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Aula 17 Sinais e Sistemas – Capítulo 4 Simon Haykin.

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1 Aula 17 Sinais e Sistemas – Capítulo 4 Simon Haykin

2 Aula 17 Representação por Transformada de Fourier para Sinais de Tempo Discreto Considere as senóides complexas a seguir: e Suponha que g[n] é igual às amostras de x(t), tomadas em intervalos β, isto é, o que implica que de modo que podemos definir Logo, a frequência de tempo discreto Ω corresponde à frequência de tempo contínuo ω, multiplica pelo intervalo de amostragem β.

3 Aula 17 Relacionando a FT com a DTFT Considere a DTFT de um sinal de tempo discreto arbitrário x[n], isto é Procuramos por um par FT que corresponda ao par

4 Aula 17 Relacionando a FT com a DTFT Começamos por substituir Ω= β ω em obtendo Tome a FT inversa de usando a linearidade e o par FT para obter

5 Aula 17 Relacionando a FT com a DTFT Consequentemente

6 Aula 17 Relacionando a FT com a DTFS Seja x[n] um sinal periódico. Logo sua representação por DTFT é dada por em que X[k] são os coeficientes da DTFS de x[n] Substituindo Ω= β ω, obtemos a representação por FT, isto é

7 Aula 17 Relacionando a FT com a DTFS Aplicando a propriedade de mudança de escala da função impulso, isto é temos então que Como X[k] é uma função com período N, então é periódica com período

8 Aula 17 Relacionando a FT com a DTFS O sinal correspondente à última FT é facilmente obtido usando

9 Aula 17 Amostragem Vamos agora utilizar a representação por FT de sinais de tempo discreto para analisar os efeitos de amostrar uniformemente um sinal. A amostragem gera um sinal de tempo discreto a partir de um sinal de tempo contínuo. São muito úteis para transformar sinais de tempo contínuo em sinais manipuláveis por sistemas de comunicação, controle e processamento digital. A amostragem também é aplicável em sinais discretos para realizar mudanças na taxa efetiva de dados (subamostragem).

10 Aula 17 Amostragem Seja x[n] um sinal de tempo discreto que é igual às amostras de x(t) em múltiplos inteiros do intervalo de amostragem β, isto é, x[n]=x(βn). O efeito da amostragem é avaliado relacionando-se a DTFT de x[n] com a FT de x(t). A ferramenta que utilizamos para isto é a FT de sinais de tempo discreto. Seja a representação em tempo contínuo de um sinal de tempo discreto, isto é

11 Aula 17 Amostragem Substituindo x(βn) em x[n], temos Desde que então, podemos representar como um produto de funções do tempo, isto é, em que

12 Aula 17 Amostragem Amostragem por impulsos

13 Aula 17 Amostragem O efeito da amostragem por impulsos é avaliado relacionando-se a FT de com a FT de x(t) onde De modo que

14 Aula 17 Amostragem Logo em que é a frequência de amostragem.

15 Aula 17 Amostragem Observe que a FT do sinal amostrado é uma soma infinita de versões deslocadas da FT do sinal original, as quais são espaçadas de múltiplos inteiros de ω s.

16 Aula 17 Amostragem Observe ainda que as versões deslocadas de X(j ω) podem se sobrepor umas às outras se ω s não for suficientemente grande em comparação com a extensão de frequência de X(jω). Alising

17 Aula 17 Amostragem O fenômeno de Alising provoca distorção do espectro do sinal de tempo contínuo, de modo que não se pode recuperar o sinal de tempo contínuo original. Alising

18 Aula 17 Amostragem A DTFT do sinal amostrado é obtida de usando- se a relação Ω=βω, isto é, Portanto, ω=ω s corresponde a Ω=2π.

19 Aula 17 Amostragem

20 Aula 17 Amostragem Exemplo: Considere o efeito de extrair amostras de Determine a FT do sinal amostrado para os seguintes intervalos de amostragem: a)β=1/4; b) β=1; c) β=3/2. Solução:

21 Aula 17 Amostragem

22 Subamostragem Admitamos que y[n]=x[qn] seja uma versão subamostrada de x[n], onde q é um número inteiro positivo. Nossa meta é relacionar a DTFT de y[n] com a DTFT de x[n]. Podemos conseguir tal relação utilizando a FT para representar x[n] como uma versão amostrada de x(t).

23 Subamostragem Logo, expressamos y[n] como uma versão amostrada de x(t), porém usando um intervalo de amostragem q vezes o do associado com x[n]. Consequentemente, a taxa de amostragem para y[n] é Logo,

24 Subamostragem Daí, Observe que expressamos e como funções de X(jω). Mas X(jω) é desconhecido, pois conhecemos x[n] e não x(t). Vamos então tentar expressar como uma função de. Seja, onde l é a parte inteira e m é o resto da fração.

25 Subamostragem Como -k, então -l. Além disso, 0mq-1. Assim, podemos reescrever

26 Subamostragem Agora, convertemos a representação FT em uma representação DTFT, expressando como uma função de. O intervalo de amostragem associado com é β. Daí,, de modo que

27 Subamostragem O intervalo de amostragem associado com é β. Daí, Portanto, podemos substituir em Assim

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