Sinais e Sistemas – Capítulo 3

Sinais e Sistemas – Capítulo 3
Aula 1 Sinais e Sistemas – Capítulo 3 Simon Haykin Aula 13

Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto (DTFT)
Desenvolvemos a DTFT a partir da DTFS, onde um sinal não periódico é descrito como o limite de um sinal periódico de período fundamental N aproximando-se do infinito. Seja Onde é um sinal periódico de período N=2M+1. Aula 13

A medida que M se eleva, as réplicas periódicas de x[n] presentes em se distanciam da origem. Quando M->∞, as réplicas movem-se para infinito. Aula 13

Então, podemos escrever Como é um sinal periódico, então podemos representá-lo pela usando o par de DTFS, isto é Aula 13

Como , então Definimos agora uma função contínua de frequência cujas amostras em são iguais aos coeficientes da DTFS normalizados por 2M+1, ou seja Aula 13

Substituindo a definição de X[k] na DTFS temos Como , então Aula 13

A medida que M se eleva, Ωo diminui (de a para c), provando um decréscimo no espaçamento harmônico.

Desde que , onde então Observe que estamos somando valores de uma função avaliados em kΩo, multiplicados pela largura entre amostras, Ωo. Esta consiste em uma aproximação pela regra retangular para integração.

Deste modo, é uma aproximação para onde foi considerado que Ω=kΩo, de modo que dΩ=Ωo, e que

A DTFT inversa nos diz que x[n] é uma superposição ponderada de senóides discretas, onde a superposição é proporcionada pela integral e a ponderação é dada por onde é a DTFT.

Dizemos que e x[n] são um par de DTFT. Ao obter a DTFT, é considerado que x[n] tem duração finita. Podemos também aplicar esses resultados a sinais x[n] com duração infinita, mas para isso temos que considerar as condições sob as quais a DTFT converge.

Condição 1: Se x[n] é absolutamente somável, isto é então a DTFT convergirá uniformemente para uma função contínua de Ω. Condição 2: Se x[n] não for absolutamente somável, mas tiver energia finita, isto é então pode-se mostrar que a DTFT converge, mas não ponto a ponto.

Muitos sinais físicos encontrados na prática da engenharia satisfazem as condições citadas. Entretanto, existem sinais não periódicos de uso comum, por exemplo o degrau unitário, que não satisfaz àquelas condições. Veremos como tratar esses casos no capítulo seguinte.

Exemplo: Encontre a DTFT de Solução: A DTFT de x[n] é dada por O último somatório diverge para |α|≥1. Para |α|<1 temos a série geométrica convergente Se α é real, então o módulo e a fase são como segue.

Exemplo: Encontre a DTFT de um pulso retangular definido como Solução: A DTFT de x[n] é dada por Fazendo m=n+M, temos

A penúltima expressão pode ser simplificada fazendo-se a simetria das potências da exponencial do numerador e denominador, conforme a seguir.

Aplicando L’Hopital, temos que Consequentemente, temos que

Exemplo: Encontre a DTFT inversa de Solução: A DTFT inversa é dada por

Usando L’Hopital, mostra-se que Logo, podemos escrever com o entendimento que o valor em n=0 é obtido como o limite. Também podemos escrever

Exemplo: Encontre a DTFT de Solução: A DTFT é dada por Consequentemente Consequentemente

Exemplo: Encontre a DTFT inversa de Solução: A DTFT inversa é dada por

Observe, no exemplo anterior, que podemos definir Para todos os Ω, escrevendo-o como uma soma infinita de funções delta deslocadas por múltiplos inteiros de 2π, ou seja,

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