Sinais e Sistemas – Capítulo 7

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1 Sinais e Sistemas – Capítulo 7
Aula 1 Sinais e Sistemas – Capítulo 7 Simon Haykin Aula 20

2 Propriedades da Região de Convergência
A região de convergência não deve conter nenhum pólo. Prova: Se d é um pólo, então |X(d)|=∞, de modo que a transformada z não converge no pólo. Aula 20

3 Propriedades da Região de Convergência
A região de convergência de um sinal de duração finita inclui o plano Z inteiro, com exceção, possivelmente, de z=0 e/ou z=∞. Prova: Suponha que x[n] seja diferente de zero somente no intervalo n1≤n≤n2. Logo Aula 20

4 Propriedades da Região de Convergência
A soma convergirá, desde que cada termo seja finito. Se um sinal tiver quaisquer componentes causais diferentes de zero (n2>0), então X(z) terá um termo que envolve z-1, de modo que a região de convergência não poderá incluir z=0. Aula 20

5 Propriedades da Região de Convergência
Se um sinal tiver quaisquer componentes não causais diferentes de zero (n1<0), então X(z) terá um termo que envolve z, de modo que a região de convergência não poderá incluir |z|=∞. Aula 20

6 Propriedades da Região de Convergência
Inversamente, se um sinal não tiver nenhum componente causal diferente de zero (n2≤0) diferentes de zero, então a região de convergência incluirá z=0. Se um sinal não tiver nenhum componente não causal diferente de zero (n1≥0), então a região de convergência incluirá |z|=∞. Logo, x[n]=cδ[n] é o único sinal cuja região de convergência é o plano inteiro, de fato. Aula 20

7 Propriedades da Região de Convergência
Considere agora um sinal de duração infinita. A condição de convergência é |H(z)|<∞. Logo, Aula 20

8 Propriedades da Região de Convergência
Dividindo a soma infinita em partes de tempos positivo e negativo, temos que e Logo, temos que Assim, |X(z)| será finito se I-(z) e I+(z) forem finitos, o que exige que |x[n]| seja limitado de alguma forma. Aula 20

9 Propriedades da Região de Convergência
Suponhamos, então, que possamos limitar |x[n]|, encontrando as menores constantes positivas, A-, A+, r- e r+, tais que e Um sinal que satisfaz esses limites não cresce mais rápido do que r-n, quando n<0, ou do que r+n quando n≥0. Aula 20

10 Propriedades da Região de Convergência
Se é satisfeito, então Observe que o último somatório converge se Se é satisfeito, então Observe que o último somatório converge se Aula 20

11 Propriedades da Região de Convergência
Logo, se , então tanto I+(z) quanto I-(z) convergirão, de modo que |X(z)| também convergirá. Observe que se , então não existirão valores de z para os quais a convergência é garantida Observe que o último somatório converge se Aula 20

12 Propriedades da Região de Convergência
Exemplo: identifique a região de convergência associada à transformada z de cada um dos sinais a seguir. Aula 20

13 Propriedades da Região de Convergência
Solução: Limites de convergência: e Pólos: e Aula 20

14 Propriedades da Região de Convergência
Aula 20

15 Propriedades da Região de Convergência
Solução: Limites de convergência: e Pólos: e Aula 20

16 Propriedades da Região de Convergência
Aula 20

17 Propriedades da Região de Convergência
Solução: Limites de convergência: e Pólos: e Aula 20

18 Propriedades da Região de Convergência
Aula 20

19 Propriedades da Transformada Z
Nas propriedades apresentadas a seguir, supomos que com região de convergência Rx. e com região de convergência Ry. Aula 20

20 Propriedades da Transformada Z
Linearidade com região de convergência igual a no mínimo Rx∩Ry. Aula 20

21 Propriedades da Transformada Z
Exemplo: Suponhamos que com região de convergência igual a e com região de convergência igual a Aula 20

22 Propriedades da Transformada Z
Avalie a transformada Z para Solução: Em geral, a região de convergência é igual à interseção das regiões de convergência individuais, isto é Aula 20

23 Propriedades da Transformada Z
Observe o que acontece no caso particular em que a=b. Neste caso, Para este caso, a região de convergência é igual A transformada z da combinação é Aula 20

24 Propriedades da Transformada Z
X(z) Y(z) aX(z)+aY(z) Aula 20

25 Propriedades da Transformada Z
Inversão de Tempo (Reflexão) com região de convergência igual a 1/Rx. Se Rx tem a forma , então, ao fazer z=z-1, temos que ou Aula 20

26 Propriedades da Transformada Z
Deslocamento no Tempo com região de convergência igual a Rx, com exceção, possivelmente, de z=0 ou |z|=∞. Observe que a multiplicação por introduz um pólo de ordem n0 em z=0, se n0>0. Neste caso, a região de convergência não pode incluir z=0, mesmo que Rx inclua z=0, a menos que X(z) tenha um zero de ordem pelo menos n0 em z=0, de modo a cancelar os novos pólos introduzidos. Aula 20

27 Propriedades da Transformada Z
Deslocamento no Tempo com região de convergência igual a Rx, com exceção, possivelmente, de z=0 ou |z|=∞. Observe que se n0<0, então a multiplicação por introduzirá n0 pólos no infinito. Se esses pólos não forem cancelados por zeros no infinito em X(z), então a região de convergência não poderá incluir |z|=∞. Aula 20