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Prof. Jorge Desigualdades e inequações em R.. Prof. Jorge Suponhamos que y = f(x) e y = g(x) sejam duas funções reais. Chamamos Inequação de incógnita.

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1 Prof. Jorge Desigualdades e inequações em R.

2 Prof. Jorge Suponhamos que y = f(x) e y = g(x) sejam duas funções reais. Chamamos Inequação de incógnita x toda desigualdade condicional que apresenta uma das formas seguintes: f(x) > g(x)f(x) < g(x) f(x) g(x)f(x) g(x)

3 Prof. Jorge Solução e Conjunto-solução Solução de uma inequação é cada valor real de x que a satisfaz. Conjunto-solução de uma inequação é o conjunto de todas as soluções. Resolver uma inequação é encontrar o seu conjunto solução.

4 Prof. Jorge Equivalência de inequações Princípios de equivalência

5 Prof. Jorge Princípios de equivalência Podemos adicionar uma mesma expressão aos dois membros de uma inequação. Isso equivale a transpor um termo de um membro para outro, invertendo o seu sinal. 3x + 5 > 2 3x > 2 – 5 3x > –3 x > –1 Troca de sinal –3x 6 – 4x –3x + 4x 6 x 6 Troca de sinal

6 Prof. Jorge Princípios de equivalência Podemos multiplicar ou dividir os dois membros de uma inequação por um mesmo número real k (k 0). No caso, o sentido da desigualdade se mantém, se k for positivo. se inverte, se k for negativo. 3x > –12 x > –12/3 x > – 4 Manteve o sentido

7 Prof. Jorge Princípios de equivalência Podemos multiplicar ou dividir os dois membros de uma inequação por um mesmo número real k (k 0). No caso, o sentido da desigualdade se mantém, se k for positivo. se inverte, se k for negativo. –5x – 15 x –15/–5 x 3 Inverteu o sentido

8 Prof. Jorge Princípios de equivalência < 3 x + 1 > 3.(–2) x + 1 > –6 Inverteu o sentido Podemos multiplicar ou dividir os dois membros de uma inequação por um mesmo número real k (k 0). No caso, o sentido da desigualdade se mantém, se k for positivo. se inverte, se k for negativo. x > –7

9 Prof. Jorge Inequações de 2.º grau

10 Prof. Jorge Inequações de 2.º grau Há inequações, que na forma simplificada, envolvem a função de 2.º grau y = ax 2 + bx + c (a 0). Elas são chamadas de inequações de 2.º grau e devem ser resolvidas graficamente. Veja, ax 2 + bx + c > 0 ax 2 + bx + c 0 ax 2 + bx + c < 0 ax 2 + bx + c 0

11 Prof. Jorge 2–2 Exemplos Resolver a inequação de 2. o grau x 2 – 4 > 0. Na função y = x 2 – 4, queremos encontrar os valores de x tais que y > 0. a) Raízes: x 2 – 4 = 0 x 2 = 4 x = –2 ou x = 2. b) Parábola: a > 0 parábola com concavidade para cima. x S = {x R/ x < –2 ou x > 2} + +

12 Prof. Jorge Exemplos Resolver a inequação de 2. o grau x 2 – 3x – 4 0. Na função y = x 2 – 3x – 4, queremos encontrar os valores de x tais que y 0. a) Raízes: x 2 – 3x – 4 = 0 x = –1 ou x = 4. b) Parábola: a > 0 parábola com concavidade para cima. x 4 –1 S = {x R/ –1 x 4} –

13 Prof. Jorge Exemplos Mostrar graficamente que o conjunto solução da inequação –2x 2 + x – 5 < 0 é R. a) Discriminante : = 1 2 – 4.(–2).(–5) = –39 b) Parábola: a < 0 parábola com concavidade para baixo. x y < 0 para todo x real. – Na função y = –2x 2 + x – 5, devemos provar que y < 0 para todo x real. = –39 < 0 a função não tem raízes reais a parábola não corta o eixo x. – –

14 Prof. Jorge Exemplos Determinar todos os valores reais de x tais que –x 2 + 6x – 9 0. Na função y = –x 2 + 6x – 9, queremos encontrar os valores de x tais que y 0. a) Raízes: –x 2 + 6x – 9 = 0 x = x = 3. b) Parábola: a < 0 parábola com concavidade para baixo. S = {3} x 3 y = 0 apenas para x = 3 Não existe x / y > 0.

15 Prof. Jorge Exemplos Obter todos os valores de x tais que o gráfico de f(x) = x esteja situado abaixo do gráfico de g(x) = 3x + 2. f(x) < g(x) a) Raízes: x < 3x + 2 b) Parábola: a > 0 parábola com concavidade para cima. x 2 1 S = {x R/ 1 < x < 2} – x 2 – 3x + 2 < 0. x 2 – 3x + 2 = 0 x = 1 ou x = 2.

16 Prof. Jorge Veja os gráficos das funções f(x) = x e g(x) = 3x + 2 x y f g f(x) < g(x) para 1 < x < 2 f(x) > g(x) para x < 1 ou x > 2 f(x) = g(x) para x = 1 ou x = 2

17 Prof. Jorge Inequações-produto e inequações-quociente

18 Prof. Jorge Observe as seguintes inequações, Na primeira, temos um produto de polinômios. Trata-se de uma inequação produto. Na segunda temos um quociente de polinômios. Temos, no caso, uma inequação quociente. a) (2 – x)(x 2 – 1) > 0 x – 3 –x 2 – x + 2 b) 0

19 Prof. Jorge Inequações-produto e inequações-quociente. Para resolver inequações como essas, vamos usar as regras de sinais da multiplicação e divisão. Em símbolos, (+).(+) = (+)(+).(–) = ( – )( – ).(–) = ( + ) (+) (+) = (+) (–)(–) = ( – ) ( – ) ( – ) = ( + )

20 Prof. Jorge Processo geral de resolução Fazemos o estudo dos sinais de cada expressão envolvida. Aplicamos as regras de sinais da multiplicação ou divisão, conforme o caso. Para isso, utilizamos um esquema chamado quadro de sinais.

21 Prof. Jorge Exemplos Resolver a inequação produto (2 – x)(x 2 – 1) > 0. Estudo dos sinais da função y 1 = 2 – x a) Raiz: 2 – x = 0 x = 2 b) Coeficiente de x é –1 < 0 reta descendente. x 2 – +

22 Prof. Jorge Exemplos Resolver a inequação produto (2 – x)(x 2 – 1) > 0. Estudo dos sinais da função y 2 = x 2 – 1 a) Raiz: x 2 – 1 = 0 x = –1 ou x = 1 b) Coeficiente de x é 1 > 0 concavidade da parábola para cima. x 1 –1 – ++

23 Prof. Jorge Quadro de sinais –+–+ y = (2 – x)(x 2 – 1) ++–+ y 2 = x 2 – 1 –+++ y 1 = 2 – x 21–1 – x 2 – + x 1 – ++ + y = (2 – x)(x 2 – 1) > 0. S = {x R/ x < –1 ou 1 < x < 2}ou S = ]–, –1[ ]1, 2[

24 Prof. Jorge Exemplos Resolver a inequação quociente Estudo dos sinais da função y 1 = –x 2 – x + 2 a) Raízes: –x 2 – x + 2 = 0 x = –2 ou x = 1 b) Coeficiente de x é –1 < 0 concavidade da parábola para baixo. x – 3 –x 2 – x x 1 –2 – + –

25 Prof. Jorge Exemplos Resolver a inequação quociente Estudo dos sinais da função y 2 = x – 3 a) Raiz: x – 3 = 0 x = 3 b) Coeficiente de x é 1 > 0 reta ascendente. x – 3 –x 2 – x x 3 – +

26 Prof. Jorge Quadro de sinais –+–+ y 1 /y 2 +––– y 2 = x – 3 ––+– y 1 = –x 2 – x –2 – + S = {x R/–2 x 1 ou x > 3}ou S = [–2, 1] ]3, + [ x 1 –2 – + – x 3 – + x – 3 –x 2 – x + 2 0

27 Prof. Jorge Exemplos Resolver a inequação quociente Estudo dos sinais da função y 2 = 2x – x 2 a) Raízes: –x 2 + 2x = 0 x = 0 ou x = 2 b) Coeficiente de x é –1 < 0 concavidade da parábola para baixo. 2x – x 2 –5 > 0 x 20 – – S = {x R/x < 0 ou x > 2} ou S = ]–, 0[ ]2, + [

28 Prof. Jorge Exemplos Resolver a inequação Devemos obter 0 (zero) no 2º membro. Para isso vamos transpor a fração do 2º membro para o 1º. x – 1 2 x + 1 x + 4 x – 1 2 x + 1 x + 4 x – x + 1 x + 4 – O MMC dos denominadores é (x – 1)(x + 1). (x – 1)(x + 1) 2(x + 1) 0 – (x – 1)(x + 4) x 2 – 1 –x 2 – x + 6 0

29 Prof. Jorge Exemplos Resolver a inequação Estudo dos sinais da função y 1 = –x 2 – x + 6 a) Raízes: –x 2 – x + 6 = 0 x = –3 ou x = 2 b) Coeficiente de x é –1 < 0 concavidade da parábola para baixo. x 2 –3 – + – x 2 – 1 –x 2 – x + 6 0

30 Prof. Jorge Exemplos Resolver a inequação Estudo dos sinais da função y 2 = x 2 – 1 a) Raízes: x 2 – 1 = 0 x = –1 ou x = 1 b) Coeficiente de x é 1 > 0 concavidade da parábola para cima. x 2 – 1 –x 2 – x x 1 –1 – ++

31 Prof. Jorge Quadro de sinais +–+– y 1 /y 2 +–++ y 2 = x 2 – 1 +++– y 1 = –x 2 – x + 6 1–1–3 – + S = {x R/x –3 ou –1 < x < 1 ou x 2} x 2 – 1 –x 2 – x x 2 –3 – + – x 1 –1 – ++ – + – 2

32 Prof. Jorge Sistema de inequações

33 Prof. Jorge Sistema de Inequações Duas ou mais inequações que devem ser satisfeitas simultaneamente formam um sistema de inequações. Par resolver um sistema de inequações, resolvemos cada inequação separadamente e, em seguida, calculamos a interseção das soluções obtidas.

34 Prof. Jorge Exemplos Resolver o sistema de inequações 2x + 1 < 7 5x x 2 Resolvendo a inequação (1) (1) (2) 2x + 1 < 7 2x < 6 x < 3

35 Prof. Jorge Exemplos Resolver o sistema de inequações 2x + 1 < 7 5x x 2 Resolvendo a inequação (2) (1) (2) 5x x 2 –x 2 + 5x 0 a) Raízes: –x 2 + 5x = 0 x = 0 ou x = 5 b) Coeficiente de x é –1 < 0 concavidade da parábola para baixo. x 50 – – Solução: x 0 ou x 5

36 Prof. Jorge Exemplos Resolver o sistema de inequações 2x + 1 < 7 5x x 2 Interseção das soluções (1) (2) Solução de (1) Solução de (2) Interseção S = {x R/x 0}


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