Sinal unidimensional 1 |F(u)| f(x) X=10.

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1 Sinal unidimensional 1 |F(u)| f(x) X=10

2 espectro centrado em u = 0

3 Sinal unidimensional 2 |F(u)| f(x)

4 espectro centrado em u = 0

5 Sinal unidimensional 2 |F(u)| f(x)

6 espectro centrado em u = 0

7 TF de uma constante f(x) F(u)

8 TF de um impulso f(x) F(u)

9 Fourier com log(1+|F(u)|) Fourier com shift
original Fourier com log(1+|F(u)|) Fourier com shift 200000 47

10 Filtro ideal F H

11 Filtro ideal

12 Filtro de Butterworth F H

13 Filtro de Butterworth

14 Filtro passa-altas ideal
H

15 Filtro passa-altas ideal

16 Filtro passa-altas Butterworth

17 Filtro passa-altas Butterworth

18 Convolução espacial m x m 200 400 m f(m) h(m) 200 400 m f(x)*h(x)
200 400 m f(m) Convolução espacial h(m) 200 400 m f(x)*h(x) h(-m) 200 400 600 800 x 200 400 m h(x-m) x 200 400 m

19 Convolução levando-se em conta a periodicidade da DFT
f(m) 200 400 m f(x)*h(x) h(m) m 200 400 m x 100 400 h(-m) 200 400 m h(x-m) x 200 400 m

20 Convoluçao com as funções estendidas: T = 800 (400+400)
f(m) m 200 400 600 800 h(m) f(x)*h(x) m 200 400 600 800 h(-m) 500 800 x m 200 400 600 800 h(x-m) x m 200 400 600 800

21 Etapas da implementação da filtragem por DFT
Estender o período MxN de f considerando o período PxQ do filtro h  Novo período RxS Calcular a TF de f estendida  Gerar a função H do filtro de tamanho RxS  Multiplicar ponto a ponto a transformada de f estendida pelo filtro  G = F.H Obter a parte real da transformada inversa discreta de Fourier  Recortar o canto superior esquerdo de g de dimensão MxN  g = crop(g)

22 Exemplo: filtragem sem extensão
(padding) f F H

23 sem padding . … … .

24 Exemplo: filtragem com extensão
(padding) f F H

25 Com padding . … .

26 Filtragem gaussiana original imagem com ruído

27 imagem com ruído espectro de Fourier

28 Máscara h de convolução gaussiana 15x15 (sigma = 3)

29 Filtragem no domínio espacial
imagem filtrada: f*h imagem com ruído f

30 espectro de Fourier H da máscara de convolução

31 H estendido e com origem no centro

32 H estendido e com origem não transladada

33 Filtragem no domínio da frequência
imagem com ruído f

34 Comparação dos resultados
g = f*h

35 imagem de diferença entre as filtragens

36 Filtro passa-altas H = Espectro máscara de Sobel h = Sobel 1 -1 2 -2

37 H = Sobel

38 imagem f

39 g = f * h

40 Contornos após limiarização (10% do maior valor na imagem)
por convolução por TF

41 Filtros definidos diretamente no domínio da frequência
Exemplo: Filtro passa-baixas ideal Original f

42 H ideal F Imagem filtrada

43 H ideal F Imagem filtrada

44 H ideal F Imagem filtrada

45 H = Butterworth Imagem filtrada

46 Filtragem gaussiana passa-baixas

47 original f

48 M M

49 original f

50 M M

51 original f

52 Filtragem passa-altas
Definida também por: Passa-altas ideal

53 f H ideal

54 Filtro passa-altas gaussiano

55 f H gaussiano

56 Filtragem com ênfase nas altas frequências
restitui parte da componente DC perdida na filtragem passa-altas e reforça as componentes de alta frequência do filtro Hpa.

57 Exemplo: Original Equalização

58 Butterworth Original

59 Butterworth Equalização

60 *Hpa Equalização