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Sistemas Lineares. Equação linear Equação linear é toda equação da forma: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 +... + a 1n x n = b 1 em que a 11, a 12, a 13,...,

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1 Sistemas Lineares

2 Equação linear Equação linear é toda equação da forma: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 em que a 11, a 12, a 13,..., a 1n são números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas; x 1, x 2,x 3,..., x n, são as incógnitas; e b 1 é um número real chamado termo independente (quando b=0, a equação recebe o nome de linear homogênea).

3 Solução de uma equação linear Uma sequência de números reais (r 1,r 2,r 3,...,r n ) é solução da equação linear a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 se trocarmos cada x i por r i na equação e este fato implicar que o membro da esquerda é identicamente igual ao membro da direita, isto é: a 11 r 1 + a 12 r 2 + a 13 r a 1n r n = b 1

4 Um conjunto de equações lineares da forma: é um sistema linear de m equações e n incógnitas. A solução de um sistema linear é a n-upla de números reais ordenados (r 1, r 2, r 3,..., r n ) que é, simultaneamente, solução de todas as equações do sistema. Sistema linear

5 Matrizes associadas a um sistema linear matriz incompleta: a matriz A formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema

6 matriz completa: matriz B que se obtém acrescentando à matriz incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sistema. Matrizes associadas a um sistema linear

7 Classificação de um sistema quanto ao número de soluções SPD: sistema possível e determinado (solução única) SPI: sistema possível e indeterminado (infinitas soluções) SI: sistema impossível (não tem solução)

8 Sistema normal Um sistema é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero. Se m=n e det A 0, então o sistema é normal.

9 Todo sistema normal tem uma única solução dada por: em que i { 1,2,3,...,n}, D= det A é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e D xi é o determinante obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes. Regra de Cramer

10 Exemplo: Regra de Cramer

11 Discussão de um sistema linear Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser: a)SPD b)SPI c)SI

12 Discussão de um sistema linear a) possível e determinado, se D = det A 0; caso em que a solução é única.

13 b) possível e indeterminado, se D= D x1 = D x2 = D x3 =... = D xn = 0, para n=2. Se n 3, essa condição só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitas respectivamente proporcionais e termos independentes não-proporcionais. Um sistema possível e indeterminado apresenta infinitas soluções. Discussão de um sistema linear

14 Exemplo: D=0, D x =0, D y =0 e D z =0 Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções. Discussão de um sistema linear

15 c) impossível, se D=0 e existe D xi 0, 1 i n; caso em que o sistema não tem solução. Como D=0 e D x 0, o sistema é impossível e não apresenta solução Discussão de um sistema linear

16 Referências Bibliográficas ca/medio/matrizes/sistemas.htm


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