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1 Análise de regressão linear simples: abordagem matricial Álgebra de matrizes é amplamente utilizada na estatística. É praticamente uma necessidade na.

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1 1 Análise de regressão linear simples: abordagem matricial Álgebra de matrizes é amplamente utilizada na estatística. É praticamente uma necessidade na regressão linear múltipla, pois permite que grandes sistemas de equações e conjunto de dados sejam representados de forma compacta e operacional. Matrizes Matriz: um conjunto de elementos arranjados em linhas e colunas. Exemplo: Linha 1 Linha 2 Linha 3 Coluna 1Coluna 2 (Dimensão: 3 x 2) Linhas Colunas A = (3 x 2) i=1,2,3 (linhas) j=1,2 (colunas) Representada por letras em negrito, p.e., A, B, C,,,,, etc.

2 2 Matriz quadrada: Vetor: Vetor linha ou transposto: Matriz transposta (A ): Número de linhas = número de colunas. Contém apenas uma coluna. Também são representados por letras minúsculas em negrito.

3 3 Aplicação na regressão linear simples: O vetor y consiste de n observações da variável resposta: Matriz X de delineamento: O vetor dos parâmetros:

4 4 Exemplo : X = tamanho do registro Y = tempo para criptografar YX Resultados de n = 8 ensaios experimentais:

5 5

6 6 Exercício: em um experimento foi estudado a porcentagem de acertos na cache (Y) em função do tamanho da cache (X), em kbytes, para um determinado tipo de pré-carregamento. Alguns resultados deste experimento foram: Tamanho da cache: Acertos (%) : 44,45 46,99 50,66 53,21 Dar o vetor de dados (y), vetor de dados transposto (y ), a matriz de delineamento (X), matriz do delineamento transposta (X ) e o vetor de parâmetros ( ).

7 7 Adição e subtração de matrizes: Aplicação na regressão: Temos o modelo de regressão, para a i-ésima observação: onde E(y i ) corresponde ao valor médio de y i. Este modelo pode ser escrito em forma matricial. Matrizes de mesma dimensão

8 8 Vamos definir os vetores de respostas médias e de resíduos: Assim, o modelo de regressão escrito na forma matricial, fica: Exercício: estruturar o vetor de erros ( ) para o experimento sobre acertos e tamanho de cache.

9 9 Multiplicação de matrizes: Por escalar : Multiplicação de matriz por matriz: Nota: geralmente AB BA. Para poder realizar a multiplicação, o número de colunas da matriz A dever ser igual ao número de linhas da matriz B. Exercício: faça a multiplicação das matrizes:

10 10 Aplicação na regressão:

11 11 Exercício: Para o experimento sobre acertos e tamanho de cache, realizar o produto de vetores: yy. Exemplo: tempo para criptografar e tamanho do registro

12 12 Importante:

13 13 Exemplo: tempo para criptografar e tamanho do registro Exercício: Para o experimento sobre acertos e tamanho de cache, realizar o produto de matrizes: XX.

14 14 Importante:

15 15 Exercício: Para o experimento sobre acertos e tamanho de cache, realizar o produto Xy. Exemplo: tempo para criptografar e tamanho do registro

16 16 Importante:

17 17 Exercício: Para o experimento sobre acertos e tamanho de cache, realizar o produto X. Exemplo: tempo para criptografar e tamanho do registro

18 18 Portanto, o modelo de regressão na forma matricial fica:

19 19 Exercício: Para o experimento sobre acertos e tamanho de cache, obtenha o modelo de regressão linear simples através das operações y = X +.

20 20 Inversa de uma matriz Suponha a equação a.x = b, em que a, b e x são números reais e queremos resolver esta equação em x. Vemos diretamente que x = b/a é a solução para a 0. As etapas para se chegar a esta solução foram: Para duas ou mais equações temos a seguinte representação em termos matriciais: Ax = b O que precisamos fazer para resolver estas equações em x? Precisamos encontrar uma matriz representada por A -1, chamada inversa de A, equivalente a 1/a, tal que A -1 A=I, sendo I uma matriz cujos elementos na diagonal são todos iguais a 1 e fora iguais a zero, ou seja:

21 21 Exemplo Se temos um sistema de equações: Assumindo que A tem inversa, podemos pré-multiplicar ambos os lados da igualdade por A -1 : Como A -1 Ax = Ix = x, obtemos a solução:

22 22 A solução do sistema de equações é dada por: Exemplo: suponha o seguinte sistema de equações: Escrevendo na forma matricial temos: Observação: a inversa da matriz foi calculada com o auxílio do Excel.

23 23 Aplicação na regressão Na análise de regressão, a principal inversa é a de (X X), representada por (XX) -1: Exemplo: Para o experimento sobre tempo para criptografar e tamanho do registro, a inversa da matriz (X X) com o auxílio de uma planilha eletrônica.

24 24 Exemplo: Para o experimento sobre acertos e tamanho de cache, a inversa da matriz (X X) com o auxílio de uma planilha eletrônica.

25 25 Análise de regressão linear simples através de matrizes O modelo de regressão linear simples, na forma matricial é dado por: Para obtermos as estimativas dos coeficientes de regressão (b) devemos resolver as equações normais: Como (XX) -1 ( XX)=I e Ib=b, temos:

26 26 Exercício: Usando a abordagem matricial obter os coeficientes de regressão para o exemplo de uma pesquisadora que está estudando a porcentagem de acertos com o tamanho da cache. Exemplo: Usando a abordagem matricial obter os coeficientes de regressão para o exemplo de um pesquisador que está estudando o tempo para criptografar e o tamanho do registro.

27 27 Valores estimados e resíduos Valores estimados Em termos matriciais, os valores estimados ou preditos são obtidos por:

28 28 Exercício: Estimar (predizer) os valores de porcentagem de acertos na cache de acordo com o modelo de regressão linear simples. Exemplo: Estimar (predizer) os valores de tempo para criptografar de acordo com o modelo de regressão linear simples.

29 29 Resíduos Os resíduos, em termos matriciais, são dados por: Exemplo: Obter os valores dos resíduos ou erros do tempo para criptografar de acordo com o modelo de regressão linear simples.

30 30 Exercício: para o exemplo de porcentagem de acerto na cache e o tamanho, obter o vetor de valores dos resíduos:

31 31 Calcular SQE (Soma de quadrados dos erros) e QME (Quadrado médio dos erros). Exemplo: X = tamanho do registro Y = tempo para criptografar Resultados de n = 8 ensaios experimentais: YX

32 32 Exercício: Para os dados de porcentagem de acertos na cache e tamanho calcular SQE (Soma de quadrados dos erros) e QME (Quadrado médio dos erros). QME = ,9/(8-2) = ,7

33 33 Análise de variância Soma de quadrados O termo da correção é dada por: A soma de quadrados total é dada por: A soma de quadrados do erro (resíduo) é dada por: A soma de quadrados da regressão é dada por:

34 34 Exercício: para os dados de porcentagem de acertos na cache e o tamanho da cache, obter as somas de quadrados da ANOVA. Correção: Soma de quadrados total: Soma de quadrados da regressão: Soma de quadrados do erro: Fazer a tabela da ANOVA com a razão F *. Fazer o teste de significância do modelo.

35 35 Inferência na análise de regressão Vamos tratar aqui das expressões para o cálculo do intervalo de confiança para uma resposta média e do intervalo de predição para uma nova observação. Resposta média Para estimar a resposta média em X h, vamos definir o vetor: Vimos que os valores estimados, na forma matricial, são dados por:

36 36 Exemplo Para o exemplo do tempo para criptografar, deseja-se determinar a estimativa da resposta média quando X h = 512. Tem-se:

37 37 Exercício: para o exemplo das porcentagens de acerto na cache, deseja-se determinar a estimativa da resposta média quando X h = 300. Tem-se:

38 38 A estimativa da variância de uma resposta média é obtida por: Exemplo: para o exemplo do tempo para criptografar, determinar a estimativa da variância da média de uma observação estimada quando X h =512. Temos: Exemplo: para o exemplo do tempo para criptografar, determinar a estimativa do desvio padrão da média de uma observação estimada quando X h =512. Temos: Exemplo: construir o intervalo de confiança, com 95%, para a resposta média quando X h =512.

39 39 Exercício: para o exemplo das porcentagens de acerto na cache, determinar a estimativa da variância da média de uma observação estimada quando X h =300. Temos: Exercício: para o exemplo das porcentagens de acerto na cache, determinar a estimativa do desvio padrão da média de uma observação estimada quando X h =300. Temos: Exercício: construir o intervalo de confiança, com 95%, para a resposta média quando X h =300.

40 40 Predição de uma observação Para predizer a resposta em X h, vamos definir o vetor: Vimos que os valores preditos, na forma matricial, são dados por: Exercício: para o exemplo das porcentagens de acerto na cache, predizer a porcentagem de acertos quando X h =300. Temos:

41 41 A variância de uma predição é dada por: Exercício: para o exemplo das porcentagens de acerto na cache, desejamos determinar a estimativa da variância da predição de uma observação quando X h =300. Temos: Exercício: para o exemplo das porcentagens de acerto na cache, desejamos determinar a estimativa do desvio padrão da predição de uma observação quando X h =300. Temos: Exercício: construir o intervalo de predição, com 95%, para um valor da resposta quando X h =300.

42 42 Exercício: continuação do exercício do tempo para criptografar e o tamanho da palavra. Predição. Determinar a estimativa da variância e o desvio padrão da predição de uma observação quando X h = 512. Seja QME = ,7. Intervalo de predição. Construir o intervalo de predição, com 95% de confiança, para um valor da resposta quando X h = 512.


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