Aula 4 Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Diagrama de Nyquist e Carta de Nichols 1.

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1 Aula 4 Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Diagrama de Nyquist e Carta de Nichols 1

2 Aula 4 Introdução O Diagrama Polar é frequentemente chamado de Diagrama de Nyquist: é um gráfico do módulo de G(j) versus o ângulo de fase de G(j). O Diagrama Polar é frequentemente chamado de Diagrama de Nyquist: é um gráfico do módulo de G(j) versus o ângulo de fase de G(j). É o lugar dos vetores com variando de 0 a. É o lugar dos vetores com variando de 0 a. Como medir o ângulo de fase: Como medir o ângulo de fase: Positivo: É medido no sentido anti-horário a partir do eixo real positivo Positivo: É medido no sentido anti-horário a partir do eixo real positivo Negativo: É medido no sentido horário a partir do eixo real positivo. Negativo: É medido no sentido horário a partir do eixo real positivo. É importante indicar os valores da freqüência ao longo da curva. É importante indicar os valores da freqüência ao longo da curva.

3 Aula 4 Introdução

4 Aula 4 Fatores Integrativo e Derivativo

5 Aula 4 Fatores de Primeira Ordem

6 Aula 4 Fatores de Primeira Ordem

7 Aula 4 Fatores de Primeira Ordem

8 Aula 4 Fatores de Primeira Ordem

9 Aula 4 Fatores de Primeira Ordem

10 Aula 4 Fatores Quadráticos Porção relativa à baixa freqüência Porção relativa à alta freqüência Início do Diagrama Polar Final do Diagrama Polar

11 Aula 4 Fatores Quadráticos

12 Aula 4 Fatores Quadráticos

13 Aula 4 Fatores Quadráticos

14 Aula 4 Fatores Quadráticos

15 Aula 4 Exemplo 1

16 Aula 4 Exemplo 1

17 Aula 4 Exemplo 1

18 Aula 4 Exemplo 2

19 Aula 4 Exemplo 2 Obs.: Decrescimento monotônico de módulo e fase a medida que w aumenta!

20 Aula 4 Formas Gerais do Diagrama Polar

21 Aula 4 Formas Gerais do Diagrama Polar

22 Aula 4 Formas Gerais do Diagrama Polar

23 Aula 4 Formas Gerais do Diagrama Polar

24 Aula 4 Diagramas Polares de Funções de Transferência Simples

25 Aula 4 Diagramas Polares de Funções de Transferência Simples

26 Aula 4 Diagramas Polares de Funções de Transferência Simples

27 Aula 4 Construção do Diagrama de Nyquist com o Matlab

28 Aula 4 Exemplo 3

29 Aula 4 Exemplo 3

30 Aula 4 Exemplo 3

31 Aula 4 Exemplo 3

32 Aula 4 Divide by zero na construção do Diagrama de Nyquist

33 Aula 4 Divide by zero na construção do Diagrama de Nyquist

34 Aula 4 Exemplo 4

35 Aula 4 Exemplo 4

36 Aula 4 Exemplo 4

37 Aula 4 Exemplo 4

38 Aula 4 Exemplo 5

39 Aula 4 Exemplo 5

40 Aula 4 Exemplo 5

41 Aula 4 Exemplo 5

42 Aula 4 Exemplo 5

43 Aula 4 Carta de Nichols Diagrama de Módulo em dB versus Ângulo de Fase (ou margem de fase ) Curva graduada em freqüência

44 Aula 4 Carta de Nichols Os diagramas de G(jω) e de 1/G(jω) são assimétricos com relação à origem, pois: |G(jω)| em dB = - |1/G(jω)| em dB; Φ(G(jω)) =- Φ(1/G(jω)).

45 Aula 4 Carta de Nichols

46 Aula 4 Carta de Nichols

47 Aula 4 Carta de Nichols

48 Aula 4 Critério de Estabilidade de Nyquist Determina a estabilidade de um sistema de malha fechada com base: na resposta em freqüência de malha aberta; e nos pólos de malha aberta.

49 Aula 4 Critério de Estabilidade de Nyquist O critério de estabilidade de Nyquist relaciona a resposta em freqüência de malha aberta ao número de zeros e pólos de que se situam no semiplano direito do plano s. A estabilidade absoluta pode ser determinada graficamente a partir das curva de resp. em freq.

50 Aula 4 Estudo Preliminar

51 Aula 4 Exemplo 6

52 Aula 4 Exemplo 6

53 Aula 4 Teorema do Mapeamento

54 Aula 4 Teorema do Mapeamento

55 Aula 4 Teorema do Mapeamento

56 Aula 4 Teorema do Mapeamento

57 Aula 4 Teorema do Mapeamento

58 Aula 4 Aplicações do Teorema à Análise de Estabilidade de Sistemas de Malha Fechada FTMA=G(s)H(s) e FTMF=G(s)/(1+G(s)H(s)) => Os zeros de FTMA são os polos de FTMF. Se todos os polos de FTMF estiverem localizados no semiplano esquerdo do plano S, então o sistema é absolutamente estável!

59 Aula 4 Aplicações do Teorema à Análise de Estabilidade de Sistemas de Malha Fechada Percurso de Nyquist (contorno fechado no plano S com raio infinito)

60 Aula 4 Aplicações do Teorema à Análise de Estabilidade de Sistemas de Malha Fechada O Percurso de Nyquist mapeado no plano F(s)=1+G(s)H(s)=0 poderá ser plenamente empregado para determinação de N. Observa-se no entanto que a origem de F(s) coincide com o ponto -1 no eixo real do plano G(s)H(s), podendo-se realizar a análise de estabilidade avaliando-se o número líquido e o sentido dos envolvimentos do ponto -1+j0 no plano G(s)H(s).

61 Aula 4 Exemplo 7 FTMA=k/(s+10) e FTMF=k/(s+10+k). Ou seja, para k>0, o sistema jamais apresentará pólos em MF no semi- plano direito.

62 Aula 4 Exemplo 7 Pode-se chegar à mesma conclusão observando do diagrama de Nyquist. Note que independente do aumento do ganho K, não há nenhum envolvimento do ponto -1+j0 do plano de G(s)H(s), isto é N=0. Como P=0, então Z=0 => Não existem polos de malha fechada no semi-plano direito, isto é, o sistema é estável para quaisquer valores de K>0.

63 Aula 4 Exemplo 8 Para ω n >0 e ξ>0 implica em polos de malha-fechada no semiplano esquerdo do plano s, caracterizando como um sistema estável.

64 Aula 4 Exemplo 8 Na análise de estabilidade deste sistema empregando o critério de Nyquist, deve-se observar portanto que o percurso de Nyquist envolvendo todo o semiplano direito do plano s deverá ser ligeiramente alterado, de forma a não incluir neste percurso o pólo de malha-aberta localizado na origem do plano s. Isto é realizado contornando a origem do plano s por um semicirculo de raio infinitesimal que deverá ser adequadamente mapeado no plano G(s)H(s).

65 Aula 4 Exemplo 8

66 Aula 4 Exemplo 8 Por exemplo, mapeando o ponto A. Portanto, para todo ξ>0, o ponto -1+j0 jamais será envolvido pelo mapeamento dos pontos do plano s, de modo que P=0 e N=0 implica em Z=0, concluindo-se que o sistema de malha- fechada não apresenta polos no semiplano direito do plano s, caracterizando o sistema como absolutamente estável.

67 Aula 4 Exemplo 9 Examine a estabilidade do sistema em malha-fechada, cuja função de transferência em malha-aberta é: Não há nenhum no semiplano direito de s e que o ponto -1+j0 não é envolvido pelo lugar geométrico de G(s)H(s). Logo, o sistema é estável para quaisquer valores de K, T1 e T2.