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RESPOSTA TOTAL = Resposta Transitória + Resposta em Estado Estacionário 1. RESPOSTA DE UM SISTEMA SISTEMAS II SISTEMA.

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1 RESPOSTA TOTAL = Resposta Transitória + Resposta em Estado Estacionário 1. RESPOSTA DE UM SISTEMA SISTEMAS II SISTEMA

2 ERRO ESTACIONÁRIO: somente um dos coeficientes assume um valor finito para um dado sistema os demais ou são nulos ou são infinitos. VARIAÇÃO DO ERRO COM O TEMPO: esta informação é provida com os coeficientes de erro dinâmico. SISTEMAS DIFERENTES: podem apresentar coeficientes de erro estacionário iguais, mas diferentes coeficientes de erro dinâmico. DESEMPENHO DINÂMICO: mostra o comportamento em regime transitório de um sistema. 2. DESEMPENHO DINÂMICO SISTEMAS II

3 RESPOSTA AO DEGRAU UNITÁRIO DE UM SISTEMA DE 2a. ORDEM: 1) Não - amortecido 2) Subamortecido 3) Criticamente amortecido 4) Superamortecido 3.1. RESPOSTA NO TEMPO SISTEMAS II

4 RESPOSTA AO DEGRAU UNITÁRIO DE UM SISTEMA DE 2a. ORDEM: a) 2 pólos reais diferentes b) par complexo conjugado c) par complexo conjugado sobre o eixo jw d) 2 pólos reais iguais 3.2. RESPOSTA NO TEMPO SISTEMAS II

5 TENDÊNCIA DOS PROCESSOS FÍSICOS: ter um no. maior de pólos do que de zeros na F.T. que o representa sistemas causais. PROBLEMA BÁSICO DE CONTROLE: > ganho ganho os pólos tendem a migrar para o SPD (Root Locus). PAR DE PÓLOS COMPLEXOS DOMINANTES: o objetivo é colocar um par de pólos complexos dominantes, que venham a caracterizar o desempenho do sistema. SISTEMA DE 2a. ORDEM: par complexo dominante = + j d 4.1. PAR COMPLEXO DOMINANTE SISTEMAS II

6 SISTEMA APROXIMADO COMO DE 2a. ORDEM PELA EXISTÊNCIA DE UM PAR DE PÓLOS COMPLEXOS DOMINANTES = + j d 4.2. PAR COMPLEXO DOMINANTE SISTEMAS II

7 FTMF(s) = T(s) = C(s) / R(s) = G(s) / [1 + G(s). 1] H(s) = 1 T(s) = w n 2 / [(s+ ) 2 + w d 2 ] = w n 2 / [s w n.s + w n 2 ] T(s) = w n 2 / [(s +.w n ) 2 + (w n. (1 - 2 ))] T(s) = w n 2 / [(s +.w n + jw n. (1 - 2 )) (s +.w n - jw n. (1 - 2 )) Onde: =.w n = amortecimento real = coeficiente de amortecimento w n = w o = freqüência natural w d = w n. (1 - 2 ) = freqüência real ou amortecida 4.3. PAR COMPLEXO DOMINANTE SISTEMAS II

8 cos = (0 1) > 1 sistema hiperamortecido raízes reais = 1 sistema criticamente amortecido raízes reais e iguais < 1 sistema hipoamortecido raízes complexas conjugadas = 0 sistema não- amortecido raízes imaginárias 4.4. PAR COMPLEXO DOMINANTE SISTEMAS II

9 RESPOSTA AO DEGRAU UNITÁRIO: T(s) = C(s) / R(s) = w n 2 / [s w n.s + w n 2 ] Se R(s) = 1 /s R(s).T(s) = C(s) = w n 2 / [s(s w n.s + w n 2 )] Assim: c(t) = 1 - [(1 / (1 - 2 )). exp (- wnt). sen(w n. (1 - 2 )t + )] exp = no. e = 2, PAR COMPLEXO DOMINANTE SISTEMAS II

10 MEDIDAS DE DESEMPENHO PARA SISTEMAS DE 2a. ORDEM: tr = tempo de subida tp = tempo de pico Mo = overshoot ts = tempo de estabilização 5. MEDIDAS DE DESEMPENHO SISTEMAS II

11 CONCEITO: tempo gasto para a resposta aumentar de 10 a 90% do valor de regime permanente. tr nos dá uma medida da velocidade de resposta de um sistema ao degrau. w.tr = 1/2. é o tempo que a resposta oscilatória gasta para completar 1/4 de ciclo = / 2 tr = ( - ) / [w n. (1 - 2 )] quanto > o valor de > o tr 6. TEMPO DE SUBIDA (tr) SISTEMAS II

12 CONCEITO: tempo gasto para a resposta aumentar de 0 ao primeiro valor de pico. Esse é o tempo para a resposta oscilatória completar 1/2 ciclo = w.tp = tp = / w d = / [w n. (1 - 2 )] é o primeiro ponto de máximo pico Em tp a resposta do sistema é: c(tp) = Mp = 1 + exp( - / (1 - 2 )) exp = no. e = 2, TEMPO DE PICO (tp) SISTEMAS II

13 CONCEITO: é a quantidade percentual máxima em que a resposta ultrapassa o valor de regime permanente. Mo [%] = 100. exp( - / (1 - 2 )) = 100. exp( - Re / Im) onde: exp = no. e = 2, Do ponto de vista de Mo, se Re Im (parte real parte imaginária) teremos um Overshoot de 5 a 6%. Pode-se obter desta expressão: = - ln Mo / [ ( 2 + (ln Mo) 2 )] 8. OVERSHOOT OU SOBRE-SINAL (Mo) SISTEMAS II

14 CONCEITO: é o tempo gasto para a resposta diminuir e permanecer dentro de algum percentual especificado. É usado como uma medida do tempo gasto para que as oscilações desapareceçam. ts = n / = n / (.w n ) onde n = número de constantes de tempo n = 1 exp(-n) = 0,368 faltam 36,8% para atingir RP n = 2 exp(-n) = 0,135 faltam 13,5% para atingir RP n = 3 exp(-n) = 0,05 faltam 5% para atingir RP n = 4 exp(-n) = 0,018 faltam 1,8% para atingir RP n = 5 exp(-n) = 0,007 faltam 0,7% para atingir RP 9. TEMPO DE ESTABILIZAÇÃO (ts) SISTEMAS II

15 São considerados pólos dominantes o par de pólos complexos p1, p2, se: 1) |Re (p)| > |5.(.w n )| caso de pólo real à esquerda do par dominante 2) |Re (z)| > |5.(.w n )| caso de zero real à esquerda do par dominante O par complexo dominante deve atender as especificações de projeto deve ser delimitada uma região no plano complexo. 10. ANÁLISE DO PAR COMPLEXO DOMINANTE SISTEMAS II

16 1) O par complexo dominante deve atender as especificações: Mo, ts. 2) O par complexo deve ser dominante sobre os demais. Mo depende de (0 1) que por sua vez depende de cos = ts depende da parte real do par dominante =.w n 11. REGIÃO QUE ATENDE ESPECIFICAÇÕES SISTEMAS II

17 FTMF(s) = T(s) = K (s-z 1 )(s-z 2 )...(s-z m ) / [(s-p 1 )(s-p 2 )...(s-p n )] tp = 1 / w d [ ( /2) + p - z ] onde: W d = parte imaginária do pólo dominante p1 p = somatório das contribuições angulares ao pólo p1 de todos os pólos, incluindo seu conjugado z = somatório das contribuições angulares ao pólo p1 de todos os zeros APLICAÇÃO A SISTEMAS TIPO 0 SISTEMAS II

18 Mp = [C(0) / R(0)] + Mo Mo = (2.w d / w n 2 ) |K.П im (p1 – zi) / П jn (p1 – pj)|.exp(-.tp) onde: [C(0) / R(0)] = valor final de T(t) П im = produtório de (i=1) até (i=m) П jn = produtório de (j=1) até (j=n) exp = no. e = 2, = parte real =.w n APLICAÇÃO A SISTEMAS TIPO 0 SISTEMAS II

19 Mo [%] = {[(A).(B)] / [(C).(D)]}. exp(-.tp). 100 onde: A = П |p 0,0| = produto das distâncias de todos os pólos à origem, excluídos p1 e p2 (par complexo dominante) B = П |z p1| = produto das distâncias de todos os zeros ao pólo p1 C = П |z 0,0| = produto das distâncias de todos os zeros à origem D = П |p p1| = produto das distâncias de todos os pólos ao pólo p1, excluído (2.w d ), que é a distância entre os conjugados p1 e p2 exp = no. e = 2, = parte real =.w n 13. APLICAÇÃO A SISTEMAS TIPO 1, 2, 3… SISTEMAS II

20 Ao introduzirmos compensadores em série com sistemas, onde queremos adequar as características da função de transferência em malha fechada às especificações mínimas de projeto, locamos pares pólo-zero na malha aberta que originam modos lentos na resposta transitória da FTMF, por se situarem próximos ao eixo jw, distantes dos demais, mas de valores próximos um do outro. Avaliação do Modo Lento deve ser realizado em T(s) = FTMF(s) Aproximação ML = (Tz - Tp) / Tp = (p - z) / z Onde: (Tz - Tp) / Tp expresso em constantes de tempo (p - z) / z expresso em pólos e zeros ANÁLISE DO MODO LENTO SISTEMAS II

21 1) MODO LENTO SUBTRATIVO: geramos zero à esquerda do pólo na malha fechada (Tzs + 1) / (Tps + 1), onde Tz |p| Conseqüência na resposta transitória: piora ts 2) MODO LENTO ADITIVO: geramos zero à direita do pólo na malha fechada (Tzs + 1) / (Tps + 1), onde Tz > Tp ou |p| > |z| Conseqüência na resposta transitória: piora ts, piora Mo ANÁLISE DO MODO LENTO SISTEMAS II


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