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1 A Transformada-Z Transformada de Fourier Transformada-Z Transformada-Z reduz-se á transformada Fourier Caso especial da Transformada-Z.

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1 1 A Transformada-Z Transformada de Fourier Transformada-Z Transformada-Z reduz-se á transformada Fourier Caso especial da Transformada-Z

2 2 A Transformada-Z Transformada Z Determinação de zeros e pólos Analise de estabilidade de sistemas discretos Transformada de Fourier Permite funções generalizadas (diracs) Estudos de sistemas com entradas sinusoidais, por exemplo modelação e desmodelação Resposta em frequência de sistemas

3 3 Transformada-Z de uma exponencial Para a série ser absolutamente somável devemos ter

4 4 Região de Convergência (ROC) Region of Convergence (ROC) Zona para a qual a série converge Corresponde sempre a um disco (sem as fronteiras) Quando contém o circulo unitário existe transformada de Fourier Sequência direita x[n]=0, n a Sequência esquerda x[n]=0, n>n0 |z|

5 5 Região de convergência Para a série convergir temos de ter Ou seja Pelo que a região só depende do módulo de z, e portanto corresponde a discos centrados na origem

6 6 Transformada-Z Racional Em muitos casos práticos podemos representar a transformada-Z por uma função racional. pólos Zeros de Q pólos da transformada, X(z) zeros Zeros de P zeros da transformada estando limitada por estes A ROC não pode conter pólos, estando limitada por estes. Corresponde aos casos em que x[n] pode ser expresso como uma soma de exponenciais complexas

7 7 Pólos e Zeros Zeros Pólos O ROC está limitada pelos pólos! Os pólos permitem analisar a estabilidade do sistema

8 8 Pólos e Zeros zero pólo Pólos: i e i Zero: -0.5 Real Imaginário Gráfico do valor absoluto da transformada-z de uma função racional

9 9 Transformada-Z de Alguns Sinais Consultar o Livro para uma tabela mais completa SequênciaTransformadaROC Pólo em a Pólo duplo em a

10 10 Inversão da Transformada-Z Por Tabelas (casos simples) Expansão em fracções parciais (funções racionais) Expansão em série (polinómios) Resolução numérica da equação às diferenças correspondente. Formula…. Nota: (não esquecer a ROC)

11 11 Inversão da Transformada-Z Expansão em fracções parciais (funções racionais) Termo surge apenas quando ordem de P é maior que de Q Pólos, d k simples e distintos Cada um dos termos pode-se inverter recorrendo a tabelas

12 12 Propriedades da Transformada-Z Diferenciação de X(z) Deslocação no tempo Inversão no tempo Convolução no tempo Multiplicação por exponencial Linearidade Valor inicial Conjugação

13 13 Função de Sistema função de sistema, H(z) A transformada Z da resposta impulsiva de um sistema designa-se por, função de sistema, H(z) função de transferência A função de sistema é equivalente à função de transferência quando Z se encontra no circulo unitário.

14 14 Resolução de Equações às Diferenças TZ Função de sistema

15 15 Resolução de Equações às Diferenças Para o caso de condições iniciais não nulas existe um regime transitório: Regime transitório (z p – pólos de H(z)) Resposta forçada O regime transitório é formado por uma soma de exponências complexas de bases que correspondem aos pólos do sistema, z p. Os coeficientes da resposta a p podem ser obtidos atravez da resolução de um sistema de equações obtido atravez da aplicação das condições iniciais do sistema. Num ponto do futuro relativamente as condições inicias (sistema causal)

16 16 Regime transitório Temos que: Y(z)=H(z) X(z) Apenas pode existir sinal y para x(z)=0, se H(z)= ou seja para os pólos de H(z)!! Se o pólo estiver fora do circulo unitário a saída cresce sem limites sistema instável Para ajudar a relembrar

17 17 Estabilidade Sistema causal e estável Pólos dentro do circulo de raio unitário Pólos dentro do circulo de raio unitário Sistema de fase mínima (causal) Sistema estável e de inversa causal e estável Pólos e zeros dentro do circulo de raio unitário Notar que a inversa de um sistema que não é de fase mínima pode ser considerado como sistema não causal ou um sistema instável dependendo da ROC escolhida.

18 18 Estabilidade A resposta impulsiva de um sistema estável tem transformada Z A ROC de um sistema estável contem o circulo unitário (tal permite testar a estabilidade de sistemas causais e não causais) sinal direito ROC é externa Notar que: a resposta impulsiva de sistema causal é um sinal direito e portanto a ROC é externa o que implica que os pólos devem estar no interior do circulo unitário

19 19 Estabilidade Sistemas estáveis Sistemas instáveis Sistema causal Circulo raio unitário ROC

20 20 Inversão de Sistemas Sistema de fase mínima: Pólos e zeros dentro do Circulo unitário São estáveis e causais e têm inversa estável e causal Sistema de fase não mínima: Zeros fora do Circulo unitário. Não tem inversa estável e causal. Mas têm inversa não causal e estável, ou instável e causal… Inversa não causal.. h[n]


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