Álgebra Linear e Geometria Analítica

Apresentação em tema: "Álgebra Linear e Geometria Analítica"— Transcrição da apresentação:

1 Álgebra Linear e Geometria Analítica
6ª aula

2 DETERMINANTES

3 Permutações Uma permutação = ( p1, p2, p3, … , pn)
dos elementos do conjunto {1, 2, 3, … , n} é um arranjo dos n números em alguma ordem sem repetições ou omissões

4 EXEMPLO: = ( 6, 1, 4, 5, 3, 2) é uma permutação dos elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}

5 EXEMPLO: = ( 1, 2, 3, 4, 5, 6) é a permutação identidade
dos elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}

6 Paridade de uma permutação
Número de trocas de dois elementos que é necessário efectuar para voltar a pôr os números por ordem. Permutação par  número de trocas par Permutação ímpar  número de trocas ímpar

7 Como determinar a paridade rapidamente?
Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele.

8 Como determinar a paridade rapidamente?
Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele. Exemplo:  = (4, 1, 3, 2)

9 Como determinar a paridade rapidamente?
Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele. Exemplo:  = (4, 1, 3, 2) 4: 1, 3, 2  3 1:  0 3:  1 2:  0

10 Como determinar a paridade rapidamente?
Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele. Exemplo:  = (4, 1, 3, 2) 4: 1, 3, 2  3 1:  0 3:  1 2:  ( ) = 4

11 Como determinar a paridade rapidamente?
Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele. Exemplo:  = (4, 1, 3, 2) 4: 1, 3, 2  3 1:  0 3:  1 2:  ( ) = 4  é par

12 Sinal de uma permutação

13 Exemplos: = (6, 5, 3, 1, 2, 4) paridade: 5 + 4 + 2 + 0 + 0 + 0 = 11
sgn() = -1  = (1, 3, 2, 4, 6, 5) paridade = = 2 sgn() = +1

14 Produtos elementares:
A é uma matriz quadrada nn Chama-se produto elementar da matriz A a um produto de n entradas da matriz A que contenha uma entrada de cada linha e de cada coluna de A. a1p1  a2p2  a3p3  …  anpn

15 Exemplos: = (6, 5, 3, 1, 2, 4) Produto elementar correspondente:
a16  a25  a33  a41  a52  a64  = (1, 3, 2, 4, 6, 5) a11  a23  a32  a44  a56  a65

16 Produtos elementares assinalados:
A é uma matriz quadrada nn Chama-se produto elementar assinalado da matriz A a um produto elementar com o sinal da permutação correspondente: sign()a1p1  a2p2  a3p3  …  anpn Com  = (p1, p2, …, pn )

17 Exemplos: = (6, 5, 3, 1, 2, 4) Produto elementar assinalado correspondente: - a16  a25  a33  a41  a52  a64  = (1, 3, 2, 4, 6, 5) + a11  a23  a32  a44  a56  a65

18 Determinante de uma matriz:
Determinante da matriz A é a soma de todos os produto elementares assinalados de A. Representa-se por det(A) ou por |A|

19 Matrizes 22 a11a22 (1, 2) par a12a21 (2, 1) ímpar - a12a21 Produto
elementar Permutação associada Paridade Produto elementar assinalado a11a22 (1, 2) par a12a21 (2, 1) ímpar - a12a21

20 Matrizes 22 det(A) = a11a22 - a12a21 a11a22 (1, 2) par a12a21
Produto elementar Permutação associada Paridade Produto elementar assinalado a11a22 (1, 2) par a12a21 (2, 1) ímpar - a12a21 det(A) = a11a22 - a12a21

21 Matrizes 33 a11a22a33 (1, 2, 3) par + a11a22a33 a12a23a31
Produto elementar Permutação associada Paridade Produto elementar assinalado a11a22a33 (1, 2, 3) par + a11a22a33 a12a23a31 (2, 3, 1) + a12a23a31 a13a21a32 (3, 1, 2) + a13a21a32 a13a22a31 (3, 2, 1) ímpar - a13a22a31 a12a21a33 (2, 1, 3) - a12a21a33 a11a23a32 (1, 3, 2) - a11a23a32

22 Matrizes 33 det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 –
Produto elementar Permutação associada Paridade Produto elementar assinalado a11a22a33 (1, 2, 3) par + a11a22a33 a12a23a31 (2, 3, 1) + a12a23a31 a13a21a32 (3, 1, 2) + a13a21a32 a13a22a31 (3, 2, 1) ímpar - a13a22a31 a12a21a33 (2, 1, 3) - a12a21a33 a11a23a32 (1, 3, 2) - a11a23a32 det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – – a13a22a31 – a12a21a33 – a11a23a32

23 Determinantes de matrizes especiais
Se A é diagonal: det(A) = a11  a22  …  ann

24 Determinantes de matrizes especiais
Se A é diagonal: det(A) = a11  a22  …  ann Em particular: det(I) = 1 det(O) = 0

25 Determinantes de matrizes especiais
Se A é diagonal: det(A) = a11  a22  …  ann Em particular: det(I) = 1 det(O) = 0 Se A é escalar e o elemento da diagonal é k então: det(A) = kn

26 Determinantes de matrizes especiais
Se A é triangular (superior ou inferior): det(A) = a11  a22  …  ann

27 Propriedades dos determinantes:
det(A) = det(AT) Se A tem uma linha (ou coluna) nula então det(A) = 0 Se A’ é obtida de A trocando 2 linhas (ou colunas) então det(A’) = - det(A) Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais então det(A) = 0

28 Propriedades dos determinantes:
Se A’ é obtida de A multiplicando uma linha (ou coluna) de A por  então det(A’) =  det(A) Se A tem uma linha (ou coluna) múltipla doutra então det(A) = 0 det(A) = n det(A)

29 Propriedades dos determinantes:
Se L1, …, Li, …, Ln são as linhas de A e Li = L’i + L’’i então det(A) = det det

30 Propriedades dos determinantes:
A mesma propriedade para as colunas det(AB) = det(A) det(B) A é invertível se e só se det(A)  (e se e só se car(A) = n) Se A é invertível então det(A-1)=

31 Efeitos das operações elementares no determinante:
Operações tipo I Trocando duas linhas o determinante muda o sinal EXEMPLO

32 Efeitos das operações elementares no determinante:
Operações tipo II Multiplicar uma linha por um escalar não nulo EXEMPLO

33 Efeitos das operações elementares no determinante:
Operações tipo III Adicionar a uma linha outra multiplicada por um escalar EXEMPLO

34 Cálculo do determinante por condensação da matriz:

35 Cálculo do determinante pelo teorema de Laplace:
Chama-se Menor (i,j) da matriz A ao determinante da matriz que se obtém de A retirando a linha i e a coluna j. Representa-se por Aij Chama-se Complemento Algébrico de aij ao número (-1)i+j Aij e representa-se por

36 EXEMPLO

37 Teorema de Laplace Para cada linha k: Para cada coluna j:

38 Observações O Teorema de Laplace determina o determinante de uma matriz de ordem n através do cálculo de determinantes de ordem n-1; Deve-se escolher a linha ou coluna com mais zeros; Usar primeiro operações elementares sobre linhas para obter uma coluna com mais zeros e só depois o Teorema de Laplace sobre essa coluna.

39 EXEMPLO:

40 EXEMPLO:

41 EXEMPLO:

42 EXEMPLO:

43 EXEMPLO:

44 EXEMPLO:

45 EXEMPLO:

46 Inversa de uma matriz usando determinantes
Matriz dos co-factores ou dos complementos algébricos: Matriz adjunta da matriz A: Matriz inversa de A:

47 EXEMPLO:

48 EXEMPLO:

49 EXEMPLO:

50 EXEMPLO:

51 Regra prática para determinantes 33

52 Regra prática para determinantes 33

53 Regra prática para determinantes 33

54 Regra prática para determinantes 33