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Aula 21 Sinais e Sistemas – Capítulo 7 Simon Haykin.

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1 Aula 21 Sinais e Sistemas – Capítulo 7 Simon Haykin

2 Aula 21 Transformada Z Inversa Formas de se obter a transformada Z inversa: 1.Aplicação direta da equação 2.Método das frações parciais 3.Método de inspeção de uma série de potência em z ou z -1

3 Aula 21 Transformada Z Inversa Expansão em Frações Parciais (aplica-se a sinais unilaterais e bilaterais) Exemplo 1: Encontre a transformada Z inversa de com região de convergência, usando o método de frações parciais.

4 Aula 21 Transformada Z Inversa Expansão em Frações Parciais Solução: Fazendo a expansão em frações parciais, temos Para obtermos A 1, A 2 e A 3, fazemos

5 Aula 21 Transformada Z Inversa Expansão em Frações Parciais

6 Aula 21 Transformada Z Inversa Fazendo z=1/2, temos Fazendo z=2, temos Fazendo z=1, temos Expansão em Frações Parciais Daí,

7 Aula 21 Transformada Z Inversa Expansão em Frações Parciais Sabemos que se a região de convergência tem raio mínimo maior do que o módulo do pólo, a, e que se a região de convergência tem raio máximo menor do que o módulo do pólo, a.

8 Aula 21 Transformada Z Inversa Expansão em Frações Parciais Daí,

9 Aula 21 Transformada Z Inversa Expansão em Série de Potências (Limitada a sinais unilaterais) Exemplo 2: Encontre a transformada Z inversa de com região de convergência, usando o método de expansão em série de potências.

10 Aula 21 Transformada Z Inversa Expansão em Série de Potências Solução: Se a região de convergência for do tipo |z|>a, então expressamos X(z) como uma série de potências em z -1. Se a região de convergência for do tipo |z|

11 Aula 21 Transformada Z Inversa Expansão em Série de Potências Solução: Neste caso, como a região de convergência é igual a |z|>1/2, então expressamos a série em z -1, como segue:

12 Aula 21 Transformada Z Inversa Expansão em Série de Potências Solução:

13 Aula 21 Transformada Z Inversa Expansão em Série de Potências Solução: Daí, concluímos que

14 Aula 21 Transformada Z Inversa Expansão em Série de Potências Solução: Se a região de convergência é modificada para |z|<1/2, então expressamos a série em z, como segue:

15 Aula 21 Transformada Z Inversa Expansão em Série de Potências Solução:

16 Aula 21 Transformada Z Inversa Expansão em Série de Potências Solução: Daí, concluímos que

17 Aula 21 Transformada Z Inversa Expansão em Série de Potências Uma vantagem da expansão em série de potências é a capacidade de se encontrar transformas Z inversas para sinais que não são uma razão de polinômios em z, como veremos no exemplo a seguir.

18 Aula 21 Transformada Z Inversa Expansão em Série de Potências (Limitada a sinais unilaterais) Exemplo 3: Encontre a transformada Z inversa de com região de convergência igual a todos os z, exceto

19 Aula 21 Transformada Z Inversa Expansão em Série de Potências Solução: Usando a representação em série de potências para e a, isto é de modo que Assim, temos que

20 Aula 21 Análise com Transformada Z de Sistemas LTI Sabe-se que Seja agora a equação de diferenças Aplicando transformada Z, temos com X(z)0 Aplicando transformada Z, temos

21 Aula 21 Exemplo 4: Encontre a descrição com equação de diferença de um sistema que possui a função de transferência Solução: Primeiramente reescrevemos a função de transferência como uma razão de polinômios em z -1, dividindo numerador e denominador por z 2. Análise com Transformada Z de Sistemas LTI

22 Aula 21 Comparando com concluímos que M=2, N=2 b 0 =0, b 1 =5, b 2 =2, a 0 =1, a 1 =3 e a 2 =2. Logo, Análise com Transformada Z de Sistemas LTI

23 Aula 21 Análise com Transformada Z de Sistemas LTI Seja a descrição por variáveis de estado Admitamos que seja a transformada Z de q[n], então, aplicando a transformada Z em, obtemos Aplicando a transformada Z em obtemos

24 Aula 21 Análise com Transformada Z de Sistemas LTI Substituindo em obtemos Observe que a expressão para H(z) tem a mesma forma que a resposta em frequência definida no capítulo anterior. De fato, podemos sair de uma para a outra fazendo

25 Aula 21 Análise com Transformada Z de Sistemas LTI - Causalidade A resposta ao impulso de um sistema causal é nula para n<0. Logo, podemos obter a resposta ao impulso de um sistema causal a partir de sua função de transferência, aplicando a transformada Z lateral direita.

26 Aula 21 Análise com Transformada Z de Sistemas LTI - Estabilidade

27 Aula 21 Análise com Transformada Z de Sistemas LTI – Estabilidade e Causalidade Sistemas estáveis e causais possuem todos os pólos inseridos no círculo unitário.


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