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Aula 20 Sinais e Sistemas – Capítulo 7 Simon Haykin.

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1 Aula 20 Sinais e Sistemas – Capítulo 7 Simon Haykin

2 Aula 20 Propriedades da Região de Convergência 1.A região de convergência não deve conter nenhum pólo. Prova: Se d é um pólo, então |X(d)|=, de modo que a transformada z não converge no pólo.

3 Aula 20 Propriedades da Região de Convergência 2.A região de convergência de um sinal de duração finita inclui o plano Z inteiro, com exceção, possivelmente, de z=0 e/ou z=. Prova: Suponha que x[n] seja diferente de zero somente no intervalo n 1 nn 2. Logo

4 Aula 20 Propriedades da Região de Convergência A soma convergirá, desde que cada termo seja finito. Se um sinal tiver quaisquer componentes causais diferentes de zero (n 2 >0), então X(z) terá um termo que envolve z -1, de modo que a região de convergência não poderá incluir z=0.

5 Aula 20 Propriedades da Região de Convergência Se um sinal tiver quaisquer componentes não causais diferentes de zero (n 1 <0), então X(z) terá um termo que envolve z, de modo que a região de convergência não poderá incluir |z|=.

6 Aula 20 Propriedades da Região de Convergência Inversamente, se um sinal não tiver nenhum componente causal diferente de zero (n 2 0) diferentes de zero, então a região de convergência incluirá z=0. Se um sinal não tiver nenhum componente não causal diferente de zero (n 1 0), então a região de convergência incluirá |z|=. Logo, x[n]=cδ[n] é o único sinal cuja região de convergência é o plano inteiro, de fato.

7 Aula 20 Propriedades da Região de Convergência Considere agora um sinal de duração infinita. A condição de convergência é |H(z)|<. Logo,

8 Aula 20 Propriedades da Região de Convergência Dividindo a soma infinita em partes de tempos positivo e negativo, temos que e Logo, temos que Assim, |X(z)| será finito se I - (z) e I + (z) forem finitos, o que exige que |x[n]| seja limitado de alguma forma.

9 Aula 20 Propriedades da Região de Convergência Suponhamos, então, que possamos limitar |x[n]|, encontrando as menores constantes positivas, A -, A +, r - e r +, tais que e Um sinal que satisfaz esses limites não cresce mais rápido do que r - n, quando n<0, ou do que r + n quando n0.

10 Aula 20 Propriedades da Região de Convergência Se é satisfeito, então Observe que o último somatório converge se Se é satisfeito, então Observe que o último somatório converge se

11 Aula 20 Propriedades da Região de Convergência Logo, se, então tanto I + (z) quanto I - (z) convergirão, de modo que |X(z)| também convergirá. Observe que se, então não existirão valores de z para os quais a convergência é garantida Observe que o último somatório converge se

12 Aula 20 Propriedades da Região de Convergência Exemplo: identifique a região de convergência associada à transformada z de cada um dos sinais a seguir.

13 Aula 20 Propriedades da Região de Convergência Solução: Limites de convergência: e Pólos: e

14 Aula 20 Propriedades da Região de Convergência

15 Aula 20 Propriedades da Região de Convergência Solução: Limites de convergência: e Pólos: e

16 Aula 20 Propriedades da Região de Convergência

17 Aula 20 Propriedades da Região de Convergência Solução: Limites de convergência: e Pólos: e

18 Aula 20 Propriedades da Região de Convergência

19 Aula 20 Propriedades da Transformada Z Nas propriedades apresentadas a seguir, supomos que e com região de convergência Rx. com região de convergência Ry.

20 Aula 20 Propriedades da Transformada Z Linearidade com região de convergência igual a no mínimo RxRy.

21 Aula 20 Propriedades da Transformada Z Exemplo: Suponhamos que com região de convergência igual a e

22 Aula 20 Propriedades da Transformada Z Avalie a transformada Z para Solução: Em geral, a região de convergência é igual à interseção das regiões de convergência individuais, isto é

23 Aula 20 Propriedades da Transformada Z Observe o que acontece no caso particular em que a=b. Neste caso, Para este caso, a região de convergência é igual A transformada z da combinação é

24 Aula 20 Propriedades da Transformada Z X(z)Y(z) aX(z)+aY(z)

25 Aula 20 Propriedades da Transformada Z Inversão de Tempo (Reflexão) com região de convergência igual a 1/Rx. Se Rx tem a forma, então, ao fazer z=z -1, temos que ou

26 Aula 20 Propriedades da Transformada Z Deslocamento no Tempo com região de convergência igual a Rx, com exceção, possivelmente, de z=0 ou |z|=. Observe que a multiplicação por introduz um pólo de ordem n 0 em z=0, se n 0 >0. Neste caso, a região de convergência não pode incluir z=0, mesmo que Rx inclua z=0, a menos que X(z) tenha um zero de ordem pelo menos n 0 em z=0, de modo a cancelar os novos pólos introduzidos.

27 Aula 20 Propriedades da Transformada Z Deslocamento no Tempo com região de convergência igual a Rx, com exceção, possivelmente, de z=0 ou |z|=. Observe que se n 0 <0, então a multiplicação por introduzirá n 0 pólos no infinito. Se esses pólos não forem cancelados por zeros no infinito em X(z), então a região de convergência não poderá incluir |z|=.


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