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1. Equação linear Equação linear é toda equação da forma: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 +... + a 1n x n = b 1 coeficientes das incógnitas incógnitastermo.

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2 1. Equação linear Equação linear é toda equação da forma: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 coeficientes das incógnitas incógnitastermo independente em que a 11, a 12, a 13,..., a 1n são números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas; x 1, x 2,x 3,..., x n, são as incógnitas; e b 1 é um número real chamado termo independente (quando b=0, a equação recebe o nome de linear homogênea). Exemplos: 3, 4, -5 e -1 são os coeficientes x 1, x 2, x 3 e x 4 são as incógnitas 5 é o termo independente

3 1. Equação linear Uma equação linear não apresenta incógnitas em expoentes diferente de 1, isto é, não temos incógnitas na forma, x 2, xy, x, 1/x, etc. As equações 3x + 2x 2 = -3 e -4xy + z = 2, por exemplo, não são lineares. Uma equação linear cujo termo independente é nulo (b = 0) é chamada equação linear homogênea.

4 2. Solução de uma Equação linear Uma sequência de números reais ( 1, 2, 3,..., n ) é solução da equação linear a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 se trocarmos cada x i por i na equação e este fato implicar que o membro da esquerda é identicamente igual ao membro da direita, isto é, se a igualdade for verdadeira: a a a a 1n n = b 1 Exemplos: a) Verifique se a sequência (1, 2, 3, -2) é solução da equação 2x 1 + 3x 2 – x 3 + x 4 = 3. Resolução: – 3 + (-2) = – 3 – 2 = 3 3 = 3 SIM

5 2. Solução de uma Equação linear admite b) A equação 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 0x 4 = 0, admite como solução a sequência ordenada ( 1, 2, 3,..., n ), n N. Resolução: = 0 0 = 0 0 = 0 não admite c) A equação 0x + 0y + 0z + 0t = 2, não admite como solução a quádrupla ordenada ( 1, 2, 3,..., n ), n N. Resolução: = 2 0 = 2 0 = 2 EQUAÇÕES EQUIVALENTES Se duas equações têm as mesmas soluções em um mesmo conjunto universo, estas são ditas EQUAÇÕES EQUIVALENTES. SOLUÇÃO TRIVIALIMPRÓPRIA Se uma equação linear é homogênea (b = 0) esta sempre admite a solução {0, 0, 0...}, que é dita SOLUÇÃO TRIVIAL ou IMPRÓPRIA.

6 3. Sistema de Equações lineares o sistema abaixo é linear: É um conjunto de m (m 1) equações lineares nas incógnitas x 1, x 2, x 3,..., x n. Assim o sistema abaixo é linear: FORMA MATRICIAL Lembrando a definição de produto de matrizes, podemos representar o sistema na FORMA MATRICIAL.

7 3. Sistema de Equações lineares EQUAÇÃO MATRICIAL EQUIVALENTE A. X = B Matriz dos coeficientes Matriz das variáveis ou incógnitas Matriz dos termos independentes Equação matricial Exemplos: a) O sistema linear: pode ser escrito na forma:

8 4. Solução de um Sistema Linear solução do sistema linear. Se o conjunto ordenado de números reais ( 1, 2,..., n ) for solução de todas as equações do sistema, então será denominado solução do sistema linear. Exemplos: a) Verifique se a terna ordenada (1, 2, 3) é solução do sistema linear: (V) SIM, é solução do sistema Se fizermos a mesma verificação para a terna ordenada (-5, 11, 0), perceberemos que apesar de ela ser solução das duas primeiras equações, na terceira a sentença se torna falsa. Logo, não é solução do sistema Logo, não é solução do sistema.

9 4. Solução de um Sistema Linear a) O sistema linear: não admite solução não admite solução, pois a última equação não é satisfeita por nenhuma tripla ordenada.

10 5. Classificação de um Sistema Linear Os sistemas lineares são classificados de acordo com o número de soluções, da seguinte forma: SISTEMA LINEAR POSSÍVEL Quando admite solução IMPOSSÍVEL Quando não admite solução DETERMINADO (SPD) Quando admite uma única solução INDETERMINADO (SPI) Quando admite mais de uma solução (infinitas soluções)

11 5. Classificação de um Sistema Linear SPD S = {3, 1} Somente esta solução, portanto SPD. S 1 = {1, 2}, S 2 = { 2, 4}, etc., são várias SPI soluções, portanto SPI. SI S = ; não existe solução, portanto SI. Exemplos:

12 6. Sistema Linear Homogêneo todas Chamamos de sistema linear homogêneo todo sistema em que o termo independente de todas as equações é igual a zero. Exemplos: solução trivial É fácil notar que um sistema homogêneo admite sempre como solução a sequência (0, 0, 0,..., 0), esta solução chama-se solução trivial. solução não trivial Se o sistema homogêneo admitir outra solução em que as incógnitas não são todas nulas, a solução será chamada solução não trivial.

13 7. Matrizes associadas a um sistema Matriz Incompleta: Matriz Incompleta: matriz A formada pelo coeficientes das incógnitas do sistema. Matriz Completa: Matriz Completa: matriz B que se obtém acrescentando à matriz incompleta, uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sistema.

14 8. Sistema Normal Um sistema é dito normal quando: O número de equações (m) é igual ao número de incógnitas (n). O determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero. Verifique se o sistema linear é normal: Exemplos: Resolução: O sistema possui 3 equações e 3 incógnitas. Vamos calcular o determinante da matriz incompleta: CONCLUSÃO: o sistema é normal

15 9. Teorema de Cramer Seja S um sistema linear normal (m = n e detA 0), então S possui solução única, e portanto, será Possível e Determinado (SPD). Esta solução será da forma: D D x i Onde, D é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e D x i é o determinante obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes. Resolver o sistema usando a regra de cramer: Exemplos: Resolução: Cálculo de D:

16 9. Teorema de Cramer Resolver o sistema usando a regra de cramer: Exemplos: Resolução: Cálculo de D X : Cálculo de D y : Cálculo de D z :

17 9. Teorema de Cramer Resolver o sistema usando a regra de cramer: Exemplos: Resolução: Cálculo de x: Cálculo de y: Cálculo de z: Logo, o conjunto solução do sistema é:

18 10. Teorema de Cramer – Discussão de Sistemas Se: Vamos lembrar que um sistema é classificado de acordo com o número de soluções que ele apresenta. A partir do Teorema de Cramer, podemos classificar um sistema, seguindo o seguinte princípio: Se: A explicação para esse raciocínio é bem simples, pois, por exemplo, se D = 0 e todos os D x = D y = D z... = 0, no cálculo de x, y e z teríamos:

19 10. Teorema de Cramer – Discussão de Sistemas Discutir (classificar) o sistema usando a regra de cramer: Exemplos: Resolução: Cálculo de D: única solução Perceba que D 0, e nesse caso, mesmo sem resolver o sistema já sabemos que ele tem uma única solução. Portanto: SPD.

20 10. Teorema de Cramer – Discussão de Sistemas Discutir (classificar) o sistema usando a regra de cramer: Exemplos: Resolução: Cálculo de D: Perceba que D = 0, e nesse caso, precisaremos calcular D x, D y e D z, e somente depois disso, é que poderemos classificar o sistema. SPI Com base nos valores encontrados, concluímos que SPI.

21 10. Teorema de Cramer – Discussão de Sistemas Discutir (classificar) o sistema usando a regra de cramer: Exemplos: Resolução: Cálculo de D: Perceba que D = 0, e nesse caso, precisaremos calcular D x, D y e D z, e somente depois disso, é que poderemos classificar o sistema. SI Nesse caso, já não é mais necessário o cálculo de D y e D z, pois sendo Dx 0 e D = 0, concluímos que SI.


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