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Aula 15 Sinais e Sistemas – Capítulo 4 Simon Haykin.

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1 Aula 15 Sinais e Sistemas – Capítulo 4 Simon Haykin

2 Aula 15 Propriedade da Convolução Considere a convolução de dois sinais de tempo contínuo não periódicos x(t) e h(t). Expressando x(t-τ) em termos de sua FT, temos de modo que

3 Aula 15 Propriedade da Convolução Conclusão: y(t) é a FT inversa de H(jω)X(jω), de modo que a convolução de sinais no tempo corresponde a uma multiplicação das transformadas no domínio da frequência, isto é

4 Aula 15 Propriedade da Convolução De forma similar, temos que

5 Aula 15 Diferenciação no Tempo Seja x(t) um sinal não periódico e X(jω) sua FT, de modo que Diferenciando a expressão acima com respeito a t, temos Logo,

6 Aula 15 Diferenciação na Frequência Diferenciando agora com respeito a ω, temos Logo,

7 Aula 15 Aplicações das Representações de Fourier As duas aplicações são: Análise da interação entre sinais e sistemas; Avaliação numérica das propriedades do sinal ou do comportamento do sistema. FT e DTFT são as mais comumente usadas para análise. DTFS é a principal representação usada em aplicações computacionais.

8 Aula 15 Resposta em Frequência de Sistemas LTI A resposta ao impulso de um sistema BIBO estável é absolutamente somável, isto é Logo, as condições de Dirichlet são satisfeitas, de modo que tanto a FT quanto a DTFT existem. Conclusão: a resposta em frequência existe para sistemas estáveis!

9 Aula 15 Resposta em Frequência de Sistemas LTI Propriedade da Convolução

10 Aula 15 Resposta em Frequência de Sistemas LTI Filtragem de sinais Passa-Baixas Passa-Altas Passa-Faixa

11 Aula 15 Resposta em Frequência de Sistemas LTI Resposta de Módulo: em unidades de decibéis [dB] ou A resposta em módulo na faixa de rejeição é muito menor do que na faixa de passagem, de modo que os detalhes da faixa de rejeição são muito difíceis de visualizar numa escala linear. O ganho unitário corresponde a 0dB. A margem da faixa de passagem é definida pelas frequências cuja resposta é -3dB do valor máximo ou do valor máximo.

12 Aula 15 Resposta em Frequência de Sistemas LTI A margem da faixa de passagem é definida pelas frequências cuja resposta é -3dB do valor máximo ou do valor máximo. Desde que o espectro de energia da saída do filtro é dado por temos que os pontos -3dB corresponde às frequências onde o filtro deixa passar somente metade da potência de entrada. Tais frequências são comumente conhecidas como frequências de corte.

13 Aula 15 Resposta em Frequência de Sistemas LTI Exemplo: A resposta ao impulso do circuito RC da figura é Trace a resposta em módulo em escala linear e em dB, caracterizando, a seguir, este sistema como um filtro. Solução: A resposta em frequência do sistema é

14 Aula 15 Resposta em Frequência de Sistemas LTI Trata-se de um filtro passa-baixas.

15 Aula 15 Resposta em Frequência de Sistemas LTI A propriedade da convolução implica que a resposta em frequência de um sistema pode ser expressa como a razão entre a FT ou DTFT da saída e da entrada, isto é para X(jω)0 ou para X(e j )0.

16 Aula 15 Resposta em Frequência de Sistemas LTI Se H(jω)0 ou H(ej)0, então é possível recupera a entrada do sistema a partir da saída, isto é ou, em que O sistema inverso é conhecido como equalizador. O processo de recuperar a entrada a partir da saída é conhecido como equalização.

17 Aula 15 Descrições por Equação Diferencial e de Diferenças A definição de um sistema por resposta em frequência representa apenas o sistema em estado estacionário. Para representar as condições iniciais do sistema, devemos descrevê-lo a partir de equação diferencial ou de diferenças. A representação por equação diferencial de um sistema de tempo contínuo é como segue:

18 Aula 15 Descrições por Equação Diferencial e de Diferenças Aplicando a FT em temos ou

19 Aula 15 Descrições por Equação Diferencial e de Diferenças Logo, a resposta em frequência pode também ser descrita a partir de uma equação diferencial linear de coeficientes constantes (razão entre dois polinômios em jω.

20 Aula 15 Descrições por Equação Diferencial e de Diferenças A representação por equação de diferenças de um sistema de tempo discreto é como segue: Aplicando a DTFT na equação, obtém-se ou

21 Aula 15 Descrições por Equação Diferencial e de Diferenças Logo, a resposta em frequência pode também ser descrita a partir de uma equação de diferenças linear de coeficientes constantes (razão entre dois polinômios em e -j.

22 Aula 15 Descrições por Equação Diferencial e de Diferenças Exemplo: Encontre a resposta em frequência e a resposta em módulo do sistema descrito pela equação diferencial Solução: Observe que N=2 e M=1 em

23 Aula 15 Descrições por Equação Diferencial e de Diferenças Logo, A resposta ao impulso é dada pela FT inversa, a qual é obtida usando a expansão em frações parciais, isto é Resolvendo para A e B, encontramos A=-1 e B=3, de modo que FT inversa

24 Aula 15 Descrição por Variáveis de Estado A descrição por variável de estado de um sistema de tempo contínuo é como segue: Determinamos a resposta em frequência em termos de A, b,c e D tomando a FT das equações acima, isto é

25 Aula 15 Descrição por Variáveis de Estado Logo, De forma análoga, obtém-se que a resposta em frequência de um sistema de tempo discreto, em termos de A, b,c e D, é dada por

26 Aula 15 Descrição por Variáveis de Estado Exemplo: Determine a resposta em frequência do sistema de tempo contínuo com descrição por variáveis de estado. Solução:

27 Aula 15 Descrição por Variáveis de Estado Logo,


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