j 27

28 Aula 4 Se a função de transferência possuir o fator (1/j) n ou (j) n, as grandezas logaritmicas se tornarão respectivamente: Se a função de transferência possuir o fator (1/j) n ou (j) n, as grandezas logaritmicas se tornarão respectivamente:Ou As inclinações passam a ser respectivamente -20n dB/década ou 20n db/década As inclinações passam a ser respectivamente -20n dB/década ou 20n db/década O ângulo de fase de (1/j) n é igual a -90.n em toda a faixa de freqüência, enquanto que o de (j) n é igual a 90.n em toda a faixa de freqüência. O ângulo de fase de (1/j) n é igual a -90.n em toda a faixa de freqüência, enquanto que o de (j) n é igual a 90.n em toda a faixa de freqüência. 28 Fatores integral e derivativo (j ) ±1

29 Aula 4 Fatores de primeira ordem (1+j ) ±1 O módulo em dB para o fator de primeira ordem 1/(1+jT) é: O módulo em dB para o fator de primeira ordem 1/(1+jT) é: 29 Para baixas freqüências, como << 1/T Para altas freqüências, como >>1/T

30 Aula 4 Fatores de primeira ordem (1+j ) ±1 Para >>1/T, a curva de módulo em dB é então, uma reta com inclinação de -20dB/década (ou -6db/oitava) Para >>1/T, a curva de módulo em dB é então, uma reta com inclinação de -20dB/década (ou -6db/oitava) A representação logaritmica da curva de resposta em freqüência pode ser aproximada por duas assíntotas A representação logaritmica da curva de resposta em freqüência pode ser aproximada por duas assíntotas

31 Aula 4 31 Fatores de primeira ordem (1+j ) ±1 Freqüência de canto, ou freqüência de quebra ou mudança de inclinação

32 Aula 4 Fatores de primeira ordem (1+j ) ±1

33 Aula 4 Fatores de primeira ordem (1+j ) ±1

34 Aula 4 Fatores de primeira ordem (1+j ) ±1

35 Aula 4 Fatores de primeira ordem (1+j ) ±1 A FT (1/(1+jT) tem as características de um filtro passa- baixas. Para freqüências acima e 1/T, o módulo em dB cai rapidamente para o infinito No filtro passa baixas, a saída pode seguir, com fidelidade, a entrada senoidal para baixas freqüências Em altas freqüências, a amplitude tende a zero e o ângulo de fase de saída tende a -90 º. Se a entrada tem muitos harmônicos, os componentes de baixa freqüência são reproduzidos com fidelidade na saída, enquanto os componentes de alta freqüência são atenuados na amplitude ou defasados. Um elemento de primeira ordem fornece uma duplicação na saída somente para fenômenos constantes ou lentamente variáveis.

36 Aula 4 Fatores de primeira ordem (1+j ) ±1

37 Aula 4 Fatores de primeira ordem (1+j ) ±n

38 Aula 4 Fatores quadráticos [1+2 (j n )+(j n ) 2 ] ±1

39 Aula 4 Fatores quadráticos [1+2 (j n )+(j n ) 2 ] ±1 As aproximações assintóticas para as curvas de resposta em freqüência não são precisas para um fator com baixos valores de. O módulo e a fase do fator quadrático dependem tanto da freqüência de canto como do coeficiente de amortecimento

40 Aula 4 Fatores quadráticos [1+2 (j n )+(j n ) 2 ] ±1 Para baixas freqüências, como << n Para altas freqüências, como >> n

41 Aula 4 Fatores quadráticos [1+2 (j n )+(j n ) 2 ] ±1

42 Aula 4 Fatores quadráticos [1+2 (j n )+(j n ) 2 ] ±1

43 Aula 4 Fatores quadráticos [1+2 (j n )+(j n ) 2 ] ±1

44 Aula 4 Fatores quadráticos [1+2 (j n )+(j n ) 2 ] ±1

45 Aula 4 Fatores quadráticos [1+2 (j n )+(j n ) 2 ] ±1

46 Aula 4 Fatores quadráticos [1+2 (j n )+(j n ) 2 ] ±1

47 Aula 4 Fatores quadráticos [1+2 (j n )+(j n ) 2 ] ±1

48 Aula 4 Freqüência de Ressonância r e Pico de Ressonância M r g( )

49 Aula 4 Freqüência de Ressonância r e Pico de Ressonância M r

50 Aula 4 Freqüência de Ressonância r e Pico de Ressonância M r

51 Aula 4 Freqüência de Ressonância r e Pico de Ressonância M r

52 Aula 4 Freqüência de Ressonância r e Pico de Ressonância M r

53 Aula 4 Procedimentos Geral para a Construção do Diagrama de Bode Reescreve-se a função de transferência senoidal G(j)H(j) como produto de fatores básicos. Identifica-se a freqüência de canto associada a estes fatores básicos Traça-se as curvas assitóticas com módulo em dB com as inclinações apropriadas entre as freqüências de canto A curva do ângulo de fase pode ser obtida adicionando-se as curvas de ângulo de fase dos fatores individuais

54 Aula 4 Exemplo 8.3.

55 Aula 4 Exemplo 8.3.

56 Aula 4 Exemplo 8.3.

57 Aula 4 Exemplo 8.3.

58 Aula 4 Exemplo 8.3.

59 Aula 4 Exemplo 8.3.

60 Aula 4 Sistemas de Fase Mínima e Não Mínima

61 Aula 4 Sistemas de Fase Mínima e Não Mínima

62 Aula 4 Sistemas de Fase Mínima e Não Mínima Os valores dos ângulos de fase são menores para o sistema de fase mínima (G 1 ) para todas as freqüências

63 Aula 4 Sistemas de Fase Mínima e Não Mínima

64 Aula 4 Para sistemas de fase mínima, as características de módulo e de ângulo de fase estão relacionadas univocamente. Se a curva de módulo de um sistema for especificada para toda a gama de valores de freqüência de zero a infinito, a curva de ângulo de fase será determinada de forma única e vice-versa Isto não ocorre para sistemas de fase não- mínima. Sistemas de Fase Mínima e Não Mínima

65 Aula 4 Para sistemas de fase mínima: O ângulo de fase em = torna-se (p-q), onde p e q são os graus dos polinômios do numerador e do denominador da função de transferência, respectivamente. A inclinação da curva de módulo em dB em= é igual a -20(p-q)/década (esta condição vale também para os sistemas de fase não- mínima). Sistemas de Fase Mínima e Não Mínima

66 Aula 4 Retardo no Transporte Tem comportamento de fase não- mínima e apresenta atraso excessivo, sem atenuação nas altas freqüências Esses retardos de transporte normalmente ocorrem nos sistemas térmicos, hidráulicos e pneumáticos

67 Aula 4 Retardo no Transporte

68 Aula 4 Retardo no Transporte

69 Aula 4 Exemplo 8.4.

70 Aula 4 Exemplo 8.4.

71 Aula 4 Exemplo 8.4.

72 Aula 4 Relacionamento entre o Tipo de Sistema e a Curva do Módulo em dB

73 Aula 4 Determinação do Erro Estático de Posição

74 Aula 4 Determinação do Erro Estático de Posição

75 Aula 4 Determinação do Erro Estático de Velocidade

76 Aula 4 Determinação do Erro Estático de Posição

77 Aula 4 Determinação do Erro Estático de Posição

78 Aula 4 Determinação do Erro Estático de Posição

79 Aula 4 Determinação da Constante do Erro Estático de Aceleração

80 Aula 4 Determinação da Constante do Erro Estático de Aceleração

81 Aula 4 Determinação da Constante do Erro Estático de Aceleração

82 Aula 4 Construção do Diagrama de Bode com o Matlab

83 Aula 4 Construção do Diagrama de Bode com o Matlab

84 Aula 4 Construção do Diagrama de Bode com o Matlab

85 Aula 4 Exemplo 8.5

86 Aula 4 Exemplo 8.5.

87 Aula 4 Exemplo 8.6

88 Aula 4 Exemplo 8.6

89 Aula 4 Exemplo 8.6.

90 Aula 4 Exemplo 8.6.

91 Aula 4 Exemplo 8.6.

92 Aula 4 Exemplo 8.6.

93 Aula 4 Exemplo 8.6.

94 Aula 4 Exemplo 8.6.

95 Aula 4 Exemplo 8.6.

96 Aula 4 Obtenção dos Diagramas de Bode nos Sistemas Definidos no Espaço de Estados

97 Aula 4

98 Exemplo 8.7.

99 Aula 4


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