Transformada-Z reduz-se á transformada Fourier

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1 Transformada-Z reduz-se á transformada Fourier
A Transformada-Z Transformada de Fourier Caso especial da Transformada-Z Transformada-Z Transformada-Z reduz-se á transformada Fourier

2 A Transformada-Z Transformada Z Transformada de Fourier
Determinação de zeros e pólos Analise de estabilidade de sistemas discretos Transformada de Fourier Permite funções generalizadas (diracs) Estudos de sistemas com entradas sinusoidais, por exemplo modelação e desmodelação Resposta em frequência de sistemas

3 Transformada-Z de uma exponencial
Para a série ser absolutamente somável devemos ter Para a série ser absolutamente somável devemos ter

4 Região de Convergência (ROC)
Region of Convergence (ROC) Zona para a qual a série converge Corresponde sempre a um disco (sem as fronteiras) Quando contém o circulo unitário existe transformada de Fourier Sequência bilateral a<|z|<b Sequência esquerda x[n]=0, n>n0 |z|<a Sequência direita x[n]=0, n<n0 |z|>a

5 Região de convergência
Para a série convergir temos de ter Ou seja Pelo que a região só depende do módulo de z, e portanto corresponde a discos centrados na origem

6 Transformada-Z Racional
Em muitos casos práticos podemos representar a transformada-Z por uma função racional. Corresponde aos casos em que x[n] pode ser expresso como uma soma de exponenciais complexas Zeros de Q pólos da transformada, X(z) Zeros de P zeros da transformada A ROC não pode conter pólos, estando limitada por estes.

7 Os pólos permitem analisar a estabilidade do sistema
Pólos e Zeros Zeros Os pólos permitem analisar a estabilidade do sistema Pólos O ROC está limitada pelos pólos!

8 Gráfico do valor absoluto da transformada-z de uma função racional
Pólos e Zeros pólo pólo Pólos: i e i Zero: -0.5 zero Gráfico do valor absoluto da transformada-z de uma função racional Real Imaginário

9 Transformada-Z de Alguns Sinais
Sequência Transformada ROC Pólo em ‘a’ Pólo duplo em ‘a’ Consultar o Livro para uma tabela mais completa

10 Inversão da Transformada-Z
Por Tabelas  (casos simples) Expansão em fracções parciais  (funções racionais) Expansão em série  (polinómios) Resolução numérica da equação às diferenças correspondente. Formula…. Nota: (não esquecer a ROC)

11 Inversão da Transformada-Z
Expansão em fracções parciais  (funções racionais) Termo surge apenas quando ordem de P é maior que de Q Pólos, dk simples e distintos Cada um dos termos pode-se inverter recorrendo a tabelas

12 Propriedades da Transformada-Z
Linearidade Diferenciação de X(z) Deslocação no tempo Inversão no tempo Conjugação Multiplicação por exponencial Convolução no tempo Valor inicial

13 Função de Sistema A transformada Z da resposta impulsiva de um sistema designa-se por, função de sistema, H(z) A função de sistema é equivalente à função de transferência quando Z se encontra no circulo unitário.

14 Resolução de Equações às Diferenças
Função de sistema TZ

15 Resolução de Equações às Diferenças
Para o caso de condições iniciais não nulas existe um regime transitório: Num ponto do futuro relativamente as condições inicias (sistema causal) Resposta forçada Regime transitório (zp – pólos de H(z)) O regime transitório é formado por uma soma de exponências complexas de bases que correspondem aos pólos do sistema, zp. Os coeficientes da resposta ap podem ser obtidos atravez da resolução de um sistema de equações obtido atravez da aplicação das condições iniciais do sistema.

16 Regime transitório Temos que: Y(z)=H(z) X(z)
Para ajudar a relembrar Temos que: Y(z)=H(z) X(z) Apenas pode existir sinal y para x(z)=0, se H(z)= ou seja para os pólos de H(z)!! Se o pólo estiver fora do circulo unitário a saída cresce sem limites  sistema instável

17 Pólos dentro do circulo de raio unitário
Estabilidade Sistema causal e estável Pólos dentro do circulo de raio unitário Sistema de fase mínima (causal) Sistema estável e de inversa causal e estável Pólos e zeros dentro do circulo de raio unitário Notar que a inversa de um sistema que não é de fase mínima pode ser considerado como sistema não causal ou um sistema instável dependendo da ROC escolhida.

18 Estabilidade A resposta impulsiva de um sistema estável tem transformada Z A ROC de um sistema estável contem o circulo unitário (tal permite testar a estabilidade de sistemas causais e não causais) Notar que: a resposta impulsiva de sistema causal é um sinal direito e portanto a ROC é externa o que implica que os pólos devem estar no interior do circulo unitário

19 Estabilidade Sistemas estáveis Sistemas instáveis Sistema causal
Circulo raio unitário Sistema causal ROC

20 Sistema de fase mínima:
Inversão de Sistemas Sistema de fase mínima: Pólos e zeros dentro do Circulo unitário Sistema de fase não mínima: Zeros fora do Circulo unitário. Não tem inversa estável e causal. Mas têm inversa não causal e estável, ou instável e causal…. São estáveis e causais e têm inversa estável e causal -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 0.5 1 h[n] Inversa não causal..