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Dualidade Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes Outubro - 2009.

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Apresentação em tema: "Dualidade Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes Outubro - 2009."— Transcrição da apresentação:

1 Dualidade Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes Outubro

2 O problema Dual Certas vezes estamos interessados em encontrar uma estimativa da solução ótima em vez de encontrá-la, utilizando o método Simplex. Isto pode ser obtido através da procura de valores limites inferiores (para maximização) ou superiores (para minimização).

3 O problema Dual Por exemplo: Por tentativa podemos estabelecer soluções viáveis para os problemas a seguir:

4 O problema Dual Min Z = 5x 1 - 2x 2 Sujeito a: x 1 3solução (2,2) Z* 6 x 2 4solução (1,3) Z* -1 x 1 + 2x 2 9 solução (3,2) Z* 11 x 1 0 e x 2 0 Max Z = 5x 1 + 2x 2 Sujeito a: x 1 3 solução (2,2) Z* 14 x 2 4 solução (1,3) Z* 11 x 1 + 2x 2 9 solução (3,2) Z* 19 x 1 0 e x 2 0

5 O problema Dual N o caso maximização, quando consideramos x 1 = 2 e x 2 =2, o valor do limite inferior, Z = 14, fica automaticamente estabelecido, já que, como desejamos maximizar a função objetivo, podemos garantir que a função objetivo não ficará abaixo deste valor. Não podemos garantir se existe uma solução com um valor maior, porém menor não será.

6 O problema Dual No caso da minimização, quando x 1 = 2 e x 2 = 2, o valor do limite superior, Z = 6, fica estabelecido. Não podemos garantir que existe uma solução onde o valor de Z seja menor, porém maior não será.

7 O problema Dual O ideal seria estabelecer um intervalo onde podéssemos garantir que o nosso valor ótimo estivesse. Então vamos através do problema de maximização tentar estabelecer um limite superior para a nossa solução.

8 O problema Dual Max Z = 5x 1 + 2x 2 Sujeito a: x 1 3 x 2 4 x 1 + 2x 2 9 x 1 0 e x 2 0 Se multiplicarmos por 5 todos os valores da 3ª restrição, não alteraríamos a sua identidade e teriamos:

9 5x x 2 45 Como os coeficiente da restrição acima são maiores que os coeficientes da função objetivo então 5x 1 + 2x 2 5x x 2 45 Logo a função objetivo não poderá alcançar nenhum valor superior a 45 O problema Dual

10 Conclusão 1: a multiplicação de uma restrição por um valor positivo pode nos ajudar a obter um limite superior para o nosso problema O problema Dual

11 Agora multiplicando a primeira restrição por 6 e a segunda por 3, e somando os resultados. 6x x x 1 + 3x 2 30 Novamente os coeficiente da restrição acima são maiores que os coeficientes da função objetivo então 5x 1 + 2x 2 6x 1 + 3x 2 30 Logo a função objetivo não poderá alcançar nenhum valor superior a 30 (novo limite superior) O problema Dual

12 Conclusão 2: Multiplicar cada restrição por uma constante inteira positiva e somar as novas restrições pode nos ajudar a obter um limite superior para o nosso problema O problema Dual

13 Generalizando temos: Max Z = 5x 1 + 2x 2 Sujeito a: x 1 3 x (y 1 ) y 1 x 1 3y 1 x 2 4 x (y 2 ) y 2 x 2 4y 2 x 1 + 2x 2 9 x (y 3 ) y 3 x 1 + 2y 3 x 2 9y 3 x 1 0 e x 2 0 Após multiplicarmos cada restrição por uma constante positiva, somamos as restrições: O problema Dual

14 y 1 x 1 +y 2 x 2 + y 3 x 1 + 2y 3 x 2 3y 1 +4y 2 + 9y 3 (y 1 + y 3 )x 1 +(y 2 + 2y 3 )x 2 3y 1 +4y 2 + 9y 3 Como devemos garantir que os coeficientes da restrição acima são maiores que o coeficientes da função objetivo, então temos: Z = 5x 1 + 2x 2 Logo: y 1 + y 3 5 y 2 + 2y 3 2

15 O problema Dual Portanto, se encontrarmos um conjunto de valores {y1, y2, y3} (constantes não negativos) que satisfaçam o conjunto de inequações acima, poderíamos substituir estes valores no lado esquerdo da inequação e estabelecer um limite superior para o nosso problema. O que desejamos na realidade é estabelecer o menor valor possível para o nosso limite superior. Isto matematicamente pode ser representado por:

16 O problema Dual Min 3y 1 +4y 2 + 9y 3 S.a: y 1 + y 3 5 y 2 + 2y 3 2 y 1, y 2, y 3 0

17 O problema Dual De modo geral, podemos dizer que a todo problema de maximização de programação linear na forma padrão corresponde um problema de minimização denominado Problema Dual PRIMALDUAL Max Z = 5x1 + 2x2 Sujeito a: x1 3 x2 4 x1 + 2x2 9 x1 0 e x2 0 Min 3y1 +4y2 + 9y3 S.a: y1 + y3 5 y2 + 2y3 2 y1, y2, y3 0

18 O problema Dual De uma forma geral: PrimalDual Max Min

19 Existe uma série de relações entre o Primal e o Dual, entre as quais podemos citar: Os termos constantes da restrições do Dual são os coeficientes das variáveis da função objetivo do Primal; Os coeficientes das variáveis da função objetivo do Dual são os termos constantes das restrições do Primal; As restrições do Dual são do tipo maior ou igual, ao passo que as do Primal são do tipo menor ou igual (na forma padrão); O número de variáveis do Dual é igual ao número de restrições do Primal; O número de restrições do Dual é igual ao número de variáveis do Primal A matriz dos coeficientes do Dual é a transposta da matriz dos coeficientes do Primal O problema Dual

20 Existem algumas razões parra o estudo dos problemas duais. A primeira e mais importante são as interpretações econômicas que podemos obter dos valores das varáveis do Dual na solução ótima, tais como variações marginais. A segunda está ligada ao número de restrições. Computacionalmente falando é, algumas vezes, mais eficiente resolver o problema Dual.

21 O problema Dual Teorema I O dual do dual é o primal. Teorema II Se a k-ésima restrição do primal é uma igualdade, então a k-ésima variável do dual (y k ) é sem restrição de sinal, isto é, pode ter valor positivo, zero ou negativo. Teorema III Se a p-ésima variável do primal é sem restrição de sinal, então a p-ésima restrição do dual é uma igualdade.

22 O problema Dual Propriedade Fraca da Dualidade Se o problema Primal e o Dual tiverem soluções compatíveis finitas, então Z D para qualquer solução compatível do Primal e qualquer solução compatível do Dual. Matematicamente

23 O problema Dual Propriedade Forte da Dualidade Se tanto o Primal quanto o Dual tiverem soluções compatíveis finitas, então existe uma solução ótima finita para cada um dos problemas, tal que Z* = D* Matematicamente

24 O problema Dual Dual Primal Tem Soluções ViáveisSem Soluções Viáveis ÓtimaIlimitadaInviável Tem Soluções Viáveis ÓtimaPossívelImpossível IlimitadaImpossível Possível Sem Soluções Viáveis InviávelImpossívelPossível Teorema da Dualidade

25 Exercício Dado o problema abaixo, ache o seu dual e resolva o dual através do método tablau- simplex (use o método da função objetivo artificial). Max Z = 5x1 + 6x2 sa: x 1 + 2x 2 14 x 1 + x 2 9 7x 1 + 4x 2 56 x 1 e x 2 0

26 Referências LACHTERMACHER, G. Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões: modelagem em Excel. São Paulo: Campus, 2006.


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