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Capítulo 6 Estabilidade de Sistemas de Controle Estabilidade de Sistemas de Controle - Introdução n Definições de Estabilidade n Tópicos principais e.

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2 Capítulo 6 Estabilidade de Sistemas de Controle

3 Estabilidade de Sistemas de Controle - Introdução n Definições de Estabilidade n Tópicos principais e palavras chave n Estabilidade Absoluta n Estabilidade Relativa n Critério de Routh-Hurwitz

4 Estabilidade de Sistemas de Controle - Introdução n 1 ) Dos estudos das equações diferenciais lineares, ( com coeficientes constantes) de sistemas de entrada única e saída única EUSU foi visto que a solução homogênea corresponde a resposta transiente do sistema e é governada pelas raízes da equação característica.

5 Estabilidade de Sistemas de Controle - Introdução (cont.) n 2) Basicamente o projeto de sistemas de controle lineares se restringe à locação de polos e zeros da função de transferência, de tal modo que o sistema irá se comportar de acordo com as condições especificadas

6 Estabilidade de Sistemas de Controle - Introdução (cont.) n 3) Entre os principais requisitos se tem o fato de que o sistema tem de ser estável n 4) Um sistema instável é em geral sem utilidade n 5) Pode-se lidar com estabilidade de sistemas : lineares, não lineares, não variantes com o tempo e variantes com o tempo

7 Estabilidade de Sistemas de Controle - Introdução (cont.) n 6) Lidaremos a princípio com sistemas do tipo EUSU, e invariantes com o tempo n 7) Estudaremos estabilidade absoluta e relativa n 8) Para nos preparar para a definição de estabilidade,vamos relembrar a definição de n (i) Resposta a todos os estados nulos, e n (ii) Resposta a entradas nulas

8 Estabilidade de Sistemas de Controle - Introdução (cont.) n 9) Resposta a todos os estados nulos n Neste caso a resposta é devida somente as entradas e todas as condições iniciais são nulas n 10) Resposta a entradas nulas n Neste caso a resposta é devida somente as condições iniciais e todas as entradas são nulas

9 Entradas Finitas e Estabilidade de Saídas Finitas - para sistemas de dados contínuos n Se u(t), y(t), e g(t) são a entrada, saída e resposta a um impulso respectivamente n Se o sistema é linear, invariante com o tempo n Se tem-se condições iniciais iguais a zero o sistema é dito entrada finita e saída finita estável ou simplesmente estável, ( BIBO). n Se a sua saída finita é relacionada com a sua entrada finita

10 Entradas Finitas e Estabilidade de Saídas Finitas - para sistemas de dados contínuos (cont.) Ou, tomando o valor absoluto dos dois lados da equação

11 Entradas Finitas e Estabilidade de Saídas Finitas - para sistemas de dados contínuos (cont.) Como

12 Entradas Finitas e Estabilidade de Saídas Finitas - para sistemas de dados contínuos (cont.) Como a saída também é finita ou

13 Entradas Finitas e Estabilidade de Saídas Finitas - para sistemas de dados contínuos (cont.) Ou seja a condição explicitada na equação anterior implica em que a área sobre a curva de |g( )| seja finita

14 Relação entre Raízes da Equação Característica e a Estabilidade Raízes da equação característica devem estar sobre o lado esquerdo do plano complexo

15 Estabilidade Assintótica de Sistemas de Dados Contínuos com Entrada nula n Nesta parte serão definidos a estabilidade assintóticas e a estabilidade de entrada nula, será estabelecida a relação com a estabilidade BIBO (entrada e saídas finitas)

16 Estabilidade Assintótica de Sistemas de Dados Contínuos com Entrada nula n A estabilidade de entrada nula é a condição de estabilidade quando a entrada é nula, e o sistema é movido apenas pelas condições iniciais n Será mostrado que esta estabilidade tambem é função das raízes da equação característica

17 Estabilidade Assintótica de Sistemas de Dados Contínuos com Entrada nula Se a entrada de um sistema é nula, então a saída devido às condições iniciais y(t) será: Então

18 Estabilidade Assintótica de Sistemas de Dados Contínuos com Entrada nula E g k (t)é a saída de resposta nula, devido a y k (t o ) A estabilidade de entrada nula é definida como Se y(t), sujeito as condições inicias, alcança zero a medida que t aumenta o sistema é dito ser estável a entradas nulas, caso contrário o sistema é dito ser instável, i.e.

19 Estabilidade Assintótica de Sistemas de Dados Contínuos com Entrada nula A última equação requer que a magnitude de y(t) seja zero quando o tempo aumenta muito (tende a infinito). A isto se dá o nome de estabilidade assintótica

20 Estabilidade Assintótica de Sistemas de Dados Contínuos com Entrada nula

21 Os termos e sit das equações precedentes controlam a resposta a medida que y(t) tende a infinito, portanto as componentes reais de s i tem de ser negativas. Isto é, as raízes da equação característica devem estar no lado esquerdo do plano s

22 Estabilidade Assintótica de Sistemas de Dados Contínuos com Entrada nula Estabilidade marginal ou Instabilidade marginal = quando a equação característica possui raízes no eixo j do plano s Exceção, quando o sistema for projetado para ser oscilante

23 Condições de Estabilidade de Sistemas Lineares (Invariantes como tempo) de Dados Contínuos n Condição de estabilidadeValores das raízes n AssintóticamenteTodas as raízes no lado estável ou somente estávelesquerdo do plano s Estabilidade marginal ou i =0 para todo i para Estabilidade marginal ou i =0 para todo i para n instabilidade marginal raízes simples, e nenhum. i >0 ( para raízes múltiplas)*. i >0 ( para raízes múltiplas)* n.* Há exceções Instável i >0 para qq.i ou i =0 para qq raíz de ordem múltipla. Pelo menos uma raiz simples. no plano s ou no mínimo uma. raíz múltipla no eixo j Instável i >0 para qq.i ou i =0 para qq raíz de ordem múltipla. Pelo menos uma raiz simples. no plano s ou no mínimo uma. raíz múltipla no eixo j

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