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Aula 9 Sinais e Sistemas – Capítulo 2 Simon Haykin.

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1 Aula 9 Sinais e Sistemas – Capítulo 2 Simon Haykin

2 Aula 9 Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças As equações de diferenças são usadas para representar sistemas de tempo discreto As equações diferenciais são usadas para representar sistemas de tempo contínuo

3 Aula 9 Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças A forma geral de equações diferenciais com coeficientes constantes é onde x(t) é a entrada do sistema e y(t) é a saída.

4 Aula 9 Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças A forma geral de equações de diferenças com coeficientes constantes é similar, mas com as derivadas substituídas por valores retardados da entrada x[n] e da saída y[n] onde x[k] é a entrada do sistema e y[k] é a saída.

5 Aula 9 Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças N é um número inteiro chamado de ordem da equação, e corresponde à derivada mais elevada (no caso de equação diferencial) ou a memória máxima que envolve a saída do sistema (no caso de equação de diferença) Em termos práticos, a ordem representa o número de dispositivos de armazenamento de energia presentes no sistema Equação diferencial Equação de diferença

6 Aula 9 Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças Exemplo 1: Sistema RLC Observe que a ordem N é 2 e o sistema possui dois elementos de armazenamento de energia: o capacitor e o indutor.

7 Aula 9 Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças Exemplo 2: Sistema massa-mola Observe que a ordem N é 2 e o sistema possui dois elementos de armazenamento de energia: a massa e a mola. Posição Velocidade Aceleração

8 Aula 9 Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças Exemplo 3: Relação de entrada e saída de um sistema que processa dados em um computador Observe que a ordem N é 2 pois o sistema possui uma memória máxima da saída igual a 2. A memória em um sistema de tempo discreto é análoga ao armazenamento de energia em um sistema de tempo contínuo.

9 Aula 9 Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças Dada a forma geral de uma equação de diferença então podemos reescrevê-la na forma recursiva A qual indica que a saída y[n] pode ser obtida a partir da entrada e de valores passados da saída.

10 Aula 9 Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças Exemplo: Considere o sistema de tempo discreto modelado como Descreva o sistema sob uma forma recursiva e determine as 3 primeiras amostras de saída. Solução:

11 Aula 9 Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças Observe que para iniciar o processo em n=0 é necessário conhecer os dois valores passados mais recente da saída, y[-1] e y[-2], que são as condições iniciais do sistema.

12 Aula 9 Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças As condições iniciais resumem todas as informações sobre o passado do sistema que são necessárias para determinar as saídas futuras. Em geral, o número de condições iniciais necessárias é igual à ordem do sistema. No caso de sistemas de tempo contínuo, as condições iniciais são os valores das N derivadas da saída avaliadas no tempo t 0 As condições iniciais em sistemas de tempo contínuo estão relacionadas com os valores iniciais dos dispositivos de armazenamento de energia (tensões iniciais em capacitores, correntes iniciais em indutores,...)

13 Aula 9 Resolvendo Equações Diferenciais e de Diferenças É conveniente expressar a saída como uma soma de dois componentes: Um associado somente com as condições iniciais; Outro devido somente à entrada. Denominaremos o componente associado com as condições iniciais de resposta natural do sistema, y (n). O componente da saída devido somente à entrada é denominado resposta forçada do sistema, y (f). A resposta natural é a saída do sistema para entrada zero, enquanto que a resposta forçada é a saída do sistema com condições iniciais nulas. Um sistema com condições iniciais nulas (nenhuma energia armazenada ou nenhuma memória) é dito estar em repouso.

14 Aula 9 Resolvendo Equações Diferenciais e de Diferenças A resposta natural mostra como o sistema dissipa energia ou memória do passado, representadas por condições iniciais distintas de zero. A resposta forçada mostra o comportamento do sistema, que é forçado por uma entrada quando o sistema está em repouso.

15 Aula 9 A Resposta Natural Considere a equação diferencial em sua forma geral Considerando x(t)=0, o que nos leva à equação homogênea Logo, a resposta natural y (n) tem a forma em que r i são as N raízes da equação característica do sistema.

16 Aula 9 A Resposta Natural Equação homogênea Logo, a resposta natural y (n) tem a forma em que r i são as N raízes da equação característica do sistema A substituição de y (n) na equação homogênea estabelece sua solução para qualquer conjunto de constantes c i.

17 Aula 9 A Resposta Natural Considere a equação de diferenças em sua forma geral Considerando x[n-k]=0, o que nos leva à equação homogênea Logo, a resposta natural y (n) tem a forma em que r i são as N raízes da equação característica do sistema A substituição de y (n) na equação homogênea estabelece sua solução para qualquer conjunto de constantes c i.

18 Aula 9 A Resposta Natural Observe que as equações características de tempo contínuo e de tempo discreto diferem uma da outra. Equação característica de tempo contínuo Equação característica de tempo discreto

19 Aula 9 A Resposta Natural A forma da resposta natural se modifica ligeiramente quando as equações características possuem raízes repetidas. Se a raiz for repetida p vezes, então incluímos p termos distintos nas soluções de y (n) associadas com r i, envolvendo as p funções Tempo contínuo Tempo discreto Natureza de cada termo na resposta natural: r i reais => exponenciais reais r i imaginárias=>senóides r i complexas=> Senóides exponencialmente amortecidas

20 Aula 9 A Resposta Natural Exemplo: Considere o circuito RL como um sistema cuja entrada é a tensão aplicada x(t) e a saída é a corrente y(t). Encontre uma equação diferencial que descreva este sistema e determine a resposta natural do sistema para t>0, supondo que a corrente que atravessa o indutor no instante t=0 seja y(0)=2 A. Solução:

21 Aula 9 A Resposta Natural A resposta natural é a solução da equação homogênea cuja solução, sabendo que N=1, é em que r 1 é a raiz da equação característica O coeficiente c 1 é determinado de forma que a resposta satisfaça a condição inicial y(0)=2. Neste caso, c 1 =2, de modo que

22 Aula 9 A Resposta Forçada A resposta forçada é a solução para a equação diferencial ou de diferenças correspondente à entrada dada, supondo-se que as condições iniciais sejam nulas. Consiste na soma de dois componentes: Um termo que tem a mesma forma que a resposta natural Uma solução particular y (p) A solução particular normalmente é obtida supondo que a saída do sistema tenha a mesma forma geral que a entrada Exemplo 1: se a entrada é x[n]=a n, então supomos que a saída tenha a forma y (p) [n]=ca n, e encontramos a constante c. Exemplo 2: se a entrada é x[n]=Acos( Ωn+Φ), então supomos que a saída tenha a forma y (p) [n]=c 1 cos( Ωn)+ c 2 sen( Ωn), onde c 1 e c 2 são determinadas a fim de que y (p) [n] satisfaça a equação de diferença do sistema.

23 Aula 9 A Resposta Forçada

24 Aula 9 A Resposta Forçada Exemplo: Considere o circuito RL como um sistema cuja entrada é a tensão aplicada x(t) e a saída é a corrente y(t). Encontre uma solução particular para este sistema, sabendo que x(t)=cos(ω 0 t)V. Solução:

25 Aula 9 A Resposta Forçada Supomos uma solução particular da forma Então, a equação diferencial fica como segue:

26 Aula 9 A Resposta Forçada Exemplo: Considere o circuito RL como um sistema cuja entrada é a tensão aplicada x(t) e a saída é a corrente y(t). Encontre a resposta forçada, sabendo que x(t)=cos(t)V, R=1 Ω, L=1H.

27 Aula 9 A Resposta Forçada Solução: Reposta natural: Reposta Particular: Reposta Forçada:

28 Aula 9 A Resposta Forçada Reposta Forçada:

29 Aula 9 A Resposta Completa É a soma da resposta natural e a resposta forçada Obtém-se aplicando os procedimentos para determinação da resposta forçada, mas com as condições iniciais reais em vez de nulas

30 Aula 9 A Resposta Completa Exemplo: Considere o circuito RL como um sistema cuja entrada é a tensão aplicada x(t) e a saída é a corrente y(t). Encontre a resposta forçada, sabendo que x(t)=cos(t)V, R=1 Ω, L=1H e y(0)=2A. Solução: Reposta forçada: Reposta completa:

31 Aula 9 A Resposta Completa Reposta Completa: Reposta Natural: Reposta Forçada:


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