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Amintas engenharia. Unidade 2.1 – Sistemas Lineares.

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Apresentação em tema: "Amintas engenharia. Unidade 2.1 – Sistemas Lineares."— Transcrição da apresentação:

1 Amintas engenharia

2 Unidade 2.1 – Sistemas Lineares

3 Sistemas Lineares

4 Equação linear Equação linear é toda equação da forma: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 em que a 11, a 12, a 13,..., a 1n são números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas; x 1, x 2,x 3,..., x n, são as incógnitas; e b 1 é um número real chamado termo independente (quando b=0, a equação recebe o nome de linear homogênea).

5 Solução de uma equação linear Uma sequência de números reais (r 1,r 2,r 3,...,r n ) é solução da equação linear a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 se trocarmos cada x i por r i na equação e este fato implicar que o membro da esquerda é identicamente igual ao membro da direita, isto é: a 11 r 1 + a 12 r 2 + a 13 r a 1n r n = b 1

6 Um conjunto de equações lineares da forma: é um sistema linear de m equações e n incógnitas. A solução de um sistema linear é a n-upla de números reais ordenados (r 1, r 2, r 3,..., r n ) que é, simultaneamente, solução de todas as equações do sistema. Sistema linear

7 Matrizes associadas a um sistema linear matriz incompleta: a matriz A formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema

8 matriz completa: matriz B que se obtém acrescentando à matriz incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sistema. Matrizes associadas a um sistema linear

9 Classificação de um sistema quanto ao número de soluções SPD: sistema possível e determinado (solução única) SPI: sistema possível e indeterminado (infinitas soluções) SI: sistema impossível (não tem solução)

10 Sistema normal Um sistema é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero. Se m=n e det A 0, então o sistema é normal.

11 Todo sistema normal tem uma única solução dada por: em que i { 1,2,3,...,n}, D= det A é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e D xi é o determinante obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes. Regra de Cramer

12 Exemplo: Regra de Cramer

13 Discussão de um sistema linear Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser: a)SPD b)SPI c)SI

14 Discussão de um sistema linear a) possível e determinado, se D = det A 0; caso em que a solução é única.

15 b) possível e indeterminado, se D= D x1 = D x2 = D x3 =... = D xn = 0, para n=2. Se n 3, essa condição só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitas respectivamente proporcionais e termos independentes não-proporcionais. Um sistema possível e indeterminado apresenta infinitas soluções. Discussão de um sistema linear

16 Exemplo: D=0, D x =0, D y =0 e D z =0 Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções. Discussão de um sistema linear

17 c) impossível, se D=0 e existe D xi 0, 1 i n; caso em que o sistema não tem solução. Como D=0 e D x 0, o sistema é impossível e não apresenta solução Discussão de um sistema linear

18 Sistemas Equivalentes Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução. verificamos que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, S 1 e S 2 são equivalentes: S 1 ~ S 2.

19 Sistemas Equivalentes Propriedades: a) Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente. b) Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número K (K IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior. c) Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo sistema por um número k ( K IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior.

20 Resolução de Sistemas Lineares por Escalonamento A regra de Cramer pode ser utilizada para discutir e resolver sistemas lineares em que o número de equações (m) é igual ao número de incógnitas (n). Quando m e n são maiores que três, torna-se muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso, usamos a técnica do escalonamento, que facilita a discussão e resolução de quaisquer sistemas lineares. Para tanto, vamos usar as três Operações Elementares sobre linhas.

21 Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação. Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento: Sistemas escalonados

22 a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º incógnita diferente de zero. b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações. c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado. Sistemas escalonados

23 3x + y + z = 20 2x - y - z = x + y -5z = -41 Exemplo:

24 Um sistema é homogêneo quando todos os termos independentes das equações são nulos: A n-upla (0, 0, 0,...,0) é sempre solução de um sistema homogêneo com n incógnitas e recebe o nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não-triviais. Sistemas homogêneos

25 Uma companhia de navegação tem três tipos de recipientes A, B e C, que carrega cargas em containers de três tipos I, II e III. As capacidades dos recipientes são dadas pela matriz: Quais são os números de recipientes x 1, x 2 e x 3 de cada categoria A, B e C, se a companhia deve transportar 42 containers do tipo I, 27 do tipo II e 33 do tipo III? Exemplo Tipo do Recipiente I IIIII A432 B523 C223

26 4 x x x 3 = 42 3 x x x 3 = 27 2 x x x 3 = 33 Exemplo Tipo do Recipiente I IIIII A432 B523 C223

27 engenharia


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