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1. Teorema de Jacobi Adicionando-se a uma fila de uma matriz A, de ordem n, uma outra fila paralela, previamente multiplicada por uma constante, obteremos.

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2 1. Teorema de Jacobi Adicionando-se a uma fila de uma matriz A, de ordem n, uma outra fila paralela, previamente multiplicada por uma constante, obteremos uma nova matriz M´, tal que: det M´ = det M Ex.: -3 provocando o surgimento de ZEROS no meio da expressão Resumindo: o que estamos dizendo é que é possível facilitar o cálculo de um determinante, provocando o surgimento de ZEROS no meio da expressão por meio da utilização do Teorema de Jacobi.

3 Exemplo: Explicando melhor: o valor do determinante não muda Mesmo com essas transformações o valor do determinante não muda, porém com o surgimento dos zeros o processo do cálculo se torna mais simples, conforme veremos mais adiante.

4 2. O Teorema de Laplace: Menor Complementar menor complementar (ij) retirando-seChama-se menor complementar (ij) de uma matriz A o determinante da matriz que se obtém de A retirando-se a linha i e a coluna j. Representa-se por D ij. Exemplo: Sendo dada a matriz A, calcule D 11, D 21, D 22.

5 3. O Teorema de Laplace: Cofator cofator A ij de um elemento a ijO cofator A ij de um elemento a ij de uma matriz quadrada, é o número que se obtém ao multiplicar a potência (– 1) i+j pelo menor complementar de a ij. Exemplo: Sendo calcule A 11, A 21, A 22.

6 Exemplo: Sendo dada a matriz A, calcule: D 12, A 12, D 31 e A 31.

7 Para cada linha k: Para cada coluna j: Observações: O Teorema de Laplace permite o cálculo do determinante de uma matriz de ordem n através do cálculo de determinantes de ordem n - 1; Deve-se escolher a linha ou coluna com mais zeros; 4. Teorema de Laplace Cofatores. O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma algébrica dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) pelos respectivos Cofatores.

8 Usar primeiro operações elementares sobre linhas para obter uma coluna com mais zeros e só depois o Teorema de Laplace sobre essa coluna.

9 Exemplo: Calcule o determinante abaixo. Sugestão: use o teorema de Jacobi para simplificar o cálculo do determimante.

10 Entendendo melhor a aplicação do Teorema de Jacobi:

11 5. Regra de Chió A regra de Chió é uma técnica utilizada no cálculo do determinantes de ordem n 2. Dada uma matriz A de ordem n, ao aplicarmos essa regra obteremos uma outra matriz A´ de ordem n – 1, cujo determinante é igual ao de A. 1. Desde que a matriz tenha um elemento igual a 1 (um), eliminamos a linha e a coluna deste elemento. 2. Subtraímos de cada elemento restante o produto dos dois elementos eliminados, que pertenciam à sua linha e à sua coluna. 3. Multiplicamos o determinante obtido por (-1) i + j, em que i e j representam a linha e a coluna retiradas. Ex.: -17 Obs: no caso da linha 1 e da coluna 1, não é necessário multiplicar o determinante por (-1) i + j, pois (-1) vai resultar em 1, que é o elemento neutro da multiplicação.

12 Exemplo: Calcular, usando a regra de Chió, o determinante abaixo: = = - 10

13 Exemplo: Calcular o Determinante abaixo, usando a Regra de Chió = ( ) = (- 10) = -10 Observe primeiro que o número 1 ocupa a 1ª linha e 3ª coluna, mas como a soma i + j - = = 4 é par, teremos (-1) i + j positivo.

14 Exemplo: Se o determinante não tiver nenhum elemento unitário podemos dividir uma das filas (linha ou coluna) para obtermos um elemento unitário, mas devemos multiplicar o determinante obtido por este valor para não haver alteração do resultado = 3. (-10) = -30

15 6. Matriz de Vandermonde matriz de Vandermonde, ou das potências os elementos de cada coluna formam uma progressão geométrica de primeiro termo igual a 1 Chamamos matriz de Vandermonde, ou das potências, toda matriz de ordem n 2, em que suas colunas são potências de mesma base, com expoente inteiro, variando de 0 à n – 1 (os elementos de cada coluna formam uma progressão geométrica de primeiro termo igual a 1). Obs.: Os elementos da 2ª linha são chamados elementos característicos da matriz. O determinante da matriz de Vandermonde é igual ao produto de todas as diferenças possíveis entre os elementos característicos e seus antecessores. Ex.: (3 – 2)(5 – 2)(5 – 3)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 5)

16 7.O cálculo da Matriz Inversa Usando Determinantes MATRIZ ADJUNTA (Adj A) matriz adjunta Chama-se matriz adjunta de uma matriz quadrada A à matriz que se obtem transpondo a matriz dos cofatores MATRIZ DOS COFATORES (Cof A) matriz dos cofatores Chama-se matriz dos cofatores de uma matriz quadrada A à matriz que se obtem substituindo em A cada elemento pelo seu Cofator.

17 7.3 - CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA (A -1 ) matriz dos cofatores matriz adjunta Agora que já encontramos a matriz dos cofatores e sua transposta, a matriz adjunta, para determinar a matriz inversa de A basta multiplicar o inverso do determinante de A por essa matriz adjunta: Exemplo: Calcular a matriz inversa da matriz Solução: Primeiro vamos calcular o cofator de cada um dos elementos da matriz A:

18 Agora vamos escrever a matriz dos cofatores: Agora vamos escrever a matriz adjunta: Agora vamos calcular o determinante de A: E por fim:

19 OBSERVAÇÕES: REGULARNÃO-SINGULAR 1) Uma matriz quadrada A diz-se REGULAR ou NÃO-SINGULAR se det A 0. INVERTÍVEL 2) Uma matriz quadrada somente é INVERTÍVEL se for regular. ORTOGONAL 3) Uma matriz quadrada invertível diz-se ORTOGONAL somente se sua transposta dor igual à sua inversa.


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