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Álgebra Linear e Geometria Analítica 6ª aula. DETERMINANTES.

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Apresentação em tema: "Álgebra Linear e Geometria Analítica 6ª aula. DETERMINANTES."— Transcrição da apresentação:

1 Álgebra Linear e Geometria Analítica 6ª aula

2 DETERMINANTES

3 Permutações Uma permutação = ( p 1, p 2, p 3, …, p n ) dos elementos do conjunto {1, 2, 3, …, n} é um arranjo dos n números em alguma ordem sem repetições ou omissões

4 EXEMPLO: = ( 6, 1, 4, 5, 3, 2) é uma permutação dos elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}

5 EXEMPLO: = ( 1, 2, 3, 4, 5, 6) é a permutação identidade dos elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}

6 Paridade de uma permutação Número de trocas de dois elementos que é necessário efectuar para voltar a pôr os números por ordem. Permutação par número de trocas par Permutação ímpar número de trocas ímpar

7 Como determinar a paridade rapidamente? Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele.

8 Como determinar a paridade rapidamente? Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele. Exemplo: = (4, 1, 3, 2)

9 Como determinar a paridade rapidamente? Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele. Exemplo: = (4, 1, 3, 2) 4: 1, 3, 2 3 1: 0 3: 2 1 2: 0

10 Como determinar a paridade rapidamente? Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele. Exemplo: = (4, 1, 3, 2) 4: 1, 3, 2 3 1: 0 3: 2 1 2: 0 ( ) = 4

11 Como determinar a paridade rapidamente? Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele. Exemplo: = (4, 1, 3, 2) 4: 1, 3, 2 3 1: 0 3: 2 1 2: 0 ( ) = 4 é par

12 Sinal de uma permutação

13 Exemplos: = (6, 5, 3, 1, 2, 4) paridade: = 11 sgn( ) = -1 = (1, 3, 2, 4, 6, 5) paridade = = 2 sgn( ) = +1

14 Produtos elementares: A é uma matriz quadrada n n Chama-se produto elementar da matriz A a um produto de n entradas da matriz A que contenha uma entrada de cada linha e de cada coluna de A. a 1p 1 a 2p 2 a 3p 3 … a np n

15 Exemplos: = (6, 5, 3, 1, 2, 4) Produto elementar correspondente: a 16 a 25 a 33 a 41 a 52 a 64 = (1, 3, 2, 4, 6, 5) Produto elementar correspondente: a 11 a 23 a 32 a 44 a 56 a 65

16 Produtos elementares assinalados: A é uma matriz quadrada n n Chama-se produto elementar assinalado da matriz A a um produto elementar com o sinal da permutação correspondente: sign( ) a 1p 1 a 2p 2 a 3p 3 … a np n Com = (p 1, p 2, …, p n )

17 Exemplos: = (6, 5, 3, 1, 2, 4) Produto elementar assinalado correspondente: - a 16 a 25 a 33 a 41 a 52 a 64 = (1, 3, 2, 4, 6, 5) Produto elementar assinalado correspondente: + a 11 a 23 a 32 a 44 a 56 a 65

18 Determinante de uma matriz: Determinante da matriz A é a soma de todos os produto elementares assinalados de A. Representa-se por det(A) ou por |A|

19 Matrizes 2 2 Produto elementar Permutação associada ParidadeProduto elementar assinalado a 11 a 22 (1, 2)par a 11 a 22 a 12 a 21 (2, 1)ímpar - a 12 a 21

20 Matrizes 2 2 Produto elementar Permutação associada ParidadeProduto elementar assinalado a 11 a 22 (1, 2)par a 11 a 22 a 12 a 21 (2, 1)ímpar - a 12 a 21 det(A) = a 11 a 22 - a 12 a 21

21 Matrizes 3 3 Produto elementarPermutação associada ParidadeProduto elementar assinalado a 11 a 22 a 33 (1, 2, 3)par + a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 (2, 3, 1)par + a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32 (3, 1, 2)par + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 (3, 2, 1)ímpar - a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 (2, 1, 3)ímpar - a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 (1, 3, 2)ímpar - a 11 a 23 a 32

22 Matrizes 3 3 Produto elementarPermutação associada ParidadeProduto elementar assinalado a 11 a 22 a 33 (1, 2, 3)par + a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 (2, 3, 1)par + a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32 (3, 1, 2)par + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 (3, 2, 1)ímpar - a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 (2, 1, 3)ímpar - a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 (1, 3, 2)ímpar - a 11 a 23 a 32 det(A) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 – – a 13 a 22 a 31 – a 12 a 21 a 33 – a 11 a 23 a 32

23 Determinantes de matrizes especiais Se A é diagonal: det(A) = a 11 a 22 … a nn

24 Determinantes de matrizes especiais Se A é diagonal: det(A) = a 11 a 22 … a nn Em particular: det(I) = 1 det(O) = 0

25 Determinantes de matrizes especiais Se A é diagonal: det(A) = a 11 a 22 … a nn Em particular: det(I) = 1 det(O) = 0 Se A é escalar e o elemento da diagonal é k então: det(A) = k n

26 Determinantes de matrizes especiais Se A é triangular (superior ou inferior): det(A) = a 11 a 22 … a nn

27 Propriedades dos determinantes: 1.det(A) = det(A T ) 2.Se A tem uma linha (ou coluna) nula então det(A) = 0 3.Se A é obtida de A trocando 2 linhas (ou colunas) então det(A) = - det(A) 4.Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais então det(A) = 0

28 Propriedades dos determinantes: 5.Se A é obtida de A multiplicando uma linha (ou coluna) de A por então det(A) = det(A) 6.Se A tem uma linha (ou coluna) múltipla doutra então det(A) = 0 7.det( A) = n det(A)

29 Propriedades dos determinantes: 8.Se L 1, …, L i, …, L n são as linhas de A e L i = L i + L i então det(A) = det + det

30 Propriedades dos determinantes: 9.A mesma propriedade para as colunas 10.det(AB) = det(A) det(B) 11.A é invertível se e só se det(A) 0 (e se e só se car(A) = n) 12.Se A é invertível então det(A -1 )=

31 Efeitos das operações elementares no determinante: Operações tipo I Trocando duas linhas o determinante muda o sinal EXEMPLO

32 Efeitos das operações elementares no determinante: Operações tipo II Multiplicar uma linha por um escalar não nulo EXEMPLO

33 Efeitos das operações elementares no determinante: Operações tipo III Adicionar a uma linha outra multiplicada por um escalar EXEMPLO

34 Cálculo do determinante por condensação da matriz:

35 Cálculo do determinante pelo teorema de Laplace: Chama-se Menor (i,j) da matriz A ao determinante da matriz que se obtém de A retirando a linha i e a coluna j. Representa-se por A ij Chama-se Complemento Algébrico de a ij ao número (-1) i+j A ij e representa-se por

36 EXEMPLO

37 Teorema de Laplace Para cada linha k: Para cada coluna j:

38 Observações O Teorema de Laplace determina o determinante de uma matriz de ordem n através do cálculo de determinantes de ordem n-1; Deve-se escolher a linha ou coluna com mais zeros; Usar primeiro operações elementares sobre linhas para obter uma coluna com mais zeros e só depois o Teorema de Laplace sobre essa coluna.

39 EXEMPLO:

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46 Inversa de uma matriz usando determinantes Matriz dos co-factores ou dos complementos algébricos: Matriz adjunta da matriz A: Matriz inversa de A:

47 EXEMPLO:

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51 Regra prática para determinantes 3 3

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