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DEFINIÇÃO Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A inversa da matriz A tem ordem n, é indicada por A -1 obedece a relação: A -1. A = A. A -1 = I n onde.

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2 DEFINIÇÃO Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A inversa da matriz A tem ordem n, é indicada por A -1 obedece a relação: A -1. A = A. A -1 = I n onde I n é a matriz identidade de ordem n.

3 A = a b c d A -1 = x y z w Por definição: a b c d x y z w. = Tem-se: (ad – bc)z = - c z = -c/(ad – bc) (ad – bc)x = d x = d/(ad – bc) ax + bz = 1 cx + dz = 0 -acx - bcz = - c acx + adz = 0 INVERSA DE UMA MATRIZ DE ORDEM 2 X 2 Por processo semelhante se calcula: y = -b/(ad – bc)w = a/(ad – bc) ad – bc = det(A) é o determinante da matriz A. Deste modo: A -1 = d/det(A) -b/det(A) -c/det(A) a/det(A ou adx + bdz = d -bcx - bdz = 0 A -1 = 1 det(A) d -b -c a

4 Em resumo: Se então A -1 = 1 det(A) A = a b c d d a Troca de posição -c -b Troca o sinal

5 Lembre-se que: 1 – o complemento algébrico do elemento a ij é o elemento denotado por a i j que se obtém por: a i j = (-1) i+j.(determinante da matriz obtida ao cortar a linha i e a coluna j da matriz A) 2 – somando os produtos dos elementos de uma fila da matriz A pelos complementos algébricos dessa mesma fila obtém o determinante da matriz A. 3 – somando os produtos dos elementos de uma fila da matriz A pelos complementos algébricos de uma fila paralela da mesma matriz o resultado é zero.

6 MATRIZ ADJUNTA Se A = a 11 a 12 a a 21 a 22 a a 31 a 32 a A matriz adjunta, indicada por A de uma matriz A é formada pelos complementos algébricos dos elementos da matriz A. então A = a 1 1 a 1 2 a a 2 1 a 2 2 a a 3 1 a 3 2 a

7 A TRANSPOSTA DA MATRIZ ADJUNTA Sendo A = a 1 1 a 1 2 a a 2 1 a 2 2 a a 3 1 a 3 2 a ( A ) = T a 1 1 a 2 1 a a 1 2 a 2 2 a a 1 3 a 2 3 a

8 O produto A. ( A ) será uma matriz C, tal que: T Se i = j, c ij = a ik.a i k = det(A). K = 1 n pois é a soma dos produtos dos elementos de uma fila da matriz A pelos complementos algébricos de igual fila. Se i j, c ij = a ik.a i k = 0 K = 1 n pois é a soma dos produtos dos elementos de uma fila da matriz A pelos complementos algébricos de fila paralela. Portanto, C = det(A) det(A) det(A) = Det(A)

9 A INVERSA DE UMA MATRIZ Como foi visto: A.( A ) T = det(A).I A. = I. ( A ) T det(A) ou Concluindo: ( A ) T det(A) 1 é a inversa da matriz A.

10 EXEMPLO: Calcular a inversa da matriz A = a 1 1 = (-1) 1+1.det = 1.(8 – 54) = a 1 2 = (-1) 1+2.det = (-1).(4 – 54) = a 1 3 = 1. (12 – 24) = -12 a 2 1 = (-1). (2 – 42) = 40 a 2 2 = (1). (6 – 42) = - 36 a 2 3 = (-1). (18 – 6) = -12 a 3 1 = (1). (9 – 36) = - 27 a 3 2 = (-1). (6 – 42) = 36 a 3 3 = (1). (12 – 2) = - 27 Matriz adjunta A = Determinante da matriz A Det(A) = 3.(-46) (-12) = -172 Primeira linha de A e primeira linha de A. Transposta da adjunta A = T ( ) INVERSA A -1 = 172


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