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CONCEITO: Consiste de um método gráfico-analítico que permite a observação da resposta de um sistema, para um sinal de entrada senoidal, cuja freqüência.

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1 CONCEITO: Consiste de um método gráfico-analítico que permite a observação da resposta de um sistema, para um sinal de entrada senoidal, cuja freqüência é variada dentro de uma faixa pré-estabelecida. A resposta em regime permanente de um sistema linear e invariante no tempo sujeito a um entrada senoidal será senoidal na mesma freqüência, com ampitude e fase diferentes. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA SENOIDAL: G(jw) 1) MÓDULO = |G(jw)| = |Y(jw)| / |X(jw)| 2) FASE = G(jw) = Y(jw) / X(jw) 1. RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA SISTEMAS I

2 CONCEITO: Consiste na representação da função de transferência senoidal de um sistema por gráficos MÓDULO x FREQÜÊNCIA e ÂNGULO DE FASE x FREQÜÊNCIA. MÓDULO (M) = 20 log |G(jw)| [deciBel = dB] FASE ( ) = G(jw) [graus = ] Ex.: G(s) = 1 / (s + a) 2. DIAGRAMAS DE BODE SISTEMAS I

3 ANÁLISE: O método dos diagramas de Bode consiste na determinação do distanciamento, tanto em fase como em módulo, do ponto crítico, ou seja quando G(jw) = Módulo = 1 = O dB; Fase = MARGEM DE GANHO = é o ganho que falta para que o sistema atinja O dB, quando a fase está em MARGEM DE FASE = é a fase que falta para que o sistema atinja - 180, quando o ganho é O dB. 3.a. ANÁLISE DA ESTABILIDADE SISTEMAS I

4 SISTEMA ESTÁVEL: para que tenhamos estabilidade, temos de ter: MG > 0; MF > 0 Ex.: MF = 30, tem-se = -150 (MF > 0, fase acima de -180 ). Ex.: MG = 6 dB, tem-se M = -6dB (MG > 0, ganho abaixo de 0 dB). Obs.: O método de Bode só é válido quando tem-se apenas uma MG e uma MF. 3.b. ANÁLISE DA ESTABILIDADE SISTEMAS I

5 USO DE ESCALAS LOGARÍTMICAS: simplificam a sua construção, manipulação e interpretação. Abscissas eixo w (freqüência em radianos) escala logarítimica Ordenadas eixo M (módulo em dB) M = 20 log |G(jw)| 1 oitava = variação correspondente a w 2 = 2 x w 1 1 década = variação correspondente a w 2 = 10 x w 1 4.a. CONSTRUÇÃO DOS DIAGRAMAS DE BODE SISTEMAS I

6 TRAÇADO DAS CURVAS: corresponde a plotar a curva G(s) para s = jw. Como é uma curva de variável complexa, deve-se apresentar conjuntamente duas curvas: parte real e imaginária ou Módulo e Fase (forma usada). CURVA DE MÓDULO: ou de amplitude. Indica o ganho relativo espectral. CURVA DE FASE: identifica o defasamento harmônico do sinal de saída em relação ao de entrada. 4.b. CONSTRUÇÃO DOS DIAGRAMAS DE BODE SISTEMAS I

7 DEFINIÇÃO MATEMÁTICA: Função de transferência G(s) = K [(s+x 1 +jw 1 ).(s+x 3 +jw 3 )...] / [s+x 2 +jw 2 ).(s+x 4 +jw 4...)] CURVA DE AMPLITUDE: |G(jw)| dB M = 20logK + 20 log[ (x (w 1 +w) 2 )] log[ (x (w 2 +w) 2 )] -... Obs.: Zeros tem contribuição positiva e pólos tem contribuição negativa na curva de módulo. CURVA DE FASE: (jw) = arc tg[(w 1 +w) / x 1 ] arc tg[(w 2 +w) / x 2 ] -... Obs.: Zeros tem contribuição positiva e pólos tem contribuição negativa na curva de fase. 4.c. CONSTRUÇÃO DOS DIAGRAMAS DE BODE SISTEMAS I

8 TRAÇADO APROXIMADO: trata-se da construção gráfica dos Diagramas de Bode através de assíntotas de módulo e fase. Elas aproximam a curva real, somando-se as contribuições individuais de cada pólo ou zero. 1. GANHO CONSTANTE K Módulo: M dB = 20 log |K| Fase: = 0 5.a. TRAÇADO DAS ASSÍNTOTAS SISTEMAS I

9 2. PÓLOS E ZEROS DE MULTIPLICIDADE r NA ORIGEM ZEROS: G(s) = s r G(jw) = (jw) r Módulo: M dB = 20 log |(jw )r | inclinação de r. (+ 20 dB / déc) Fase: = r.90 contribuição constante a partir da origem PÓLOS: G(s) = 1 / s r G(jw) = 1 / (jw) r Módulo: M dB = 20 log |1 / (jw) r | inclinação de r.(- 20 dB / déc) Fase: = r. -90 contribuição constante a partir da origem 5.b. TRAÇADO DAS ASSÍNTOTAS SISTEMAS I

10 3. ZEROS REAIS DE MULTIPLICIDADE r ZEROS: G(s) = (s + z) r G(jw) = (1 + jw/z) r Módulo: M dB = 20 log |(1 + jw/z) r | inclinação de r.(+ 20 dB / déc) Fase: = r.arc tg (w/z) 0 até w=z e, a partir daí, r.(+90 ) Erro das assíntotas (zero simples r=1): w = z/5 M dB = +0,17; = +11,3 w = z/2 M dB = +0,96; = +0,8 w = z M dB = +3; = 0 w = 2.z M dB = +0,96; = -0,8 w = 5.z M dB = +0,17; = -11,3 5.c. TRAÇADO DAS ASSÍNTOTAS SISTEMAS I

11 4. PÓLOS REAIS DE MULTIPLICIDADE r PÓLOS: G(s) = 1 / (s + p) r G(jw) = 1 / (1 + jw/p) r Módulo: M dB = 20 log |1 / (1 + jw/p) r | inclinação de r.(- 20 dB / déc) Fase: = r.-arc tg(w/p) 0 até w=p e, a partir daí, r.(-90 ) Erro das assíntotas (pólo simples r=1): w = p/5 M dB = -0,17; = -11,3 w = p/2 M dB = -0,96; = -0,8 w = p M dB = -3; = 0 w = 2.p M dB = -0,96; = +0,8 w = 5.p M dB = -0,17; = +11,3 5.d. TRAÇADO DAS ASSÍNTOTAS SISTEMAS I

12 5. PÓLOS COMPLEXOS DE MULTIPLICIDADE r PÓLOS: G(s) = 1 / (s w n s + w n 2 ) r G(jw) = 1 / [-(w/w n ) 2 + j2 w/w n + 1] r onde: (s w n s + w n 2 ) = (s + w n ) 2 + w d 2 w d 2 = w n 2 (1 - 2 ) w d = w n. (1 - 2 ), desde que 0 < < 1 Módulo: M dB = 20 log | 1 / [-(w/w n ) 2 + j2 w/w n + 1] r | inclinação de r.(- 40 dB / déc) a partir de w = w n Fase: = r.-arc tg(1 / [-(w/w n ) 2 + j2 w/w n + 1]) 0 até w=w n e, a partir daí, r.(-180 ) 5.e. TRAÇADO DAS ASSÍNTOTAS SISTEMAS I

13 GRÁFICOS DE PÓLO COMPLEXO DE MULTIPLICIDADE r = 1 Erro das assíntotas (par complexo de r = 1): M dB = 20 log (2 ) = arc tg (2 (w/w n ) / [1 - (w/w n ) 2 ]) 5.f. TRAÇADO DAS ASSÍNTOTAS SISTEMAS I


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