Posições relativas de reta e circunferência

Apresentação em tema: "Posições relativas de reta e circunferência"— Transcrição da apresentação:

1 Posições relativas de reta e circunferência
Prof. Jorge

2 Posições relativas Uma reta e uma circunferência podem ocupar três posições relativas. Elas se relacionam com o número de pontos que a reta e a circunferência têm em comum. A comparação entre o raio R da circunferência e a distância d de seu centro à reta pode ser usada também como critário. Prof. Jorge

3 Posições relativas de ponto e circunferências
O ponto A é interno à circunferência dOA < R P O O ponto B pertence à circunferência dOB = R R A B O ponto P é exterior à circunferência dOP > R Prof. Jorge

4 Posições relativas de reta e circunferência
r é tangente à circunferência dOP = R r O R ⇔ P r e a circunferência têm um único ponto comum. Prof. Jorge

5 Posições relativas de reta e circunferência
B P s A s é secante à circunferência dOP < R O ⇔ s e a circunferência têm dois pontos comuns. Prof. Jorge

6 Posições relativas de reta e circunferência
t é exterior à circunferência dOP > R O ⇔ P t e a circunferência não têm ponto comum. t Prof. Jorge

7 Propriedades da reta tangente à circunferência
Toda tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência. Por um ponto de uma circunferência, pode-se traçar uma única tangente a essa circunferência. Prof. Jorge

8 Propriedade da reta secante à circunferência
B O M A Uma reta secante que passa pelo centro da circunferência é perpendicular a uma corda divide essa corda ao meio. s ⊥ AB por O ⇔ AM = MB Prof. Jorge

9 Conseqüência C B O M D A Um diâmetro perpendicular a uma corda divide essa corda ao meio. CD ⊥ AB por O ⇔ AM = MB Prof. Jorge

10 Exemplos Determinar a posição relativa entre a reta r de equação geral 2x + y + 12 = 0 e a circunferência C de equação x2 + y2 – 4x + 2y – 15 = 0. O centro da circunferência é C(2, –1) e seu raio é R = 2√5. |AxP + ByP + C| | (–1) + 12| d = = √A2 + B2 √ 15 d > R a reta é exterior à circunferência. d = = 3√5 √5 Prof. Jorge

11 Observação Podemos obter a posição relativa de uma reta e uma circunferência, também, pela resolução do sistema formado pelas duas equações. Quando a reta é tangente ou secante à circunferência, a resolução do sistema fornece o(s) ponto(s) de interseção. Prof. Jorge

12 Observação Ao resolver o sistema, chegamos a uma equação de 2º grau de variável x ou y. De acordo com o discriminante ∆ dessa equação, temos as possibilidades: ∆ > 0 ⇔ a equação admite duas raízes reais distintas. A reta é secante à circunferência. ∆ = 0 ⇔ a equação admite duas raízes reais iguais. A reta é tangente à circunferência. ∆ < 0 ⇔ a equação não admite raízes reais. A reta é exterior à circunferência. Prof. Jorge

13 Exemplos Suponhamos as seguintes retas e a circunferência, dadas por suas equações: r: 3x + 4y – 10 = 0 s: x + y + 2 = 0 C: x2 + y2 = 4 Achar as posições relativas de r e s em relação a C e obter, se for o caso, o(s) ponto(s) de interseção. Prof. Jorge

14 Exemplos Suponhamos as seguintes retas e a circunferência, dadas por suas equações: As possíveis interseções de r e C são obtidas pela resolução do sistema. 10 – 3x 3x + 4y – 10 = 0 (1) ⇒ y = 4 x2 + y2 = (2) 10 – 3x 2 100 – 60x + 9x2 x2 + = 4 ⇒ x2 + = 4 4 16 ⇒ 16x – 60x + 9x2 = 64 ⇒ 25x2 – 60x + 36 = 0 Prof. Jorge

15 Exemplos Suponhamos as seguintes retas e a circunferência, dadas por suas equações: ⇒ 25x2 – 60x + 36 = 0 ∆ = (–60)2 – = 3600 – 3600 = 0 Concluímos que r é tangente a C. –b –(–60) 6 8 x = = = ⇒ y = 2a 2.25 5 5 6 8 P , 5 5 Prof. Jorge

16 Exemplos Suponhamos as seguintes retas e a circunferência, dadas por suas equações: As possíveis interseções de s e C são obtidas pela resolução do sistema. x + y + 2 = (1) ⇒ y = –x – 2 x2 + y2 = (2) x2 + (–x – 2)2 = 4 ⇒ x2 + x2 + 4x + 4 = 4 ⇒ 2x2 + 4x = 0 ⇒ x2 + 2x = 0 Prof. Jorge

17 Exemplos Suponhamos as seguintes retas e a circunferência, dadas por suas equações: ⇒ x2 + 2x = 0 ∆ = (6)2 – = 36 > 0 y = – x – 2 Concluímos que r é secante a C. ⇒ x2 + 2x = 0 ⇒ x(x + 2) = 0 ⇒ x’ = 0 ou x” = –2 x = 0 ⇒ y = 0 – 2 = –2 ⇒ ponto (0, –2) x = –2 ⇒ y = –(–2) – 2 = 0 ⇒ ponto (–2, 0) Prof. Jorge

18 Exemplos Veja o resultado na figura. Prof. Jorge