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Aula 16 Sinais e Sistemas – Capítulo 4 Simon Haykin.

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1 Aula 16 Sinais e Sistemas – Capítulo 4 Simon Haykin

2 Aula 16 Representações com Transformada de Fourier para Sinais Periódicos Seja x(t) um sinal periódico. Então sua representação por FS é Observe agora que a FT de um impulso deslocado em frequência, δ(ω-kω o ), é uma senóide complexa com frequência kω o,, isto é Combinando as duas expressões, temos

3 Aula 16 Representações com Transformada de Fourier para Sinais Periódicos Consequentemente, a FT de um sinal periódico é uma série de impulsos espaçados pela frequência fundamental ω o. O k-ésimo impulso tem força 2πX[k], em que X[k] é o k-ésimo coeficiente da FS.

4 Aula 16 Representações com Transformada de Fourier para Sinais Periódicos Exemplo: Encontre a representação por FT para x(t)=cos(ω 0 t) Solução: A representação por FS para x(t) é Considerando que então

5 Aula 16 Representações com Transformada de Fourier para Sinais Periódicos

6 Aula 16 Representações com Transformada de Fourier para Sinais Periódicos Seja x[n] um sinal periódico com período N. Então sua representação por DTFS é Observe que a DTFT inversa de um impulso deslocado em frequência é uma senóide complexa de tempo discreto. A DTFT é uma função da frequência com período 2π, de modo que podemos expressar um impulso deslocado em frequência das seguintes formas:

7 Aula 16 Representações com Transformada de Fourier para Sinais Periódicos Expressando um período Usando uma série finita de impulso deslocados e separados entre si por um intervalo de 2π, de modo a obter a função com período 2π

8 Aula 16 Representações com Transformada de Fourier para Sinais Periódicos A DTFT inversa de é obtida usando a propriedade de peneiramento do impulso, isto é Usando a linearidade e substituindo a última expressão em então

9 Aula 16 Representações com Transformada de Fourier para Sinais Periódicos Uma vez que X[k] tem período N e N 0 =2π, podemos reescrever a DTFT de x[n] como

10 Aula 16 Representações com Transformada de Fourier para Sinais Periódicos Exemplo: Determine a DTFT inversa da representação mostrada na figura a seguir Solução: um período de X(e j ) pode ser expressado como

11 Aula 16 Representações com Transformada de Fourier para Sinais Periódicos A DTFT inversa de cada impulso deslocado em frequência resulta em

12 Aula 16 Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais É comum haver combinações de sinais periódicos e não periódicos em problemas de convolução e modulação. Exemplo: aplique um sinal periódico x(t) ou x[n] a um filtro estável. A saída será a convolução do sinal de entrada periódico com a resposta ao impulso do filtro não periódica. Em casos assim, usaremos como ferramentas de análise a FT e a DTFT.

13 Aula 16 Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais Considere a convolução entre os sinais x(t) e h(t), isto é Digamos que x(t) seja um sinal periódico. Logo, sua FT é dada por em que X[k] são os coeficientes da FS de x(t).

14 Aula 16 Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais Substituindo X(jω) na expressão de convolução, temos

15 Aula 16 Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais A força do k-ésimo impulso é ajustado pelo valor H(jω). Y(jω) corresponde a um sinal periódico. Consequentemente y(t) também é periódico, com o mesmo período de x(t).

16 Aula 16 Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais Considere a convolução entre os sinais x[n] e h[n], isto é Digamos que x[n] seja um sinal periódico. Logo, sua DTFT é dada por em que X[k] são os coeficientes da DTFS de x[n].

17 Aula 16 Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais Substituindo X(e j ) na expressão de convolução, temos A forma de Y(e j ) indica que y[n] também é periódico, com o mesmo período de x[n].

18 Aula 16 Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais Propriedade da Modulação: Seja x(t) e z(t) sinais não periódicos. Desejamos expressar a FT de y(t)=x(t)z(t). Logo, representando x(t) e z(t) em termos de suas respectivas FTs, temos Logo

19 Aula 16 Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais Fazendo η=ω-υ, temos A integral interna em υ representa a convolução de X(jω) e Z (jω). A integral externa em ω está na forma da representação de Fourier para y(t). Daí, em que

20 Aula 16 Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais De forma similar, encontramos que em que

21 Aula 16 Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais Podemos utilizar a propriedade da modulação mesmo que um dos sinais seja periódico. Seja a modulação de dois sinais, x(t) e g(t), com x(t) periódico e g(t) não periódico

22 Aula 16 Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais A propriedade de peneiramento da função impulso implica que a convolução de qualquer função com um impulso deslocado resulta numa versão deslocada da função original, de forma que

23 Aula 16 Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais Seja agora a modulação de dois sinais, x[n] e g[n], com x[n] periódico e g[n] não periódico sendo onde X[k] são os coeficientes da DTFS de x[n]. Substituindo a última equação na definição de convolução, temos

24 Aula 16 Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais Aplicando a propriedade de peneiramento, temos Logo, a modulação de g[n] com a sequência periódica x[n] resulta numa DTFT que consiste numa soma ponderada de versões deslocadas de G(e j ). Observe que y[n] é não periódico e consequentemente Y(e j ) também é não periódico.

25 Aula 16 Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais Exemplo: Considere o sinal Use a propriedade de modulação para avaliar o efeito de computar a DTFT usando apenas os 2M+1 valores de x[n], isto é |n|M. Solução: Queremos avaliar y[n]=x[n]w[n], onde

26 Aula 16 Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais A DTFT de é onde de modo que

27 Aula 16 Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais Considere a propriedade de modulação, isto é onde de modo que


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