Amostragem/Reconstrução

Apresentação em tema: "Amostragem/Reconstrução"— Transcrição da apresentação:

1 Amostragem/Reconstrução
Amostragem impulsiva

2 Teorema de Amostragem Ou critério de Nyquist
Notar que: Transformada de um pente de diracs é um pente de diracs: ) ( 2 f d p = W A reconstrução do sinal contínuo é possível desde que: O espectro do sinal amostrado é uma soma de réplicas do sinal continuo deslocadas na frequência.

3 Teorema de Amostragem Amostragem impulsiva Sem Sobreposição espectral
(sem aliasing) Espectro do sinal contínuo Com Sobreposição espectral (aliasing) Espectro de uma sequência de diracs Amostragem

4 Aliasing Cos[(2-)n+]=Cos[-n+]=Cos[n-]
0<  para n inteiro Dois sinais analógicos diferentes têm a mesma representação digital: Cos[(2fA-2f) t + ] e Cos[2f t - ] Implica perca de informação a não ser que não seja possível encontrar alguns dos sinais referidos na entrada, nomeadamente se as frequências do sinal de entrada estiverem limitadas a fA/2.

5 Teorema de Amostragem Ou seja Se o sinal original estiver limitado a frequências inferiores a fA/2 é possível reconstruir o sinal original a partir do amostrado (com um filtro passa baixo) e não há perca de informação. Se o sinal não estiver limitado a frequências inferiores a fA/2 existem diversas frequências analógicas que correspondem á mesma frequência digital (aliasing), pelo que há perca de informação. Conclusão: não há perca de informação quando amostramos um sinal real analógico arbitrário com largura de banda B, se e só se fA >2B

6 Reconstrução Amostragem Reconstrução
É possível através de um filtro passa baixo desde que não exista sobreposição espectral

7 Reconstrução Vale zero nos pontos correspondentes às restantes amostras Soma de Sincs

8 Frequência de amostragem
Na prática, dependendo da aplicação, a frequência de amostragem deve ser maior do que 2B, por exemplo Fa=4B Tal permite filtros de reconstrução e de anti-aliasing menos selectivos, e mais fácil de implementar na prática.

9 Sub/Sobre-Amostragem
Teorema da Amostragem ( B < (2/M)/2 ) Sub Amostragem: Redução da frequência de amostragem. Nota: não é, em geral, equivalente a amostrar a uma frequência superior Sobre Amostragem: Aumento da frequência de amostragem.

10 Processamento de Sinais contínuos
Filtro Anti- Conversor Amostragem e Sobreposição de Analógico para retensão espectro Digital Processador Digital de Sinais Conversor Digital para analógico Filtro de reconstrução retenção de ordem zero

11 Relação entre a DTFT e FT
A DTFT resulta da Transformada de Fourier quando consideramos o sinal no tempo formado por uma série de diracs

12 Relação entre a DTFT e FT
A FT também pode ser derivada da DTFT quando o intervalo de amostragem tende para zero!

13 Resposta em Frequência
O processamento de sinais contínuos através de sistemas discretos (digitais) conduz a sistemas que são apenas aproximadamente invariantes no tempo! Frequência normalizada No entanto quando podemos aplicar o critério de Nyquist: ) ( f H X Y R A s = ÷ ø ö ç è æ a 2 π ω j H(e

14 Aproximação de invariancia no tempo
Os sistemas de Processamento digital de sinais contínuos são apenas aproximadamente invariantes no tempo: Os sinais devem estar dentro do limite de Nyquist limitados pelos filtros de anti-aliasing ou de reconstrução. Tal pode implicar duas coisas: Que o atrasos do filtro é consideravelmente maior que o período de amostragem. Para filtros muito selectivos o atraso será grande. Se os filtros não forem muito selectivos então o sinal fora da banda é reflectido para dentro da banda resultando em ruído de medição. Os filtros utilizados na prática dependem da aplicação. Os sinais variam lentamente quando comparados com o período de amostragem

15 Exemplo: Implementação de um Atraso Fraccionário
Atraso Fraccionário: Um atraso que não é múltiplo da frequência de amostragem. nT Assumindo filtros de anti-aliasing e de reconstrução ideais: O que corresponde a um impulso para atrasos inteiros, e a um sinc amostrado para atrasos fraccionários. Notar que é possível facilitar muito a implementação se não se exigir a correspondência ao atraso em toda a banda. 5 10 15 20 -0.5 0.5 1

16 Modelação e desmodelação
Sinal digital DSP D/A Canal A/D Filtro de reconstrução Filtro anti-aliasing Sinal digital

17 Retenção de ordem zero (ZOH)
Amostragem e Retenção A reconstrução é muitas vezes efectuada utilizando retentores de ordem zero. Amostragem Retenção de ordem zero (ZOH)

18 ZOH ZOH Saída é convulsionada,
Se necessário o efeito pode ser eliminado pre-filtrando o sinal por um filtro cuja função de transferência seja a inversa deste na banda de passagem! Sinal digital ZOH Ex: Fa = 400 Hz B = 80 Hz resultado

19 Amostragem de Sinais Passa-banda
Sinal Real Replicando separadamente as frequências positivas e negativas B Amostragem para certos valores da frequência central e da largura de banda (tal como na figura) Distância entre réplicas: 2B = Fa Para sinais complexos temos Fa>B! Em qualquer caso é pelo menos necessário que Fa>2B