INVERSÃO DE MATRIZES.

Apresentação em tema: "INVERSÃO DE MATRIZES."— Transcrição da apresentação:

1 INVERSÃO DE MATRIZES

2 DEFINIÇÃO Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A inversa da matriz A
é indicada por A-1 tem ordem n, obedece a relação: A-1 . A = A . A-1 = In onde In é a matriz identidade de ordem n.

3 INVERSA DE UMA MATRIZ DE ORDEM 2 X 2
a b c d A-1 = x y z w a b c d x y z w . = Por definição: Tem-se: ax + bz = 1 cx + dz = 0 acx - bcz = - c acx + adz = 0 (ad – bc)z = - c z = -c/(ad – bc) adx + bdz = d -bcx - bdz = 0 (ad – bc)x = d x = d/(ad – bc) Por processo semelhante se calcula: y = -b/(ad – bc) w = a/(ad – bc) ad – bc = det(A) é o determinante da matriz A. Deste modo: A-1 = 1 det(A) d b -c a A-1 = d/det(A) b/det(A) -c/det(A) a/det(A ou

4 Em resumo: -c -b Troca o sinal Se A = a b c d d a Troca de posição então 1 det(A) A-1 =

5 Lembre-se que: 1 – o complemento algébrico do elemento aij é o elemento denotado por aij que se obtém por: aij = (-1)i+j.(determinante da matriz obtida ao cortar a linha i e a coluna j da matriz A) 2 – somando os produtos dos elementos de uma fila da matriz A pelos complementos algébricos dessa mesma fila obtém o determinante da matriz A. 3 – somando os produtos dos elementos de uma fila da matriz A pelos complementos algébricos de uma fila paralela da mesma matriz o resultado é zero.

6 MATRIZ ADJUNTA A matriz adjunta, indicada por A de uma matriz A é formada pelos complementos algébricos dos elementos da matriz A. Se A = a a a a a a a a a então A = a a a a a a a a a

7 A TRANSPOSTA DA MATRIZ ADJUNTA
Sendo A = a a a a a a a a a ( A ) = T a a a a a a a a a

8 O produto A. ( A ) será uma matriz C, tal que:
Se i = j, cij = aik.aik = det(A). K = 1 n pois é a soma dos produtos dos elementos de uma fila da matriz A pelos complementos algébricos de igual fila. Se i  j, cij = aik.aik = 0 K = 1 n pois é a soma dos produtos dos elementos de uma fila da matriz A pelos complementos algébricos de fila paralela. Det(A). det(A) det(A) det(A) ... = Portanto, C =

9 A INVERSA DE UMA MATRIZ Como foi visto: A.( A ) = det(A).I ou ( A )
Concluindo: ( A ) T det(A) 1 é a inversa da matriz A.

10 INVERSA EXEMPLO: Calcular a inversa da matriz A = 1 7 4 9 6 6 2
Matriz adjunta A = a11 = (-1)1+1.det = 1.(8 – 54) = - 46. 9 6 2 a12 = (-1)1+2.det = (-1).(4 – 54) = 50. 2 9 6 2 Determinante da matriz A Det(A) = 3.(-46) (-12) = -172 a13 = 1. (12 – 24) = -12 a21 = (-1). (2 – 42) = 40 a22 = (1). (6 – 42) = - 36 a23 = (-1). (18 – 6) = -12 a31 = (1). (9 – 36) = - 27 a32 = (-1). (6 – 42) = 36 a33 = (1). (12 – 2) = - 27 Primeira linha de A e primeira linha de A. Transposta da adjunta A = T ( ) INVERSA A-1 = -1 172