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Prof. Jorge Estudo da reta. Prof. Jorge x y O (0, 0) 1º quadrante 2º quadrante 3º quadrante 4º quadrante eixo das abscissas eixo das ordenadas Origem.

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1 Prof. Jorge Estudo da reta

2 Prof. Jorge x y O (0, 0) 1º quadrante 2º quadrante 3º quadrante 4º quadrante eixo das abscissas eixo das ordenadas Origem Plano cartesiano

3 Prof. Jorge P x y O 4 3 P(3, 4) Coordenadas no plano 3 é a abscissa de P; 4 é a ordenada de P; 3 e 4 são as coordenadas de P; P(x, y) Em geral:

4 Prof. Jorge Sinais no plano x y – – – – y = 0 O( 0, 0) x = 0

5 Prof. Jorge Bissetrizes no plano x y y = x y = –x 1ª bissetriz 2ª bissetriz

6 Prof. Jorge Equação da reta

7 Prof. Jorge Equação geral da reta A toda reta contida no sistema xOy de coordenadas cartesianas está associada uma equação de 1.º grau, nas variáveis x e y. Essa equação se verifica para todos os pontos da reta, e só eles. Retas paralelas aos eixos; Retas não-paralelas aos eixos;

8 Prof. Jorge Retas paralelas aos eixos A figura mostra duas retas r e s, contidas no plano cartesiano xOy. x y O 4 2 r s Equação da reta r: x = 4 Equação da reta s: y = 2

9 Prof. Jorge Retas paralelas ao eixo y A figura mostra três retas r, s e t, contidas no plano cartesiano xOy. x y O 3 –2 rs Equação de r: x = –2 1 t Equação de s: x = 1 Equação de t: x = 3 Geral: retas eixo y: x = k k é a abscissa do ponto em que a reta intercepta o eixo x.

10 Prof. Jorge Retas paralelas ao eixo x A figura mostra três retas w, u e p, contidas no plano cartesiano xOy. x y O 3 –1 p u Equação de w: y = 3 2 w Equação de u: y = 2 Equação de p: y = –1 Geral: retas eixo x: y = h h é a ordenada do ponto em que a reta intercepta o eixo y.

11 Prof. Jorge Retas não-paralelas aos eixos A figura mostra a reta r, contidas no plano cartesiano xOy, determinada pelos pontos A(2, 1) e B(3, 3). x y O 3 1 r 2 3 P(x, y) AB A, B e P estão alinhados xy = 0 x + 3y + 6 – 3 – 3x – 2y = 0 y – 2x + 3 = 0 A B P(x, y)

12 Prof. Jorge Equação geral da reta Toda reta do plano cartesiano xOy está associada a uma equação de 1.º grau Ax + By + C = 0, com A, B e C reais, sendo A 0 ou B 0. A equação de uma reta pode ser escrita de infinitas formas, todas equivalentes. 2x – y – 3 = 0 4x – 2y – 6 = 0 6x – 3y – 9 = 0... e assim por diante. Cada uma dessas igualdades é uma equação geral da reta.

13 Prof. Jorge Exemplos Traçar no plano cartesiano xOy, a reta r de equação geral 3x + 2y – 5 = 0. x = y – 5 = 0 2y = 2 y = 1 x = y – 5 = 0 2y = –4 y = –2 x y O 3 1 r –2 1

14 Prof. Jorge Exemplos Analisar se M(2, –1) e N(3, 5) são pontos da reta de equação geral 5x + y – 9 = (–1) – 9 = 0 Para que cada ponto pertença à reta, suas coordenadas devem satisfazer a equação. M(2, –1) 10 –1 – 9 = 0 0 = – 9 = 0N(3, 5) – 9 = Concluímos que M é ponto da reta dada, mas N não é.

15 Prof. Jorge Inclinação de uma reta

16 Prof. Jorge 40 m Inclinação de uma reta Imagine um carro subindo uma rampa reta, conforme figura. Suponha que para cada 40 m percorridos na horizontal, a pista se eleve 6 m. 40 m 6 m O ângulo α que a rampa forma com a horizontal é o ângulo de inclinação da rampa. O valor de tg α é a inclinação da rampa. 6 m Inclinação = tg α == 0,15= 15 %

17 Prof. Jorge Inclinação de uma reta Vamos analisar agora duas situações extremas. Quando o carro percorre um trecho horizontal, dizemos que a rampa tem inclinação 0 e que o ângulo de inclinação é 0º. (tg 0 o = 0). α = 0 o I nclinação = tg α = tg 0 o = 0

18 Prof. Jorge Inclinação de uma reta Vamos analisar agora duas situações extremas. O auto não sobe uma rampa vertical. Nesse caso, não se define a inclinação da rampa e o ângulo de inclinação é 90º. (tg 90º = Não é definido). α = 90 o Inclinação não se define.

19 Prof. Jorge Q Inclinação de uma reta Considere uma reta r, não paralela aos eixos x e y, contida no plano cartesiano xOy. x y O yQyQ yPyP xQxQ xPxP P M x Q – x P y Q – y P Inclinação = tg α y Q – y P x Q – x P a = tg α = x y a = r

20 Prof. Jorge Inclinação de uma reta Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante: a = tg 30º = x y O 30º M 3 3

21 Prof. Jorge Inclinação de uma reta Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante: a = tg 45º = 1 x y O 45º M

22 Prof. Jorge Inclinação de uma reta Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante: a = tg 60º = 3 x y O 60º M

23 Prof. Jorge Inclinação de uma reta Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante: x y O 120º M a = tg 120º = – tg 60º = –3

24 Prof. Jorge Inclinação de uma reta Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante: a = tg 135º = – tg 45º = – 1 x y O 135º M

25 Prof. Jorge Inclinação de uma reta Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante: a = tg 150º = – tg 30º = x y O 150º M 3 –3

26 Prof. Jorge Exemplos Em cada caso, obter a inclinação e classificar o ângulo α de inclinação da reta MN. x y O α M N – x N – x M y N – y M a = tg α = 1 – (–2) 5 – 3 a = 3 2 a = a > 0 e α é agudo (α < 90º) a) M(–2, 3) e N(1, 5)

27 Prof. Jorge Exemplos Em cada caso, obter a inclinação e classificar o ângulo α de inclinação da reta MN. x y O α M N –2 3 3 x N – x M y N – y M a = tg α = 3 – (–2) –1 – 3 a = 5 – 4 a = a < 0 e α é obtuso (90º < α < 180º) b) M(–2, 3) e N(3, –1) –1

28 Prof. Jorge Exemplos Em cada caso, obter a inclinação e classificar o ângulo α de inclinação da reta MN. x y O M N –1 3 3 x N – x M y N – y M a = tg α = 1 – (–1) 3 – 3 a = a = 0 a = 0 α = 0º (nulo) c) M(–1, 3) e N(2, 3)

29 Prof. Jorge Exemplos Em cada caso, obter a inclinação e classificar o ângulo α de inclinação da reta MN. x y O M N –1 2 3 x N – x M y N – y M a = tg α = 2 – 2 3 – (–1) a = a = não é definida α = 90º (reto) d) M(2, –1) e N(2, 3) α

30 Prof. Jorge Inclinação de uma reta - resumo O ângulo de inclinação α de uma reta é tal que 0º α 180º. Sua inclinação a pode ser positiva, negativa ou nula, conforme a medida do ângulo α (α 90º). α = 0º a = 0. 0º < α < 90º a > 0. α = 90º a inclinação a não é definida. 90º < α < 180º a < 0.

31 Prof. Jorge Exemplos Achar as inclinações das retas r, s e t da figura abaixo. x y O 120º 45º r s t a r = tg 45º = 1 a s = tg 45º = 1 a t = tg 120º – 3 = – tg 60º =

32 Prof. Jorge Equação reduzida da reta

33 Prof. Jorge Equação reduzida da reta Uma reta é determinada, quando são dados sua inclinação e um de seus pontos. Suponhamos no plano xOy, uma reta r que passa por A(2, 3) e têm ângulo de inclinação α = 135º. Vamos obter a equação da reta r. x y O 135º A 2 3 M(x, y) x M – x A y M – y A a = tg 135º = –1. x – 2 y – 3 –1 = a = y – 3 = –1(x – 2) y – 3 = –1x + 2 y = –1x + 5 y = –x + 5

34 Prof. Jorge Equação reduzida da reta – Caso Geral Suponhamos que uma reta r de inclinação a = tg α e que passe pelo ponto P(x P, y P ), como mostra a figura. x y O α P xPxP yPyP M (x, y) x M – x A y M – y A x – x P y – y P a = a = y – y P = a(x – x P ) y – y P = ax – ax P y = ax + (–ax P + y P ) y = ax + b Equação reduzida da reta

35 Prof. Jorge Equação reduzida da reta Na equação reduzida y = ax + b, temos: Significa que a reta passa pelo ponto (0, b) ponto do eixo y. x = 0 y = a.0 + b y = b O coeficiente a é a inclinação da reta; ele é também chamado, por isso, coeficiente angular da reta. O coeficiente b é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y; ele é chamado de coeficiente linear da reta.

36 Prof. Jorge Exemplos Uma equação geral da reta r é 2x – y + 4 = 0. Escrever a equação na forma reduzida, indicar os coeficientes angular e linear e representar a reta no plano cartesiano xOy. O coeficiente angular a = 2 e o coeficiente linear é b = 4. 2x – y + 4 = 0 – y = –2x – 4 y = 2x + 4 a = 2, o ângulo de inclinação α < 90º. b = 4, a reta intercepta o eixo y no ponto (0, 4). Vamos obter o ponto em que a reta corta o eixo x. Para isso, vamos fazer y = 0. y = 0 2x – = 0 2x = –4 x = –2 (–2, 0)

37 Prof. Jorge Exemplos Veja a representação da reta r: 2x – y + 4 = 0 no plano xOy. x y O r –2 4 y = 2x + 4

38 Prof. Jorge Exemplos O gráfico a seguir mostra uma reta s. Encontrar a equação reduzida e uma equação geral para essa reta. x y O s 45º 2 y = ax + b A reta corta o eixo y no ponto de ordenada 2, ponto (0, 2), logo b = 2. α = 180º – 45º = 135º a = tg 135º = –1. y = – x + 2 x + y – 2 = 0 α

39 Prof. Jorge Exemplos Achar a equação reduzida da reta r que passa pelos pontos A(–2, 6) e B(1, –3). x A – x B y A – y B –2 – 1 6 –(–3) a = x y == Primeiro vamos calcular a inclinação da reta. –3 9 = a = –3 Utilizando o ponto A(–2, 6), por exemplo, obtemos a equação fundamental, em seguida a equação reduzida da reta. y – y P = a(x – x P ) y – 6 = –3(x + 2) y – 6 = –3x – 6 y = –3x


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