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Aula 17 Sinais e Sistemas – Capítulo 4 Simon Haykin.

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1 Aula 17 Sinais e Sistemas – Capítulo 4 Simon Haykin

2 Aula 17 Reconstrução de Sinais de Tempo Contínuo a partir de Amostras Sistema de Reconstrução X[n] X(t) A FT é uma ferramenta ideal para análise de sistemas de reconstrução, uma vez que ela pode ser usada para representar tanto sinais de tempo contínuo quanto de tempo discreto.

3 Aula 17 Reconstrução de Sinais de Tempo Contínuo a partir de Amostras

4 Aula 17 Reconstrução de Sinais de Tempo Contínuo a partir de Amostras Para reconstruir de forma única um sinal de tempo contínuo a partir de suas amostras, deve-se haver uma correspondência única entre as FTs do sinal de tempo contínuo e sua versão amostrada. As FTs se relacionam unicamente se o processo de amostragem não introduz aliasing.

5 Aula 17 Teorema da Amostragem Admitamos que represente um sinal de faixa limitada, de forma que para Se, em que é a frequência de amostragem, então x(t) é determinada de maneira única por suas amostras x(nβ), n=0,±1,±2… A frequência mínima de amostragem é denominada de frequência de amostragem de Nyquist.

6 Aula 17 Teorema da Amostragem Exemplo: Suponhamos que Determine condições no intervalo de amostragem β, de forma que x(t) seja representado de maneira única pela sequência de tempo discreto x[n]=x(nβ). Solução: Tomando a FT de x(t), temos: Consequentemente a frequência máxima presente em x(t) é Logo, é necessário que

7 Aula 17 Reconstrução Ideal Considere o par, de modo que a representação FT de x(t) amostrado,, é Observe que a FT do sinal amostrado é baseada na suposição de que o Teorema da Amostragem é satisfeito.

8 Aula 17 Reconstrução Ideal O objetivo da reconstrução é aplicar uma certa operação a que a converta de volta em A operação deve eliminar as réplicas de que aparecem em Consegui-se isto multiplicando por, em que

9 Aula 17 Reconstrução Ideal Note que não é recuperado a partir de se as condições do Teorema da amostragem não forem satisfeitas e ocorrer aliasing. Lembre-se que a multiplicação no domínio da frequência transforma-se em convolução no domínio do tempo, de modo que onde Desde que, então

10 Aula 17 Reconstrução Ideal Mostra-se em um desenvolvimento passado que de modo que

11 Aula 17 Reconstrução Ideal Reconstruímos x(t) no domínio do tempo a partir de somas ponderadas de funções sinc deslocadas pelo intervalo de amostragem.

12 Aula 17 Reconstrução Ideal Observe que a reconstrução ideal é não-causal, pois depende de valores futuros de x[n]. Logo, não pode ser reproduzida na prática.

13 Aula 17 Reconstrução Prática – O Retentor de Ordem Zero É um dispositivo capaz de reter o valor x[n] durante intervalo β. onde

14 Aula 17 Reconstrução Prática – O Retentor de Ordem Zero Observe que pode ser descrito como Logo, em que

15 Aula 17 Reconstrução Prática – O Retentor de Ordem Zero 1. Defasamento linear 2. Distorção do lóbulo principal 3. Distorção e atenuação dos lóbulos secundários

16 Aula 17 Reconstrução Prática – O Retentor de Ordem Zero As modificações introduzidas pelo retentor de ordem zero são aceitáveis em algumas aplicações. Em muitas aplicações a modificação 1 não apresenta nenhuma consequência real. Há aplicações que exigem um processamento adicional sobre x o (t), de modo a reduzir as modificações 2 e 3. Isto pode ser resolvido usando um filtro de compensação de tempo contínuo com resposta em frequência igual a

17 Aula 17 Reconstrução Prática – O Retentor de Ordem Zero

18 Aula 17 Processamento em Tempo Discreto de Sinais de Tempo Contínuo Vantagens em processar um sinal de tempo contínuo com um sistema de tempo discreto: Facilidade de manipulação usando computador; Facilidade de execução usando computador; Facilidade de atualização; Dependência direta da proporção sinal-ruído com o número de bits usados para representar o sinal de tempo discreto.

19 Aula 17 Processamento em Tempo Discreto de Sinais de Tempo Contínuo O sistema mínimo para processamento em tempo discreto de sinais de tempo contínuo é composto de um dispositivo de amostragem e um dispositivo de computação para implementar o sistema de tempo discreto.

20 Aula 17 Processamento em Tempo Discreto de Sinais de Tempo Contínuo Sistema básico de processamento de sinais de tempo contínuo em tempo discreto A combinação acima pode ser reduzida a um filtro de tempo contínuo equivalente

21 Aula 17 Processamento em Tempo Discreto de Sinais de Tempo Contínuo A idéia é encontrar um sistema de tempo contínuo de modo que Supondo que a operação de processamento em tempo discreto seja representada por um sistema de tempo discreto com resposta em frequência Desde que, então o sistema de tempo discreto tem uma resposta de tempo contínuo

22 Aula 17 Processamento em Tempo Discreto de Sinais de Tempo Contínuo A resposta em frequência associada com o dispositivo de retenção de ordem zero é 1.Filtro antialiasing

23 Aula 17 Processamento em Tempo Discreto de Sinais de Tempo Contínuo 2.Amostragem 3.Processamento de tempo discreto

24 Aula 17 Processamento em Tempo Discreto de Sinais de Tempo Contínuo 4.Reconstrução O filtro antialising elimina os componentes de frequência acima de, de modo que Isto significa que o sistema global é, de fato, equivalente a um sistema LTI de tempo contínuo com resposta em frequência

25 Aula 17 Reconstrução com Série de Fourier para Sinais não Periódicos de Duração Finita MOTIVAÇÃO: A DTFS é a única representação de Fourier que pode ser avaliada numericamente Relacionando a DTFS com a DTFT Admitamos que x[n] é um sinal de duração finita de tamanho N, ou seja, Portanto, a DTFT de x[n] é

26 Aula 17 Reconstrução com Série de Fourier para Sinais não Periódicos de Duração Finita Suponhamos agora que calculemos NM coeficientes da DTFS usando x[n], 0nN-1. Temos o =2π/N e Como x[n]=0 para nM, temos Comparando com, temos que CONCLUSÃO: Os coeficientes da DTFS são amostras da DTFT divididas por N e avaliadas em intervalos 2π/N.

27 Aula 17 Reconstrução com Série de Fourier para Sinais não Periódicos de Duração Finita Convertendo os coeficientes da DTFS de volta a um sinal de domínio do tempo, temos Observe que as senóides complexas são todas de período N, de modo que é também de período N. Um período de é obtido vendo que a expressão acima e são inversas uma da outra, de modo que

28 Aula 17 Reconstrução com Série de Fourier para Sinais não Periódicos de Duração Finita CONCLUSÃO: Os coeficientes da DTFS de x[n] correspondem ao coeficientes da DTFS de um sinal periodicamente estendido, Portanto, o efeito de se amostrar a DTFT de um sinal não periódico de duração finita é estender periodicamente o sinal no domínio do tempo, ou seja

29 Aula 17 Reconstrução com Série de Fourier para Sinais não Periódicos de Duração Finita

30 Aula 17 Reconstrução com Série de Fourier para Sinais não Periódicos de Duração Finita Relacionando a FS com a FT A relação entre os coeficientes da FS com a FT de um sinal não periódico de duração finita é análoga ao caso de tempo discreto discutido. Admitamos que x(t) tenha duração T o, de forma que Construa um sinal periódico com TTo, estendendo x(t) periodicamente, ou seja,

31 Aula 17 Reconstrução com Série de Fourier para Sinais não Periódicos de Duração Finita Os coeficientes da FS de são A FT de x(t) é definida por Comparando com X(jω), conclui-se que Ou seja, os coeficientes da FS são amostras normalizadas com T.


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