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Prof. Jorge Posições relativas de reta e circunferência.

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1 Prof. Jorge Posições relativas de reta e circunferência

2 Prof. Jorge Posições relativas Uma reta e uma circunferência podem ocupar três posições relativas. Elas se relacionam com o número de pontos que a reta e a circunferência têm em comum. A comparação entre o raio R da circunferência e a distância d de seu centro à reta pode ser usada também como critário.

3 Prof. Jorge Posições relativas de ponto e circunferências A B O P O ponto A é interno à circunferência d OA < R O ponto B pertence à circunferência d OB = R O ponto P é exterior à circunferência d OP > R R

4 Prof. Jorge Posições relativas de reta e circunferência r O r é tangente à circunferência d OP = R R P r e a circunferência têm um único ponto comum.

5 Prof. Jorge Posições relativas de reta e circunferência s O P s é secante à circunferência d OP < R A B s e a circunferência têm dois pontos comuns.

6 Prof. Jorge Posições relativas de reta e circunferência O t é exterior à circunferência d OP > R P t e a circunferência não têm ponto comum. t

7 Prof. Jorge Propriedades da reta tangente à circunferência r O Toda tangente a uma circunferência é perpendicular aoraio no ponto de tangência. R P Por um ponto de uma circunferência, pode-se traçar uma única tangente a essacircunferência.

8 Prof. Jorge Propriedade da reta secante à circunferência s O M A B Uma reta secante que passa pelo centro da circunferência é perpendicular a uma corda divide essa corda ao meio. s AB por O AM = MB

9 Prof. Jorge Conseqüência C O M A B Um diâmetro perpendicular a uma cordadivide essa corda ao meio. CD AB por O AM = MB D

10 Prof. Jorge Exemplos Determinar a posição relativa entre a reta r de equação geral 2x + y + 12 = 0 e a circunferência C de equação x 2 + y 2 – 4x + 2y – 15 = 0. O centro da circunferência é C(2, –1) e seu raio é R = 25. d = A 2 + B 2 |Ax P + By P + C| = | (–1) + 12| d = 5 15 = 35 d > R a reta é exterior à circunferência.

11 Prof. Jorge Observação Podemos obter a posição relativa de uma reta e uma circunferência, também, pela resolução do sistema formado pelas duas equações. Quando a reta é tangente ou secante à circunferência, a resolução do sistema fornece o(s) ponto(s) de interseção.

12 Prof. Jorge Observação Ao resolver o sistema, chegamos a uma equação de 2º grau de variável x ou y. De acordo com o discriminante dessa equação, temos as possibilidades: > 0 a equação admite duas raízes reais distintas. A reta é secante à circunferência. = 0 a equação admite duas raízes reais iguais. A reta é tangente à circunferência. < 0 a equação não admite raízes reais. A reta é exterior à circunferência.

13 Prof. Jorge Exemplos Suponhamos as seguintes retas e a circunferência, dadas por suas equações: r: 3x + 4y – 10 = 0 s: x + y + 2 = 0 C: x 2 + y 2 = 4 Achar as posições relativas de r e s em relação a C e obter, se for o caso, o(s) ponto(s) de interseção.

14 Prof. Jorge Exemplos Suponhamos as seguintes retas e a circunferência, dadas por suas equações: As possíveis interseções de r e C são obtidas pela resolução do sistema. 3x + 4y – 10 = 0 (1) x 2 + y 2 = 4 (2) y = 10 – 3x 4 x = 4 x – 60x + 9x 2 16 = 4 10 – 3x 4 1 6x – 60x + 9x 2 = x 2 – 60x + 36 = 0

15 Prof. Jorge Exemplos Suponhamos as seguintes retas e a circunferência, dadas por suas equações: 2 5x 2 – 60x + 36 = 0 = (–60) 2 – = 3600 – 3600 = 0 Concluímos que r é tangente a C. x = –b 2a = –(–60) 2.25 = 6 5 y = 8 5 P ,

16 Prof. Jorge Exemplos Suponhamos as seguintes retas e a circunferência, dadas por suas equações: As possíveis interseções de s e C são obtidas pela resolução do sistema. x + y + 2 = 0 (1) x 2 + y 2 = 4 (2) y = –x – 2 x 2 + (–x – 2) 2 = 4 x 2 + x 2 + 4x + 4 = 4 2x 2 + 4x = 0 x 2 + 2x = 0

17 Prof. Jorge Exemplos Suponhamos as seguintes retas e a circunferência, dadas por suas equações: x 2 + 2x = 0 = (6) 2 – = 36 > 0 Concluímos que r é secante a C. x 2 + 2x = 0 x (x + 2) = 0 x = 0 ou x = –2 x = 0 y = 0 – 2 = –2 ponto (0, –2) x = –2 y = –(–2) – 2 = 0 ponto (–2, 0) y = – x – 2

18 Prof. Jorge Exemplos Veja o resultado na figura.


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