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UFOP Controle de Processos por Computador. Redução de Subsistemas Múltiplos Diagrama de blocos –Geralmente são utilizados para projeto e análise no domínio.

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1 UFOP Controle de Processos por Computador

2 Redução de Subsistemas Múltiplos Diagrama de blocos –Geralmente são utilizados para projeto e análise no domínio da freqüência –Diagramas de blocos com múltiplos subsistemas podem ser reduzidos a um único bloco (função de transferência total do sistema físico) –Elementos de um diagrama de blocos Sinais Sistema Junção somadora Ponto de distribuição de sinais

3 Redução de Subsistemas Múltiplos

4 Topologias comuns na interconexão de subsistemas –Associação em cascata –Associação em paralelo –Associação com retroação

5 Redução de Subsistemas Múltiplos

6

7

8 e

9 Manipulação de blocos para a criação de formas conhecidas C i (s)

10 Redução de Subsistemas Múltiplos a) b)

11 Redução de Subsistemas Múltiplos

12 Aplicação imediata a sistemas de segunda ordem E(s)

13 Redução de Subsistemas Múltiplos sendo desenvolvendo... Continuação

14 Estabilidade Um sistema linear invariante no tempo é dito estável se para qualquer entrada limitada obtêm-se apenas respostas limitadas Sistemas a malha fechada contendo pólos apenas no semiplano s negativo são estáveis –Do ponto de vista de sinais, sistemas causais possuem região de convergência da transformada de Laplace à direita do pólo mais próximo de + Se a região de convergência incluir o eixo complexo jω, o sistema é estável (transformada de Fourier converge) Se a região de convergência não incluir o eixo complexo jω, o sistema é instável (transformada de Fourier não converge)

15 Estabilidade

16 Critério de Routh-Hurwitz –Permite verificar a estabilidade de um sistema sem a necessidade de calcular os pólos de malha fechada –Permite determinar quantos pólos se encontram no semi-plano s esquerdo, no direito e sobre o eixo jω –Não permite determinar as coordenadas dos pólos

17 Estabilidade Procedimento para a geração da tabela de Routh básica (válida para sistemas com pólos no semi-plano esquerdo ou direito) –Criar uma tabela onde o número de linhas é igual a ordem do sistema (número de raízes do denominador) + 1, ou seja, de s n,s n-1,...,s 0 As linhas serão rotuladas em ordem decrescente das potências de s –O número de colunas é igual (ordem + 1) / 2, com arredondamento para cima –O preenchimento da primeira linha Atribui-se os coeficientes salteados a partir da primeira coluna, começando pelo valor correspondente a maior potência de s –O preenchimento da segunda linha Atribui-se os coeficientes salteados a partir da primeira coluna, começando pelo valor correspondente à segunda maior potência de s –Para as demais linhas, cada elemento será igual ao negativo do determinante de uma matriz quadrada de dimensão 2, cuja primeira coluna é formada pelos dois elementos da tabela das duas linhas imediatamente acima e da primeira coluna, e cuja segunda coluna será igual aos elementos da tabela localizados nas duas linhas imediatamente acima e da coluna à direita. Cada determinante é dividido pelo valor da tabela existente na primeira coluna e linha superior Interpretação –O número de pólos que se encontra no semi-plano direito de s é igual ao número de mudanças de sinal na primeira coluna da tabela de Routh –Se não houver mudanças de sinal na primeira coluna, então todos os pólos se encontram no semi-plano esquerdo (sistema estável)

18 Estabilidade

19

20 Caso ocorra um zero na primeira coluna, substituir por e, no final da análise, fazer tendendo a 0 - e 0 + Exemplo:

21 Erros de Estado Estacionário Erro de estado estacionário é a diferença entre a entrada de referência e a saída observada para t Entradas utilizadas para teste

22 Erros de Estado Estacionário Análise de erros para sistemas estáveis

23 Erros de Estado Estacionário Sistemas com retroação unitária –Exemplo: para uma entrada em degrau, o erro será (a) (b)

24 Erros de Estado Estacionário –Representação do erro do sistema com retroação unitária em termos de: Função de transferência de malha fechada T(s) Função de transferência de malha aberta G(s)

25 Erros de Estado Estacionário –Erro de estado estacionário em termos de T(s) Sendo e, tem-se que Deseja-se avaliar e( ) –Pode-se utilizar o teorema do valor final, deduzido a partir da propriedade da transformada de Laplace da derivada de uma função f(t) Condições iniciais nula

26 Erros de Estado Estacionário Logo o erro de estado estacionário pode ser obtido por –Erro de estado estacionário em termos de G(s) Sendo e, tem-se que Utilizando-se o teorema do valor final, obtém-se Continuação

27 Erros de Estado Estacionário O mesmo raciocínio pode ser utilizado para a análise de entradas em rampa e em parábola –Entrada em degrau –Entrada em rampa: –Entrada em parábola: Continuação

28 Erros de Estado Estacionário Constantes de erro estático –Parâmetros para a especificação de desempenho de erro em estado estacionário –Os limites definidos para o cálculo de erro em estado estacionário são denominadas constantes de erro estático. Então: Constante de posição K p : Constante de velocidade K v : Constante de aceleração K a :

29 Erros de Estado Estacionário Tipo de Sistema –É dado pelo número de integrações puras no percurso direto, sendo representado pelo termo 1 / s n da função de transferência G(s) –São analisados os sistemas Tipo 0, Tipo 1 e Tipo 2

30 Erros de Estado Estacionário

31 Técnica do Lugar das Raízes Representação gráfica dos pólos de malha fechada em função da variação de um parâmetro do sistema Permite avaliar a estabilidade Permite projetar os parâmetros que caracterizam a resposta transitória de um sistema (tempo de subida, instante de pico etc.)

32 Técnica do Lugar das Raízes Conhecimentos necessários: –Determinação dos pólos da função de transferência a malha fechada do sistema –Representação vetorial de números complexos

33 Técnica do Lugar das Raízes Função de transferência a malha fechada –Em sistemas de controle em malha fechada, é necessário fatorar o denominador para a obtenção dos pólos

34 Técnica do Lugar das Raízes Representação vetorial de números complexos –Então uma função de transferência F(s) pode ser escrita como

35 Técnica do Lugar das Raízes –Além disso, o módulo e o ângulo de F(s) podem ser calculados por: –Exemplo: dada a função F(s), determine M e ɵ

36 Técnica do Lugar das Raízes Definição do lugar das raízes –É a representação do percurso dos pólos a malha fechada à medida que o ganho é modificado (K 0) –Exemplo: dado o sistema abaixo em malha fechada, determine o lugar das raízes

37 Técnica do Lugar das Raízes

38 Note que, para a função de transferência em malha fechada T(s), tem-se um pólo quando ou seja, Continuação


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