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Aula 19 Sinais e Sistemas – Capítulo 7 Simon Haykin.

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1 Aula 19 Sinais e Sistemas – Capítulo 7 Simon Haykin

2 Aula 19 Representação de Sinais usando Exponenciais Complexas de Tempo Discreto: A Transformada Z Generalizaremos agora a representação senoidal complexa de um sinal de tempo discreto dada pela DTFT para uma representação em termos de sinais exponenciais complexos, a qual é denominada transformada Z.

3 Aula 19 Representação de Sinais usando Exponenciais Complexas de Tempo Discreto: A Transformada Z A DTFT é aplicável somente a sistemas estáveis, enquanto que a transformada Z se aplica a sistemas em geral, seja ele estável ou não. Várias propriedades da DTFT se aplicam também à transformada Z, uma vez que esta é a generalização da DTFT.

4 Aula 19 Representação de Sinais usando Exponenciais Complexas de Tempo Discreto: A Transformada Z Os papéis principais da transformada Z na prática da engenharia são: - O estudo das características de sistemas; - Derivação de estruturas computacionais para implementar sistemas de tempo discreto em computadores; -Resolver equações de diferenças sujeitas a condições iniciais.

5 Aula 19 A Transformada Z Admitamos que seja um número complexo com módulo r e fase. Logo, o sinal x[n]=z n é um sinal complexo, de modo que ou Observe que x[n] é uma senóide complexa no caso particular em que r=1.

6 Aula 19 A Transformada Z Aplicando x[n] a um sistema LTI cuja resposta ao impulso é h[n], resulta que Como x[n]=z n, então

7 Aula 19 A Transformada Z Definindo a função de transferência de forma que Expressando H(z) na forma polar, isto é

8 Aula 19 A Transformada Z então Substituindo z=re j, obtemos Comparando y[n] com Vemos que o sistema multiplica a amplitude da entrada por e desloca a fase dos componentes senoidais de

9 A Transformada Z Substituindo agora z=re j em Obtém-se Observe que corresponde à DTFT de um sinal, de modo que a DTFT inversa resulta em

10 Aula 19 A Transformada Z Multiplicando a última expressão por r n, obtém-se Fazendo, então, de modo que

11 Aula 19 A Transformada Z Analisando agora os limites de integração, percebe-se que quando vai de –π a π, z percorre um círculo de raio r no sentido anti- horário. Dessa forma, escrevemos onde

12 Aula 19 A Transformada Z Logo, obtemos H(z) a partir de h[n] usando e obtemos h[n] a partir de H(z) usando Dizemos que a função de transferência H(z) é a transformada Z da resposta ao impulso h[n].

13 Aula 19 A Transformada Z De maneira geral, a transformada z de um sinal arbitrário x[n] é e a transformada z inversa é Expressamos a relação como

14 Aula 19 A Transformada Z A transformada z existe quando A faixa r para a qual esta condição é satisfeita é chamada de região de convergência Lembre-se que a existência da DTFT exige a somabilidade absoluta de x[n].

15 Aula 19 A Transformada Z Para valores restritos de r, asseguramos que é absolutamente somável, ainda que x[n] não seja. Considere, por exemplo x[n]=α n u[n]. A DTFT de x[n] não existirá para |α|>1. Entretanto, a transformada z de x[n] existirá desde que r>α, pois r -n decrescerá mais rapidamente do que α n.

16 Aula 19 A Transformada Z

17 Aula 19 A Transformada Z O Plano Z

18 Aula 19 A Transformada Z Exemplo 1: Determine a transformada Z do sinal Use a transformada Z para determinar a DTFT de x[n].

19 Aula 19 A Transformada Z Solução: Substitua x[n] em para obter Obtemos a DTFT a partir de X[z] substituindo z=e j.

20 Aula 19 A Transformada Z Forma usual da transformada Z ou Os coeficientes c k s são raízes do numerador, sendo denominados zeros de X(z). Os coeficiente d k s são raízes do denominador, sendo denominados de pólos de X(z).

21 Aula 19 A Transformada Z Exemplo 2: Determine a transformada Z do sinal Descreva a região de convergência e as localizações dos pólos e zeros de X(z) no plano Z.

22 Aula 19 A Transformada Z Solução: Substitua x[n] em para obter Esta é uma série geométrica de tamanho infinito na razão α/z. A soma converge desde que |α/z| |α|. Consequentemente,

23 Aula 19 A Transformada Z Portanto, há um pólo em z=α e um zero em z=0.

24 Aula 19 A Transformada Z Exemplo 3: Determine a transformada Z do sinal Descreva a região de convergência e as localizações dos pólos e zeros de Y(z) no plano Z.

25 Aula 19 A Transformada Z Solução: Substitua y[n] em para obter A soma converge desde que |z/α|<1 ou |z|<|α|. Consequentemente,

26 Aula 19 A Transformada Z

27 Aula 19 A Transformada Z Exemplo 4: Determine a transformada Z do sinal Descreva a região de convergência e as localizações dos pólos e zeros de X(z) no plano Z.

28 Aula 19 A Transformada Z Solução: Substitua x[n] em para obter A soma converge desde que |z|>1/2 e |z|<1.

29 Aula 19 A Transformada Z Consequentemente,


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