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CONCEITO: sistema de dados amostrados, implementado por um hardware que executa uma lei de controle. LEI DE CONTROLE: programa (software) onde se atua.

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1 CONCEITO: sistema de dados amostrados, implementado por um hardware que executa uma lei de controle. LEI DE CONTROLE: programa (software) onde se atua nos parâmetros adequados a fim de cumprir as especificações estipuladas para a malha a ser controlada CONTROLADOR DIGITAL SISTEMAS II

2 DIAGRAMA DE BLOCOS DE UM SISTEMA DE CONTROLE DIGITAL: 1.2. CONTROLADOR DIGITAL SISTEMAS II

3 PROCESSO DE CONTROLE DIGITAL: 1) AMOSTRAR UM SINAL: ler a função em tempos definidos pelo período T (conversor A/D). 2) RECONSTRUIR UM SINAL: transformar o sinal amostrado em sinal contínuo (conversor D/A) CONTROLADOR DIGITAL SISTEMAS II

4 LEI DE CONTROLE PID: Saída = Kpr.e(t) + Ki. e(t)dt + Kd.(d e(t) / dt) FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DO CONTROLADOR PID: Gc(s) = U(s)/E(s) = Kpr + (Ki/s) + Kds 2.1. LEI DE CONTROLE PID DIGITAL SISTEMAS II

5 a) INTEGRAÇÃO DIGITAL: Termo e(t)dt, na equação da lei de controle PID, representa a área sob a curva do erro pelo tempo, entre (t = 0) e (t = t). Pode ser obtida de forma aproximada dividindo-se a área em faixas retangulares e somando-se as áreas destas faixas. Ki. e(t)dt = Ki.(das áreas das faixas, no intervalo de 0 a K), onde K = número de faixas entre (t=0) e (t=t) 2.2. LEI DE CONTROLE PID DIGITAL SISTEMAS II

6 Como cada faixa tem largura T (período de integração), a faixa imediatamente precedente ao instante KT tem uma área que é aproximadamente o valor do erro no começo do intervalo de tempo da faixa. Isto é: e(KT – 1) x T Ki. e(t)dt = Ki. e(KT – 1).T (para o intervalo de 0 a K) Uma aproximação melhor é dada tomando-se, como altura da faixa, o valor médio dos valores do erro no início e no fim da faixa. Daí: Ki. e(t)dt = Ki. ½ [e(KT – 1) – e(KT)].T (para o intervalo de 0 a K) 2.2. LEI DE CONTROLE PID DIGITAL SISTEMAS II

7 b) DERIVAÇÃO DIGITAL: Termo [Kd.(d e(t) / dt)] pode ser considerado como a inclinação da curva do erro pelo tempo, em um determinado instante de tempo. Kd.(d e(t) / dt) = Kd.(inclinação da curva do erro pelo tempo) Para um sinal que é uma série de pulsos, uma aproximação razoável para a inclinação da curva do erro é dada pela inclinação da linha que une dois pulsos consecutivos pulsos em KT e (KT – 1). Se esses pulsos tem amplitude e(KT) e e(KT – 1) e o intervalo entre os pulsos é de 1 período de amostragem T, podemos dizer que: Kd.(d e(t) / dt) = (Kd / T).[e(KT) – e(KT – 1)] 2.3. LEI DE CONTROLE PID DIGITAL SISTEMAS II

8 c) EQUAÇÃO DO CONTROLE PID DIGITAL: Saída = { Kpr.e(KT) } + { Ki. ½ [e(KT – 1) – e(KT)].T } + { (Kd / T).[e(KT) – e(KT – 1)] } 2.4. LEI DE CONTROLE PID DIGITAL SISTEMAS II

9 EQUAÇÃO DO CONTROLE PID DIGITAL, APLICANDO A TRANSFORMADA Z: Saída (z) = { Kpr.E(z) } + { (Ki. T / 2).[(z + 1) / (z - 1)].E(z) } + { Kd.[(z - 1) / z].E(z) } 3. CONTROLE DIGITAL DIRETO SISTEMAS II

10 Sistema linear realimentado com sinais contínuos é estável se todos os pólos da FTMF estão no SPE ou seja, todas as raízes do denominador da T(s)[equação característica q(s)] devem ter parte real σ = negativo. Pela definição de Z: z = e Ts = e T(σ+jw) = e σT.e jwT Para a estabilidade: σ = negativo σT = negativo e σT = valor entre 0 e 1 Módulo de z = |z| = e σT CONDIÇÃO DE ESTABILIDADE 4.1. ESTABILIDADE SISTEMAS II

11 CONDIÇÃO DE ESTABILIDADE PARA UM SISTEMA AMOSTRADO: todos os pólos da transformada Z da FTMF = T(s) devem estar dentro de um círculo de raio unitário ESTABILIDADE SISTEMAS II

12 EM FUNÇÃO DA LOCALIZAÇÃO DAS RAÍZES: a) Raízes que estão dentro do círculo de raio unitário: uma entrada impulso leva a uma resposta que amortece com o tempo figura 1 (a, b, c). b) Raízes que estão fora do círculo de raio unitário: a resposta aumenta com o tempo figura 1 (d, e) RESPOSTA A UM IMPULSO UNITÁRIO SISTEMAS II

13 EM FUNÇÃO DO TIPO DAS RAÍZES: a) Raízes reais dentro do círculo de raio unitário: a resposta tem um amortecimento progressico com o tempo figura 1 (a, b). b) Raízes complexas dentro do círculo de raio unitário: a resposta apresenta oscilações amortecidas figura 1 (c). c) Raízes reais sobre o círculo de raio unitário: a resposta à entrada impulso unitário é uma resposta constante figura 1 (f, g). d) Raízes complexas sobre o círculo de raio unitário: a resposta é uma oscilação de amplitude constante figura 1 (h) RESPOSTA A UM IMPULSO UNITÁRIO SISTEMAS II

14 SUBSTITUIÇÃO DE Z: técnica é baseada na transformação do plano z em um novo plano v, por meio de transformação bilinear. z = (1 + v)/(1 – v) v = (z -1)/(z + 1) Coloca-se v na forma cartesiana (v = σ + jw): Quando σ < 0, |σ + 1| < |σ – 1| resulta: |z| = {[(σ + 1) 2 – w 2 ] / [(σ – 1) 2 – w 2 ]} < 1 O interior do círculo de raio unitário do plano z é mapeado no SPE do plano v. 6. CRITÉRIO DE ROUTH HURWITZ SISTEMAS II

15 SISTEMA REALIMENTADO NO PLANO Z Sistema genérico: FTMA = G(z).H(z) Se H(z) = 1 FTMA = G(z) = Z { Ghoz(s).Gp(s) } No plano z, a FTMA de um sistema realimentado sem controlador pode ser escrito como uma relação de polinômios: G(z) = K [(z – z 1 )(z – z 2 )...(z – z n )] / [(z – p 1 )(z – p 2 )...(z – p m )] 7.1. PROJETO PELO LUGAR DAS RAÍZES EM Z SISTEMAS II

16 Equação característica do sistema no plano z: 1 + G(z) = 0 O módulo e a fase serão: |G(z)| = 1 Fase de G(z) = K.(+ 180°); K = 1, 2, 3, … Os pólos da malha fechada estarão dentro do círculo de raio unitário para um sistema estável O Lugar das Raízes pode ser traçado e, no ponto de encontro do LR com o círculo, pode-se obter o valor máximo do ganho K PROJETO PELO LUGAR DAS RAÍZES EM Z SISTEMAS II

17 LUGAR DAS RAÍZES NO PLANO Z: é traçado de modo similar ao plano s G(z) = Z { Ghoz(s).Gp(s) } = (1 – e -Ts ) Z { Gp(s) / s } = [1 – (1/z)] Z { Gp(s) / s } Relação entre entrada e saída, incluindo comparador em cascata: [C(z) / R(z)] = [K.D(z).Gp(z)] / [1 + K.D(z).Gp(z)] Onde: D(z) = compensador digital [1 + K.D(z).Gp(z)] = 0 fornece os valores dos pólos do sistema de malha fechada 7.3. PROJETO PELO LUGAR DAS RAÍZES EM Z SISTEMAS II

18 PROJETO PELO MÉTODO DOS DIAGRAMAS DE BODE: torna-se complicado no plano z as funções de z são tipicamente não racionais, onde a freqüência aparece na forma z = e jwT. PLANO V: transformação bilinear do plano z projeto discreto pode ser realizado com as mesmas técnicas do plano s, em sistemas contínuos. O plano v é similar so plano s, exceto pelo fato de que é definido para sistemas discretos. Cuidado: a transformação pode distorcer a resposta em freqüência. 8. PROJETO POR BODE NO PLANO V SISTEMAS II

19 PASSOS PARA PROJETO NO PLANO V: 1) Dada uma instalação contínua, transforma-se o conjunto dessa instalação Gp(s) e o Reconstrutor de Ordem de Zero Ghoz(s) para o plano Z para obter G(z), usando-se uma das técnicas conhecidas; 2) Transforma-se G(z) em uma função da variável v = +j, aplicando-se a transformação bilinear, isto é G(v) = G(z), onde z = (1+v)/(1-v) 9.1. PROJETO NO PLANO V SISTEMAS II

20 3) Seleciona-se T e projeta-se o compensador D(v) usando-se o Diagrama de Bode ou então o Lugar das Raízes, no plano V; Quando a resposta em freqüência é usada, convém traçar também o Lugar das Raízes, pois pode ocorrer alguma ambigüidade com a fase ( a transformação bilinear distorce a resposta em freqüência de fase, mas não de módulo), devendo ser tomadas precauções para não compensar a fase na direção errada. Nesta transformação o eixo das freqüências está distorcido. Se Z e V são dados por z = e sT = e jwT v = e jvT = (z-1)/(z+1) = (e jwT – 1)/(e jwT + 1) então, para uma faixa de passagem w c prevista, o projeto deve ser realizado para v c = tan ((w c T) / 2) No traçado do diagrama de Bode no plano V, a freqüência será usada como eixo das abscissas. O módulo do ganho |G(j )| e o ângulo de fase de G(j ) serão traçados como funções de log. De modo análogo ao modo como se expressa G(jw), pode-se expressar G(j ) como uma função de pólos e zeros PROJETO NO PLANO V SISTEMAS II

21 4) Uma vez obtida a expressão do compensador D(v), transforma-se D(v) para o plano Z, usando-se a transformação inversa bilinear: D(z) = D(v), onde v = (z-1)/(z+1) Pelas razões já explicadas, convém traçar o Lugar das Raízes no plano Z e verificar a posição dos pólos dominantes (se for o caso). 5) Transforma-se D(z) em um algoritmo adequado para implementação por software PROJETO NO PLANO V SISTEMAS II

22 Representação genérica da função de transferência de um controlador digital D(z): D(z) = U(z) / E(z) Forma de relação de polinômios: D(z) = [a 0 + a 1 z -1 + a 2 z ] / [1 + b 1 z -1 + b 2 z ] D(z) = [ j=0 n a j z -j ] / [1 + j=1 n b j z -j ] IMPLEMENTAÇÃO DE ALGORITMOS SISTEMAS II

23 Implementação do software usa-se a representação através da equação de diferenças cada atraso z -1 pode ser representado como uma entrada e i-1 (numerador) ou uma saída u i-1 (denominador). u i = a 0 e i + a 1 e i-1 + a 2 e i b 1 u i-1 - b 2 u i u i = j=0 n a j e i-j - j=1 n b j u i-j IMPLEMENTAÇÃO DE ALGORITMOS SISTEMAS II


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