Análise da Resposta em Frequência

Análise da Resposta em Frequência
UNIVERSIDADE GAMA FILHO PROCET – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CONTROLE E AUTOMAÇÃO 12ª Aula 12 Análise da Resposta em Frequência Professor Leonardo Gonsioroski

12 Análise da Resposta em Frequência Definição
O termo “resposta em frequência” significa resposta em regime estacionário de um sistema com entrada senoidal. Um sistema LIT sujeito a uma entrada senoidal, produzirá em regime estacionário uma saída senoidal com a mesma frequência da entrada, mas sua amplitude e fase serão diferentes do sinal senoidal de entrada. Ma entrada senoidal Professor Leonardo Gonsioroski

12 Análise da Resposta em Frequência Definição
Podemos verificar essa afirmação, aplicando transformadas de Laplace. Aplicando Frações parciais Então: Ma entrada senoidal Frações Parciais – Rever Aula 3 – Transformadas de Laplace e Equações Diferenciais Professor Leonardo Gonsioroski

12 Análise da Resposta em Frequência Fazendo:
Aplicando transformada inversa teremos: Ma entrada senoidal Professor Leonardo Gonsioroski

12 Análise da Resposta em Frequência Diagrama de Bode
Os Diagramas de Bode são 2 gráficos traçados em relação à frequência em escala logarítmica: Um gráfico do Módulo em dB da Função de Transferência Um gráfico do ângulo de fase da Função de Transferência Ma entrada senoidal Professor Leonardo Gonsioroski

12 Ganho em Decibel Fase em Graus Frequência em Escala Logarítimica
Análise da Resposta em Frequência Ganho em Decibel Fase em Graus Frequência em Escala Logarítimica Ma entrada senoidal Professor Leonardo Gonsioroski

12 Análise da Resposta em Frequência Diagrama de Bode
Uma Função de Transferência normalmente é composta por um ou mais dos fatores básicos mencionados abaixo: Ganho K Fatores puramente integral e derivativo (jω)±1 Fatores de primeira ordem (1+jωT)±1 Fatores quadráticos [1+2ξ (jω / ωn)+(jω / ωn)2]±1 Ma entrada senoidal Professor Leonardo Gonsioroski

12 Análise da Resposta em Frequência Ganho K
Quando o Ganho é um número maior que uma unidade, ele irá possuir um valor positivo em decibéis. Quando o Ganho for um número menor que uma unidade, ele irá possuir um valor negativo em decibéis. A curva de módulo em dB de um ganho constante K é uma reta horizontal de valor 20 log K decibéis. O ângulo de fase do ganho K é zero. Por Exemplo: A representação em Diagramde de Bode de um Ganho K = 3 Ma entrada senoidal Professor Leonardo Gonsioroski

12 Análise da Resposta em Frequência Ma entrada senoidal
Professor Leonardo Gonsioroski

12 Análise da Resposta em Frequência Fator Integral e Fator Derivativo
O valor do Módulo em dB do fator Integral é: O ângulo de fase do fator integral é: Professor Leonardo Gonsioroski

12 Análise da Resposta em Frequência Fator Integral
Módulo do fator Integral em dB Ângulo de fase do fator integral Professor Leonardo Gonsioroski

12 Análise da Resposta em Frequência Fator Derivativo
Como é de se esperar o Módulo e a fase do fator derivativo serão: Módulo do fator derivativo em dB Ângulo de fase do fator derivativo Professor Leonardo Gonsioroski

12 Análise da Resposta em Frequência
Fator de primeira ordem tipo integral O módulo em dB para o fator de primeira ordem 1/(1+jwT) é: Professor Leonardo Gonsioroski

Fator de primeira ordem tipo integral Analisando o módulo para o fator de primeira ordem 1/(1+jwT) temos: Para baixas freqüências, como w << 1/T Para altas freqüências, como w >>1/T Professor Leonardo Gonsioroski

Fator de primeira ordem tipo integral Professor Leonardo Gonsioroski

Fator de primeira ordem tipo integral A fase para o fator de primeira ordem 1/(1+jwT) é: Parte Imaginária Parte Real Professor Leonardo Gonsioroski

Fator de primeira ordem tipo integral A fase para o fator de primeira ordem 1/(1+jwT) é: Para altas freqüências Para a freqüências, igua a zero, w = 0 Para freqüência de canto w = 1/T Professor Leonardo Gonsioroski

Fator de primeira ordem tipo integral Para altas freqüências Para a freqüências, igua a zero, w = 0 Para freqüência de canto w = 1/T Professor Leonardo Gonsioroski

Fator de primeira ordem tipo integral Frequência de Corte Professor Leonardo Gonsioroski

Função de Transferência do Filtro
12 Análise da Resposta em Frequência Vamos Relembrar … Função de Transferência de um Filtro RC passa baixa Filtro RC Passa Baixa vin vout Função de Transferência do Filtro Professor Leonardo Gonsioroski

12 vin vout Análise da Resposta em Frequência Vamos Relembrar …
Função de Transferência de um Filtro RC passa baixa Filtro RC Passa Baixa vin vout Onde: Professor Leonardo Gonsioroski

Fator de primeira ordem tipo derivativo O módulo em dB para o fator de primeira ordem (1+jwT) é: A fase para o fator de primeira ordem 1/(1+jwT) é: Professor Leonardo Gonsioroski

Fator de primeira ordem tipo derivativo Fazendo a mesma análise, chegamos a conclusão de que o Diagrama de Bode será: Professor Leonardo Gonsioroski

Funções de Transferência com Fatores de 2a. Ordem As funções de Transferência frequentemente possuem fatores quadráticos. Quando os pólos de uma função de transferência de 2a. Ordem são reais, podemos considerar que a função de transferência é composta de dois fatores de primeira ordem. Agora como fazer se os pólos forem complexos?? Professor Leonardo Gonsioroski

12 Análise da Resposta em Frequência Fator quadrático do tipo integral

Para baixas freqüências, como w << wn Para altas freqüências, como w >>wn Professor Leonardo Gonsioroski

12 Análise da Resposta em Frequência Frequência de Ressonância g(w)

12 Análise da Resposta em Frequência Frequência de Ressonância

Procedimento Geral para Construção de um Diagrama de Bode Revisar os diagramas de bode de todos os fatores básicos. (Escrever no quadro) Para escrever o diagrama de bode de uma função de transferência qualquer temos que primeiramente expandí-la em seus fatores básicos. Depois desenharemos os diagramas de bode de cada fator básico separadamente E por último realizamos a soma das contribuições de cada diagrama de bode de cada fator básico. Ma entrada senoidal Fazer Exemplo no Quadro Professor Leonardo Gonsioroski

Determinação Experimental de Função de Transferência de Fase Mínima. 1) O primeiro passo é traçar retas assintotas as curvas de módulo do diagrama de bode. AS assíntotas devem ter inclinações múltiplas de + ou – 20 dB/década. 2) Nas baixas frequências a inclinação de 0 dB, -20 dB/dec ou -40 dB/dec, indica a existência de nenhum, um ou dois pólos na origem do sistema, respectivamente. 3) Nas altas frequências, observar as mudanças na inclinação das curvas de módulo. Se a curva mudar em -20 dB/década é porque existe um fator de primeira ordem na frequência em que ocorreu a mudança. Se a mudança for de -40 dB/decada é porque existe um fator quadrático nesta frequência. Ma entrada senoidal Professor Leonardo Gonsioroski

Determinação Experimental de Função de Transferência de Fase Mínima. 4) Os ângulos de fase nas frequências muito altas para sistemas de fase mínima são -90º (q – p), isso nos dá uma noção da diferença do grau do numerador para o denominador da função de transferência. Ma entrada senoidal Professor Leonardo Gonsioroski

12 Análise da Resposta em Frequência Exemplo: Ma entrada senoidal

Sistemas de Fase Mínima e Sistemas de Fase não Mínima As funções de Transferência que não possuem pólos nem zeros no semi-plano direito do plano complexo, são ditas de fase mínima. As funções de transferência que possuem pólos e/ou zeros no semi plano direito do plano complexo, são ditas de fase não mínima. Ma entrada senoidal Professor Leonardo Gonsioroski

Para um sistema de fase mínima o ângulo de fase, quando a frequência tende ao infinito, vale: Num sistema de fase não mínima, a fase do sistema quando a frequência tende ao infinito, difere desse valor. Em ambos os casos a curva de módulo em dB, quando a frequencia tende ao infinito, vale: Ma entrada senoidal Professor Leonardo Gonsioroski

12 Análise da Resposta em Frequência Margem de Fase
A Margem de fase é o atrase de fase adicional, na frequência de cruzamento de ganho, necessária para que o sistema atinja o limiar de instabilidade. A frequência de cruzamento de ganho é a frequência na qual o módulo da função de transferência de malha aberta é unitário. A margem de fase é 180 graus mais o ângulo de fase da função de transferência de malha aberta na frequência de cruzamento de ganho. Para que um sistema de fase mínima seja estável a margem de fase deve ser positiva. Ma entrada senoidal Professor Leonardo Gonsioroski

12 Análise da Resposta em Frequência Margem de Ganho
A Margem de ganho é a diferença de 0 dB e o valor do módulo, na frequência de cruzamento de fase. A frequência de cruzamento de fase é a frequência na qual a fase da função de transferência de malha aberta é -180 graus. Se a margem de ganho for positiva, o sitema será estável. Se a margem de ganho for negativa, o sitema será instável. Ma entrada senoidal Professor Leonardo Gonsioroski

Ma entrada senoidal Num sistema de fase não mínima, para termos estabilidade as margens de fase e ganho devem ser negativas. Professor Leonardo Gonsioroski

12 Análise da Resposta em Frequência Ma entrada senoidal

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