Sinais e Sistemas – Capítulo 4

Apresentação em tema: "Sinais e Sistemas – Capítulo 4"— Transcrição da apresentação:

1 Sinais e Sistemas – Capítulo 4
Aula 1 Sinais e Sistemas – Capítulo 4 Simon Haykin Aula 15

2 Propriedade da Convolução
Considere a convolução de dois sinais de tempo contínuo não periódicos x(t) e h(t). Expressando x(t-τ) em termos de sua FT, temos de modo que Aula 15

3 Propriedade da Convolução
Conclusão: y(t) é a FT inversa de H(jω)X(jω), de modo que a convolução de sinais no tempo corresponde a uma multiplicação das transformadas no domínio da frequência, isto é Aula 15

4 Propriedade da Convolução
De forma similar, temos que Aula 15

5 Diferenciação no Tempo
Seja x(t) um sinal não periódico e X(jω) sua FT, de modo que Diferenciando a expressão acima com respeito a t, temos Logo, Aula 15

6 Diferenciação na Frequência
Diferenciando agora com respeito a ω, temos Logo, Aula 15

7 Aplicações das Representações de Fourier
As duas aplicações são: Análise da interação entre sinais e sistemas; Avaliação numérica das propriedades do sinal ou do comportamento do sistema. FT e DTFT são as mais comumente usadas para análise. DTFS é a principal representação usada em aplicações computacionais. Aula 15

8 Resposta em Frequência de Sistemas LTI
A resposta ao impulso de um sistema BIBO estável é absolutamente somável, isto é Logo, as condições de Dirichlet são satisfeitas, de modo que tanto a FT quanto a DTFT existem. Conclusão: a resposta em frequência existe para sistemas estáveis! Aula 15

9 Resposta em Frequência de Sistemas LTI
Propriedade da Convolução Aula 15

10 Resposta em Frequência de Sistemas LTI
Filtragem de sinais Passa-Baixas Passa-Altas Passa-Faixa Aula 15

11 Resposta em Frequência de Sistemas LTI
Resposta de Módulo: em unidades de decibéis [dB] ou A resposta em módulo na faixa de rejeição é muito menor do que na faixa de passagem, de modo que os detalhes da faixa de rejeição são muito difíceis de visualizar numa escala linear. O ganho unitário corresponde a 0dB. A margem da faixa de passagem é definida pelas frequências cuja resposta é -3dB do valor máximo ou do valor máximo. Aula 15

12 Resposta em Frequência de Sistemas LTI
A margem da faixa de passagem é definida pelas frequências cuja resposta é -3dB do valor máximo ou do valor máximo. Desde que o espectro de energia da saída do filtro é dado por temos que os pontos -3dB corresponde às frequências onde o filtro deixa passar somente metade da potência de entrada. Tais frequências são comumente conhecidas como frequências de corte. Aula 15

13 Resposta em Frequência de Sistemas LTI
Exemplo: A resposta ao impulso do circuito RC da figura é Trace a resposta em módulo em escala linear e em dB, caracterizando, a seguir, este sistema como um filtro. Solução: A resposta em frequência do sistema é Aula 15

14 Resposta em Frequência de Sistemas LTI
Trata-se de um filtro passa-baixas. Aula 15

15 Resposta em Frequência de Sistemas LTI
A propriedade da convolução implica que a resposta em frequência de um sistema pode ser expressa como a razão entre a FT ou DTFT da saída e da entrada, isto é para X(jω)≠0 ou para X(ejΩ)≠0. Aula 15

16 Resposta em Frequência de Sistemas LTI
Se H(jω)≠0 ou H(ejΩ)≠0, então é possível recupera a entrada do sistema a partir da saída, isto é , em que ou , em que O sistema inverso é conhecido como equalizador. O processo de recuperar a entrada a partir da saída é conhecido como equalização. Aula 15

17 Descrições por Equação Diferencial e de Diferenças
A definição de um sistema por resposta em frequência representa apenas o sistema em estado estacionário. Para representar as condições iniciais do sistema, devemos descrevê-lo a partir de equação diferencial ou de diferenças. A representação por equação diferencial de um sistema de tempo contínuo é como segue: Aula 15

18 Descrições por Equação Diferencial e de Diferenças
Aplicando a FT em temos ou Aula 15

19 Descrições por Equação Diferencial e de Diferenças
Logo, a resposta em frequência pode também ser descrita a partir de uma equação diferencial linear de coeficientes constantes (razão entre dois polinômios em jω. Aula 15

20 Descrições por Equação Diferencial e de Diferenças
A representação por equação de diferenças de um sistema de tempo discreto é como segue: Aplicando a DTFT na equação, obtém-se ou Aula 15

21 Descrições por Equação Diferencial e de Diferenças
Logo, a resposta em frequência pode também ser descrita a partir de uma equação de diferenças linear de coeficientes constantes (razão entre dois polinômios em e-jΩ. Aula 15

22 Descrições por Equação Diferencial e de Diferenças
Exemplo: Encontre a resposta em frequência e a resposta em módulo do sistema descrito pela equação diferencial Solução: Observe que N=2 e M=1 em Aula 15

23 Descrições por Equação Diferencial e de Diferenças
Logo, A resposta ao impulso é dada pela FT inversa, a qual é obtida usando a expansão em frações parciais, isto é Resolvendo para A e B, encontramos A=-1 e B=3, de modo que FT inversa Aula 15

24 Descrição por Variáveis de Estado
A descrição por variável de estado de um sistema de tempo contínuo é como segue: Determinamos a resposta em frequência em termos de A, b,c e D tomando a FT das equações acima, isto é Aula 15

25 Descrição por Variáveis de Estado
Logo, De forma análoga, obtém-se que a resposta em frequência de um sistema de tempo discreto, em termos de A, b,c e D, é dada por Aula 15

26 Descrição por Variáveis de Estado
Exemplo: Determine a resposta em frequência do sistema de tempo contínuo com descrição por variáveis de estado. Solução: Aula 15

27 Descrição por Variáveis de Estado
Logo, Aula 15