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1 A Transformada de Fourier Discreta Existe uma correspondência entre sequências finitas e sequências periódicas A Transformada de Fourier Discreta de.

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Apresentação em tema: "1 A Transformada de Fourier Discreta Existe uma correspondência entre sequências finitas e sequências periódicas A Transformada de Fourier Discreta de."— Transcrição da apresentação:

1 1 A Transformada de Fourier Discreta Existe uma correspondência entre sequências finitas e sequências periódicas A Transformada de Fourier Discreta de uma sequência finita, corresponde à Transformada de Fourier da Sequência periódica obtida por repetição da sequência finita Série de Fourier (DFS) Transformada de Fourier (DTFT) Transformada de Fourier Discreta (DFT)

2 2 Série A Série de Fourier Discreta (DFS) Com:

3 3 Série A Série de Fourier Discreta (DFS) Série de Fourier Discreta Inversa Série de Fourier Discreta DFS – Discrete Fourier Series

4 4 Relações da Série de Fourier Relações entre a Série de Fourier Discreta e a Transformada de Fourier Temos ainda Transformada de Fourier do sinal periódico Transformada de Fourier do sinal finito Amostras do espectro do sinal

5 5 Série Propriedades da Série de Fourier Discreta

6 6

7 7 A Transformada de Fourier Discreta (DFT) DFT- Discrete Fourier Transform Matriz (dois índices) vector

8 8 A Transformada de Fourier Discreta (DFT) A DFT corresponde a representação de x[n] numa base diferente, sendo sempre possível recuperar o sinal original.

9 9 Convolução Periódica (circular) Convolução periódica A convolução no tempo só corresponde a multiplicação na frequência para a DFS. Para a DFT temos de utilizar a convolução circular. A convolução circular é comutativa. Convolução circular

10 10 Convolução Periódica (circular) DCT = DTFT Amostrada aliasing no tempo

11 11 Convolução Periódica rodar Um atraso corresponde a rodar a sequência!

12 12 Goertzel Algorithm Notar que: x[n]=0 para n<0

13 13 A Transformada Rápida de Fourier (FFT) N^2 Requer N^2 multiplicações Fast Fourier Transform (FFT) É uma algoritmo computacionalmente eficiente para o cálculo da DFT DFT: FFT N log 2 N N log 2 N multiplicações

14 14 Principio Básico da FFT A DFT de um vector de dimensão N pode ser calculada à custa de duas DFT de dimensão N/2

15 15 Grapho de uma FFT Butterfly x[n]X[k] FFT DFT

16 16 Efeito do Ruído de Quantificação (virgula fixa) Cada valor é calculado através de N-1 Butterflys Em cada Butterfly há um arredondamento (o erro é ~ b ) Ruído no resultado (pior caso): (N-1) b Ruído no resultado assumindo sinais de ruído independentes: 1 Multiplicação Complexa = 4 Multiplicações reais

17 17 Efeito do Ruído de Quantificação Para prevenir a saturação no pior caso do resultado devemos a componente real e complexa de x[n] menor que 1/N ou seja: Ou seja duplicar N implica perder um bit de relação sinal ruído Adicionando um escalamento de ½ às butterflys da FFT reduz a relação ruído sinal (N/S) para: Para processadores de virgula flutuante: Sinais de banda larga: 4N2 -2B Sinais sinusoidais: 4 log 2 N 2 -2B

18 18 Ordenação de bits Invertidos 1ª divisão Xx0 (pares) Xx1 (impares) 2ª divisão X00 X10 X01 X11 3ª divisão Corresponde à ordenação tradicional mas com bits invertidos!! A reordenação pode ser efectuada in place

19 19 Outras Implementações Decimação na frequência Os coeficientes estão ordenados no tempo, e em ordem de bits invertidos na frequência! Não necessita de Bit_reversed_addressing para implementar a convolução com a FFT. Outras bases que não a dois! Permite FFT de dimensão que não são potência de dois (sem extensão com zeros) Pode conduzir a um menor ruído de quantificação Implementações com ordem directa na entrada e na saída Não permitem computação no local

20 20 Implementação Blocos: corresponde ao cálculo de uma DFT de dimensão inferior Um loop externo para os diferentes estágios Tamanho do bloco começa por ser dois e duplica para cada novo estádio. Loop interno para diferentes blocos Cálculo de half_block_size Butterflys Os coeficientes das butterflys estão espaçados de half_block_size

21 21 Implementação da Convolução Linear com a FFT Série de Fourier Discreta convolução A convolução de uma sequência de dimensão L por uma de dimensão N resulta numa sequência de dimensão L+N-1

22 22 Implementação da Convolução Linear com a FFT Pretendemos obter a convolução de x[n] com y[n], 0 n < N Estende-se x[n] e y[n] com N zeros x e [n] = [x[n], ], y e [n] = [y[n], ] Efectua-se a convolução circular de x e [n] com y e [n] #N #M #(N+M-1) Aplicações: Overlap and Add e Overlap and Save

23 23 Overlap and SAVE / Overlap and ADD Implementação de filtros FIR, por blocos usando a FFT. Implementação de convolução de dois vectores de sinais (x[n] e h[n]) com um dos vectores (x[n]) muito maior que outro (h[n]). Solução: dividir x[n] em blocos: Overlap and SAVE Implementar a convolução circular de dois blocos do sinal de dados com a resposta ao impulso…. Overlap and ADD Implementar a convolução de um bloco do sinal de dados com a resposta ao impulso. Somar resultados de outros blocos. Desvantagem: atraso na saída

24 24 Overlap and Add x0[n]x1[n]x2[n]x3[n]x4[n] h[n]convolução x0[n]*h[n] x1[n]*h[n] x2[n]*h[n] y0[n]y1[n]y2[n]y3[n]y4[n] Add Convolução linear implementada com a FFT

25 25 Overlap and Save x0[n]x1[n]x2[n]x3[n]x4[n] h[n] convolução (x0[n]|x1[n])*h[n] y0[n]y1[n]y2[n]y3[n]y4[n] Save (x1[n]|x2[n])*h[n] (x2[n]|x3[n])*h[n] aliasing Bloco errado Bloco correcto Convolução circular implementada com a FFT


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