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CONCEITO: Consiste de um método gráfico-analítico que fornece a trajetória de deslocamento dos pólos do sistema frente a variação de um parâmetro da equação.

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1 CONCEITO: Consiste de um método gráfico-analítico que fornece a trajetória de deslocamento dos pólos do sistema frente a variação de um parâmetro da equação característica do sistema. O método representa graficamente os pólos da função de transferência em malha fechada e as suas várias localizações, em função da variação de algum parâmetro presente na função de transferência. O lugar das raízes (root locus) nos dá a trajetória que as raízes vão ter quando nós fecharmos a malha de controle, ou seja, a migração das raízes da malha aberta para a malha fechada. 1.a. LUGAR DAS RAÍZES SISTEMAS I

2 SISTEMA GENÉRICO: FTMF (s) = T(s) =C(s) / R(s) = [K.G(s)] / [1 + K.G(s).H(s)] EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA: Q(s) = 1 + K.G(s).H(s) = 1 + FTMA(s) = 0 FTMA(s) = -1 1) Condição de Módulo: |FTMA(s)| = 1 2) Condição de Fase: FTMA(s) = (2n + 1) graus 1.b. LUGAR DAS RAÍZES SISTEMAS I

3 RAÍZES DA MALHA FECHADA: Todos valores de s que satisfizerem as condições de Módulo e de Fase serão raízes da equação característica, ou seja, pólos da FTMF(s) = T(s). Condição de Módulo: pode ser satisfeita para uma dada combinação de valores de s e K. Condição de Fase: pode ser considerada isoladamente, pois não depende do parâmetro K. 1.c. LUGAR DAS RAÍZES SISTEMAS I

4 PASSO 1): Obter a equação característica [1 + FTMA(s)] e escrevê-la na forma canônica. 1 + FTMA(s) = 0 PASSO 2) Rearranjar a equação característica de forma a explicitar o parâmetro a ser variado. 1 + K.P(s) = 0 PASSO 3) Achar os pólos e zeros do polinômio P(s), reescrevendo a equação característica. 2.a. REGRAS DE CONSTRUÇÃO SISTEMAS I

5 PASSO 4): Plotar um mapa no plano complexo s, com os pólos e zeros obtidos no Passo 3). PASSO 5) Plotar as possíveis trajetórias dos pólos sobre o eixo real, utilizando-se a regra a seguir: Existirá um segmento do LR no eixo real sempre que houver um número ímpar de singularidades (pólos e zeros) à direita do segmento. 2.b. REGRAS DE CONSTRUÇÃO SISTEMAS I

6 PASSO 6) Determinar o número de assíntotas do RL. O RL começa (K = 0) nos pólos de P(s) e termina (K + ) nos zeros de P(s). na = np - nz na = número de assíntotas np = número de pólos de P(s) nz = número de zeros de P(s) As assíntotas definem as trajetórias dos pólos em malha fechada para K +. 2.c. REGRAS DE CONSTRUÇÃO SISTEMAS I

7 PASSO 7) Determinar o Centróide e o(s) Ângulo(s) de Partida da(s) assíntota(s). Centróide = ponto onde as assíntotas cruzam-se (centro geométrico do LR): a = ( p - z) / (np - nz), onde = somatório Ângulo(s) de partida que a(s) assíntota(s) faz(em) com o eixo real: a = [180.(2n + 1)] / (np - nz), onde n = 0, 1,..., (na - 1) PASSO 8) O RL é simétrico em relação ao eixo real. 2.d. REGRAS DE CONSTRUÇÃO SISTEMAS I

8 PASSO 9) Definir os pontos de quebra (pontos de saída do eixo real) ou de colisão (pontos de entrada no eixo real). É um problema de máximos e mínimos. K máximo = pontos de saída; K mínimo = pontos de entrada. K = - [ (s - p j )] / [ (s - z i )], onde = produtório Expressão 1: dK / ds = - [d(1 /GH) / ds] = 0 Expressão 2: [d(GH) / ds] = 0 2.e. REGRAS DE CONSTRUÇÃO SISTEMAS I

9 PASSO 10) O LR são os lugares onde a FTMA(s) atinge módulo = 1 e fase = 180. PASSO 11) Determinar o cruzamento do RL com o eixo imaginário jw. Efetuar o procedimento de Routh- Hurwitz com o polinômio do denominador da FTMF(s), ou seja, a equação característica Q(s) = 1 + K.FTMA(s). Em seguida, determinar os valores de K para não ocorrer mudanças de sinal na 1a. coluna do arranjo. Estes K são levados em Q(s) = 0 e fornecem as intersecções com o eixo imaginário. 2.f. REGRAS DE CONSTRUÇÃO SISTEMAS I


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