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Agrupamento de Escolas drª Laura Ayres Elaborado por: Professoras Carla Cunha e Nélida Filipe.

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1 Agrupamento de Escolas drª Laura Ayres Elaborado por: Professoras Carla Cunha e Nélida Filipe

2 Equações do 2º Grau ax 2 + bx + c = 0, a 0

3 Definição: Denomina-se equação do 2º grau, na incógnita x, toda equação da forma: ax 2 + bx + c = 0, a 0. Quando escrevemos a equação na forma ax 2 + bx + c = 0, a 0, dizemos que a equação está escrita na forma canónica: Observe que: a representa o coeficiente de x²; b representa o coeficiente de x; c representa o termo independente. Exemplos: x 2 - 5x + 6 = 0, onde a = 1, b = -5 e c = 6. 7x 2 - x = 0, onde a = 7, b = -1 e c = 0. x = 0, onde a = 1, b = 0 e c = -36.

4 Equações Completas do 2º Grau Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos: x² - 9x + 20 = 0, onde a = 1, b = -9 e c = 20. -x² + 10x - 16 = 0, onde a = -1, b = 10 e c = -16.

5 Equações Incompletas do 2º Grau Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda, quando ambos são iguais a zero. Equações da forma ax² +bx = 0, (c = 0) x² - 3x = 0, onde a = 1, b = x² + 4x = 0, onde a = -2, b = 4. Equações da forma ax² +c = 0, (b = 0) 3x² - 2 = 0, onde a = 3, c = -2. x² + 5 = 0, onde a = 1, c = 5.

6 Será uma equação do 2º grau? Ficha de Trabalho equ incompletas.docx

7 Raízes de uma Equação do 2º Grau Resolver uma equação do 2º grau significa determinar as suas raízes ou soluções. Raiz ou solução é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, a transforma numa proposição verdadeira. O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto solução e representa-se por S ou C.S.. Ficha de Trabalho equ incompletas.docx

8 Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto solução. Utilizamos na resolução de uma equação incompleta duas importantes propriedades dos números reais, chamando-se à 1.ª Propriedade a Lei do anulamento do produto, a qual permite factorizar a equação: 1ª Propriedade: Se x є R, y є R e x.y = 0 x = 0 ou y = 0 2ª Propriedade: Se x є R, y є R e x² = y x = y ou x = - y 1º Caso: Equações da forma 2º Caso: Equações da forma ax² +bx = 0, (c = 0) 3º Caso: Equações da forma ax² +c = 0, (b = 0) Resolução de Equações Incompletas

9 ax² = 0 Consideremos a equação Reduzimos a equação à forma canónica Só há um número elevado a dois que é zero. Logo Uma equação do 2º grau do tipo ax² = 0 tem uma e uma só solução: o número zero. ax² = 0 Ficha de Trabalho equ incompletas.docx Resolução de Equações Incompletas Equações da forma:

10 Resolução de Equações Incompletas Equações da forma: ax² +bx = 0, (c = 0) Consideremos a equação: Comecemos por escrevê-la na forma canónica Factorizamos o 1º membro Aplicamos a lei do anulamento do produto Logo,

11 De um modo geral, temos, se No geral, a equação do tipo ax² +bx = 0 tem sempre duas soluções reais, sendo uma delas nula e a outra igual ao simétrico do quociente entre b e a: x = 0 e x = - b/a Logo, Ficha de Trabalho equ incompletas.docx

12 Resolução de Equações Incompletas Equações da forma: ax² +c = 0, (b = 0) Consideremos a equação Resolvemo-la por dois processos diferentes: 1º Processo2ºProcesso Aplicando casos notáveis para factorizar o 1º membro e a lei do anulamento do produto para resolver:

13 Logo, A equação tem duas soluções simétricas. Consideremos a equação Resolvendo vem: Não há nenhum número ao quadrado que vá dar um número negativo. A equação é mpossível. Resolução de Equações Incompletas

14 No geral, a equação do tipo ax² +c = 0, se : Uma equação do 2º grau do tipo tem duas soluções simétricas se a e c têm sinais contrários e é impossível se a e c têm o mesmo sinal. Ficha de Trabalho equ incompletas.docx Resolução de Equações Incompletas

15 EXERCÍCIOS: Resolve cada uma das seguintes equações: Ficha de Trabalho equ incompletas.docx

16 Resolução de Equações Completas Fórmula de Bhaskara ou fórmula resolvente Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a Fórmula de Bhaskara ou resolvente. A fórmula de Bhaskara é utilizada para determinar as raízes de uma equação quadrática (de 2º grau). Tem esse nome por ter sido divulgada pelo astronómo indiano Bháskara de Akaria, no século XII, em seu livro Lilavat. Sua descoberta porém é atribuída aos babilónios antigos, e sua formalização ao matemático persa Al-Khwarizmi.Bháskaraséculo XIILilavat Al-Khwarizmi A partir da equação ax 2 + bx + c = 0, a 0, desenvolveremos passo a passo a dedução da Fórmula resolvente. 1º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a. (4a).(ax² + bx + c) = 0.(4a) 4a²x² + 4abx + 4ac = 0 2º passo: passar 4ac para o 2º membro. 4a²x² + 4abx = - 4ac

17 Fórmula de Bhaskara ou resolvente 3º passo: adicionar b² aos dois membros. 4a²x² + 4abx + b² = b² - 4ac 4º passo: factorizar o 1º membro. (2ax + b) ² = b² - 4ac 5º passo: extrair a raiz quadrada dos dois membros. (2ax + b) ² = ± b² - 4ac 2ax + b = ± b² - 4ac 6º passo: passar b para o 2º membro. 2ax = - b ± b² - 4ac Trinômio Quadrado Perfeito

18 Fórmula de Bhaskara ou resolvente 7º passo: dividir os dois membros por 2a. 2ax = - b ± b² - 4ac 2a 2a Assim, encontramos a fórmula resolvente da equação do 2º grau: x = - b ± b² - 4ac 2a Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim: x = - b + b² - 4ac e x = - b - b² - 4ac 2a 2a

19 Discriminante Denominamos binómio discriminante o radical b 2 - 4ac que é representado pela letra grega Δ (delta). Δ = b 2 - 4ac Podemos agora escrever deste modo a Fórmula de Bhaskara: x = - b ± Δ 2a De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar: 1º Caso: O discriminante é positivo (Δ > O) 2º Caso: O discriminante é nulo (Δ = O) 3º Caso: O discriminante é negativo (Δ < O)

20 Discriminante Δ > OΔ = OΔ < O O valor de Δ é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim representadas: O valor de Δ é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais, assim representadas: O valor de Δ não existe em IR, não existindo, portanto, raízes reais. x = - b +Δ 2a x = - b -Δ 2a x = x = -b 2a As raízes da equação são número complexos.


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