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Circuitos Elétricos II Prof. Humberto Mendes Mazzini Departamento de Engenharia Elétrica Aula 2: Transformada de Laplace (T.L.) - revisão.

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1 Circuitos Elétricos II Prof. Humberto Mendes Mazzini Departamento de Engenharia Elétrica Aula 2: Transformada de Laplace (T.L.) - revisão

2 Objetivos: - Saber calcular a transformada de Laplace de uma função usando sua definição, a tabela de transformadas de Laplace e/ou uma tabela de transformadas operacionais. - Saber calcular a transformada inversa de Laplace usando a expansão por frações parciais e a tabela de transformadas de Laplace. - Entender e saber como usar o teorema do valor inicial e o teorema do valor final.

3 Transformada de Laplace Desenvolvida pelo matemático francês Pierre Simon Laplace ( )

4 T.L. - Introdução A T. L. de certa maneira generaliza a Transformada de Fourier, pois baseia-se na representação de sinais no domínio da frequência em função de s, que é um complexo s = σ + jω (em vez de apenas jω na Transformada de Fourier).

5 T.L. - Vantagens - As Transformadas de Laplace fornecem mais informação sobre aqueles sinais e sistemas que também podem ser analisados pela Transformada de Fourier, - podem ser aplicadas em contextos em que aTransformada de Fourier não pode, como por exemplo na análise de Sistemas instáveis.

6 Definição da T.L. Considere um sinal contínuo x(t) : x(t) C {conjunto dos números complexos} ou seja, o sinal x(t) pode ter valores complexos, i.e., valores com parte real e com parte imaginária. A Transformada de Laplace deste sinal x(t), normalmente simbolizada por: permite expressar o sinal x(t) como: a equação acima é chamada de transformada unilateral pois é definida para x(t) em que x(t) para t<0 e é a definição de T.L. adotada aqui (maior aplicação em sistemas dinâmicos).

7 7 Exemplos (1) Determine a transformada de Laplace de cada uma das funções a seguir:

8 8 Exemplos (2)

9 9 Exemplos (3)

10 10 Exemplos (4)

11 11 Exemplos (5)

12 12 Exemplos (6)

13 13 Exemplos (7)

14 14 Generalização

15 15 Propriedades da Transformada de Laplace (1) Linearidade: Se F 1 (s) e F 2 (s) são, respectivamente, as trasformadas de Laplace of f 1 (t) e f 2 (t), então:

16 16 Propriedades da Transformada de Laplace (2) Mudança de escala: Se F (s) for a transformada de Laplace de f (t), então:

17 17 Propriedades da Transformada de Laplace (3) Deslocamento no tempo: Se F (s) for a transformada de Laplace de f (t), então:

18 18 Propriedades da Transformada de Laplace (4) Deslocamento na frequência: se F (s) for a transformada de Laplace de f (t), então:

19 19 Propriedades da Transformada de Laplace (5) Derivadas: Se F (s) for the Transformada de Laplace de f (t), então a Transformada de Laplace de sua derivada é:

20 20 Propriedades da Transformada de Laplace (6) Integrais: Se F (s) for a Transformada de Laplace de f (t), então a Transformada de Laplace de sua integral é:

21 21 Propriedades da Transformada de Laplace (7) Valores inicial e final

22 22 Valores inicial e final - exemplo

23 FIM


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