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Álgebra Linear e Geometria Analítica 8ª aula. Valores Próprios e Vectores Próprios.

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Apresentação em tema: "Álgebra Linear e Geometria Analítica 8ª aula. Valores Próprios e Vectores Próprios."— Transcrição da apresentação:

1 Álgebra Linear e Geometria Analítica 8ª aula

2 Valores Próprios e Vectores Próprios

3 Definição: Seja um número real e A uma matriz quadrada n n. Diz-se que é um valor próprio da matriz A se existir uma matriz coluna não nula X n 1 tal que A X = X À matriz coluna X chama-se vector próprio associado ao valor próprio.

4 Exemplo: 3 é valor próprio Um vector próprio associado é

5 Como determinar os valores próprios e os vectores próprios de uma matriz?

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7 Este sistema homogéneo tem que ser indeterminado pois queremos X 0

8 Definições: (A - I) – matriz característica de A det (A - I) – polinómio característico de A det (A - I) = 0 – equação característica de A

9 Como determinar os valores próprios e os vectores próprios de uma matriz? Este sistema homogéneo tem que ser indeterminado pois queremos X 0 então det (A - I) = 0

10 Como determinar os valores próprios e os vectores próprios de uma matriz? det (A - I) = 0 então Os valores próprios são as raízes do polinómio característico.

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16 Os valores próprios de são as raízes de é a única raiz deste polinómio: tem multiplicidade 2

17 Os valores próprios de são as raízes de é a única raiz deste polinómio: tem multiplicidade 2 Diz-se que é valor próprio com multiplicidade algébrica 2

18 Como encontrar o vector próprio associado?

19 Deve ser tal que – a + b = 0

20 O conjunto de todos os vectores próprios associados ao mesmo valor próprio é um subespaço vectorial que se designa por subespaço próprio associado a e se representa por E

21 No exemplo: Tem um valor próprio = 3 Os valores próprios associados têm que ser da forma com – a + b = 0

22 No exemplo:

23 Definição: Chama-se multiplicidade geométrica de um valor próprio à dimensão do subespaço próprio associado

24 Teorema: A multiplicidade algébrica de um valor próprio é maior ou igual à sua multiplicidade geométrica

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32 = 6 é valor próprio de A com multiplicidade algébrica 1 = -1 é valor próprio de A com multiplicidade algébrica 2

33 Determinação dos subespaços próprios:

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35 É uma base de 3

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37 Valores próprios e invertibilidade: Seja A uma matriz que tem o valor próprio = 0 então: det(A – 0 I) = 0 det(A) = 0 Conclusão: a matriz não é invertível.

38 Valores próprios e invertibilidade: Seja A uma matriz que tem o valor próprio = 0 então: det(A – 0 I) = 0 det(A) = 0 Conclusão: a matriz não é invertível. TEOREMA: Uma matriz é invertível se e só se não tem o valor próprio 0.

39 Diagonalização de matrizes Definição: Uma matriz A diz-se semelhante a uma matriz B se existir uma matriz invertível P tal que B = P -1 A P. Se A é semelhante a B então B é semelhante a A. PBP -1 = PP -1 A PP -1 PBP -1 = A Definição: Uma matriz A diz-se diagonalizável se for semelhante a uma matriz diagonal, isto é se houver uma matriz diagonal D e uma matriz invertível P tais que: D = P -1 A P

40 Teorema: Duas matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios

41 det(B - I) = det(P -1 A P - I)

42 Teorema: Duas matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios det(B - I) = det(P -1 A P - I) = det(P -1 A P - P -1 P ) =

43 Teorema: Duas matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios det(B - I) = det(P -1 A P - I) = det(P -1 A P - P -1 I P ) = det(P -1 (A - I ) P ) =

44 Teorema: Duas matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios det(B - I) = det(P -1 A P - I) = det(P -1 A P - P -1 P ) = det(P -1 (A - I) P ) = det(P -1 ) det (A - I) det(P)

45 Teorema: Duas matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios det(B - I) = det(P -1 A P - I) = det(P -1 A P - P -1 P ) = det(P -1 (A - I) P ) = det(P -1 ) det (A - I) det(P) = det(P -1 ) det(P) det (A - I)

46 Teorema: Duas matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios det(B - I) = det(P -1 A P - I) = det(P -1 A P - P -1 P ) = det(P -1 (A - I) P ) = det(P -1 ) det (A - I) det(P) = det(P -1 ) det(P) det (A - I) = det (A - I)

47 Teorema: A matriz A -1 tem os valores próprios inversos dos valores próprios de A Seja valor próprio de A. Então: A X = X A -1 A X = A -1 X X = A -1 X Se A é invertível todos os valores próprios são diferentes de 0 X = A -1 X

48 Valores próprios de uma matriz diagonal: Os valores próprios de uma matriz diagonal são os elementos da diagonal. EXEMPLO:

49 Teorema: Uma matriz quadrada de ordem n é semelhante a uma matriz diagonal se e só se existir uma matriz invertível P cujas colunas são vectores próprios da matriz D = P -1 A P PD = AP AP = [ AP 1 AP 2... AP n ] AP 1 = 1 P 1 AP 2 = 2 P 2... AP n = n P n

50 Teorema: Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, existe uma matriz invertível cujas colunas são vectores próprios de A se e só se a soma das multiplicidades algébricas dos valores próprios de A é n e as multiplicidades algébricas e geométricas coincidem.

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54 Uma aplicação: Calcular A 32 A 32 = A A A... A A A A 32 vezes

55 Uma aplicação: Calcular A 32 A 32 = A A A... A A A A A 32 = (P -1 D P) 32 = 32 vezes

56 Uma aplicação: Calcular A 32 A 32 = A A A... A A A A A 32 = (P -1 D P) 32 = P -1 D P P -1 D P... P -1 D P = 32 vezes

57 Uma aplicação: Calcular A 32 A 32 = A A A... A A A A A 32 = (P -1 D P) 32 = P -1 D P P -1 D P... P -1 D P = P -1 D (P P -1 )D P... P -1 D (P P -1 )D P = 32 vezes

58 Uma aplicação: Calcular A 32 A 32 = A A A... A A A A A 32 = (P -1 D P) 32 = P -1 D P P -1 D P... P -1 D P = P -1 D (P P -1 )D P... P -1 D (P P -1 )D P = P -1 D I D P... P -1 D I D P = 32 vezes

59 Uma aplicação: Calcular A 32 A 32 = A A A... A A A A A 32 = (P -1 D P) 32 = P -1 D P P -1 D P... P -1 D P = P -1 D (P P -1 )D P... P -1 D (P P -1 )D P = P -1 D I D P... P -1 D I D P = P -1 D 32 P 32 vezes

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