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Prof. Jorge Ciclo Trigonométrico. Prof. Jorge Relacionando lados e ângulos Até agora trabalhamos com o conceito de arco geométrico. A medida de um arco.

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1 Prof. Jorge Ciclo Trigonométrico

2 Prof. Jorge Relacionando lados e ângulos Até agora trabalhamos com o conceito de arco geométrico. A medida de um arco geométrico é restrita ao intervalo [0, 2]. A partir de agora vamos atribuir um significado a medidas de arcos fora daquele intervalo. Passarão a fazer sentido, então, medidas de arcos menores que 0 e maiores que 2. Para chegar a essa generalização, introduziremos dois conceitos importante: arco trigonométrico e ciclo trigonométrico.

3 Prof. Jorge Ciclo trigonométrico a b O A B 1 A B 1 –1 1º quadrante 2º quadrante 3º quadrante4º quadrante

4 Prof. Jorge Ciclo trigonométrico No ciclo trigonométrico, o raio é considerado como unidade de medida. Sendo o raio r = 1, o comprimento do ciclo é C = 2r = 2.1 = 2. Isso significa que O comprimento de um arco qualquer do ciclo é numericamente igual à sua medida, em radianos. Por isso, vamos deixar de usar, a partir de agora, o símbolo rad, ao expressar a medida de um arco em radianos.

5 Prof. Jorge Associando números a pontos do ciclo A cada número real x, vamos associar a um ponto do ciclo trigonométrico. a b O A B A B + – Origem 1. Ao número real x = 0, associamos o ponto A, origem do ciclo. 2. A um número real x qualquer associamos um ponto P, final do percurso sobre o ciclo. 3. O ponto P é chamado de imagem de x no ciclo trigonométrico.

6 Prof. Jorge B A Exemplos Marcar no ciclo trigonométrico, as imagens dos números inteiros 0, 1,2, 3, 4, 5 e 6 e dos irracionais /2,, 3/2 e 2. O A B /2 3/2 2 Os números reais que acabamos de marcar pertencem à 1ª volta positiva do ciclo. Corresponde ao intervalo [0, 2[.

7 Prof. Jorge –2 B A Exemplos Marcar no ciclo trigonométrico, as imagens dos números inteiros –1, –2, –3, –4, –5 e –6 e dos irracionais –/2, –, –3/2 e –2. O A B – –1 –2 –3 –4 –5 –6 –3/2 – –/2 Os números reais que acabamos de marcar pertencem à 1ª volta negativa do ciclo. Corresponde ao intervalo [–2, 0[.

8 Prof. Jorge B A Exemplos Marcar no ciclo trigonométrico e identificar o quadrante a que pertence a imagem do real 4/3. O A B + P 4/3 4 3 rad= º = 240º

9 Prof. Jorge B A Exemplos Marcar no ciclo trigonométrico e identificar o quadrante a que pertence a imagem do real –/4. O A B – P -/4 – 4 rad= – º = –45º

10 Prof. Jorge Q 5 Exemplos Um pentágono regular está inscrito no ciclo trigonométrico conforme figura. Determine os números reais que tem como imagem cada vértice do pentágono. B A O A B P R S PB = BQ = QR = RS = SP = 2 P: 2 – 2 5 = 10 Q: = 9 10 R: = S: = 17 10

11 Prof. Jorge Os pontos A, B, A e B na figura dividem o ciclo trigonométrico em 4 partes iguais. Cada parte mede /2 ou 90º. Veja B A A B /2 0 3/2 Observação O +

12 Prof. Jorge Os pontos A, P, Q, A, R e S na figura dividem o ciclo trigonométrico em 6 partes iguais. Cada parte mede /3 ou 60º. Veja A A P /3 0 2/3 Observação O + 4/3 5/3 Q R S

13 Prof. Jorge 5/4 R Os oito pontos assinalados na figura dividem o ciclo trigonométrico em 8 partes iguais. Cada parte mede /4 ou 45º. Veja A A P /4 0 3/4 Observação O + 7/4 Q S B B /2 3/2

14 Prof. Jorge Os pontos A, P, Q, A, R e S na figura dividem o ciclo trigonométrico em 6 partes iguais. Cada parte mede /3 ou 60º. Percorrendo o ciclo no sentido negativo fica: A A P –7/3 0 –5/3 – Observação O –2/3 –/3 Q R S –

15 Prof. Jorge Arco trigonométrico

16 Prof. Jorge Arco trigonométrico Até aqui marcamos no ciclo trigonométrico imagens de números reais do intervalo [–2, 2[. São os números da 1ª volta positiva ou da 1ª volta negativa. A localização da imagem de um número real permite que sejam dadas, no ciclo, tantas voltas quantas forem necessárias, tanto no sentido positivo como no negativo. Cada ponto do ciclo trigonométrico é imagem de infinitos números reais.

17 Prof. Jorge Arco trigonométrico A origem A, por exemplo, é imagem de todo número real que indique um número inteiro de voltas completas. O A B A B 0, 2,4,6,... –2, –4, –6,... Os números acima são chamados de números congruentes.

18 Prof. Jorge Arco trigonométrico – caso geral Considere que o número real x, 0 x 2, tenha como imagem o ponto P do ciclo. O A B A B P x O Ponto P é imagem de: x 2 + x 4 + x 6 + x –2 + x –4 + x k.2 + x ou 2k + x Expressão geral dos números congruentes a x.

19 Prof. Jorge Arco trigonométrico Seja x um número real, 0 x < 2, com imagem num ponto P do ciclo. Chamamos de Arco trigonométrico de extremidade P o conjunto de todos os números reais cuja expressão geral é 2k + x, com k inteiro. Cada um dos infinitos números congruentes que definem um arco trigonométrico é uma determinação do arco. Existe uma única determinação x que está na 1ª volta positiva. Ela é chamada de determinação principal.

20 Prof. Jorge Encontrando a determinação principal Conhecendo-se uma das determinações de um arco trigonométrico, podemos encontrar sua determinação principal. Com a determinação principal, podemos raciocinar na primeira volta positiva, o que facilita a localização da extremidade do arco.

21 Prof. Jorge 5110º 360º1910º Exemplos Achar a determinação principal de 1910º e determinar o quadrante de sua extremidade e escrever a expressão geral do arco trigonométrico. 1910º = º + 110º O A B A B P 110º 90º 0o0o 180º 270º k.360º + 110º

22 Prof. Jorge –6–105º 360º–2265º Exemplos Achar a determinação principal de –2265º, determinar o quadrante de sua extremidade e escrever a expressão geral do arco trigonométrico. –2265º = –6.360º – 105º O A B A B P 255º 90º 0o0o 180º 270º – 105º + 360º = 255º k.360º + 255º

23 Prof. Jorge Exemplos Achar a determinação principal de 49/5, determinar o quadrante de sua extremidade e escrever a expressão geral do arco trigonométrico. 49 /5 = 9,8 8 < 49 /5 < –8 = 49 – 40 5 = º, 4º q. 2k + 9 /5.

24 Prof. Jorge Exemplos Achar a determinação principal de –17/3, determinar o quadrante de sua extremidade e escrever a expressão geral do arco trigonométrico. –17 /3 = –5,6 –6 < –17 /3 < –4 – = – = 3 60º, 1º q. 2k + /3.

25 Prof. Jorge Exemplos No ciclo trigonométrico da figura os pontos P e Q são alinhados com o centro O. Para o arco trigonométrico de extremidade Q, obter, em graus e radianos, a determinação principal, a expressão geral e outras duas determinações, uma positiva e outra negativa. O A B A B P Q 30º

26 Prof. Jorge Arcos trigonométricos notáveis

27 Prof. Jorge Arcos trigonométricos notáveis Os arcos trigonométricos com extremidades nos pontos A, B, A e B merecem uma atenção especial. Eles são chamados arcos notáveis. Vamos analisar a expressão geral desses arcos. Para isso, usaremos a variável k, ou seja, k {0, ±1, ±2, ±3, …}.

28 Prof. Jorge Arco de extremidade A O A B A B Equivale a um número inteiro de voltas. Como uma volta equivale a 2 (ou 360º), sua expressão geral é: 2k ou k.360º

29 Prof. Jorge Arco de extremidade B O A B A B Equivale a um número inteiro de voltas (2k ou k.360º) mais 1 quadrante (/2 ou 90º). sua expressão geral é: 2k + /2 ou k.360º + 90º

30 Prof. Jorge Arco de extremidade A O A B A B Equivale a um número inteiro de voltas (2k ou k.360º) mais meia–volta ( ou 180º). sua expressão geral é: 2k + ou k.360º + 180º

31 Prof. Jorge Arco de extremidade B O A B A B Equivale a um número inteiro de voltas (2k ou k.360º) mais 3 quadrantes (3/2 ou 270º). sua expressão geral é: 2k + 3 /2 ou k.360º + 270º

32 Prof. Jorge Arco de extremidade A ou A O A B A B Equivale a um número inteiro de meias–voltas. Como meia–volta equivale a (ou 180º). sua expressão geral é: k ou k.180º

33 Prof. Jorge Arco de extremidade B ou B O A B A B Equivale a um número inteiro de meias–voltas (k ou k.180º), mais 1 quadrante (/2 ou 90º). sua expressão geral é: k + /2 ou k.180º + 90º

34 Prof. Jorge Arco de extremidade A, B, A ou B O A B A B Equivale a um número inteiro de quadrantes. Como um quadrante equivale a /2 (ou 90º). sua expressão geral é: k /2 ou k.90º

35 Prof. Jorge Nas expressões gerais dos arcos notáveis, é importante observar: Observação 2k (ou k.360º) indica um número inteiro de voltas (origem A); k (ou k.180º) indica um número inteiro de meias–voltas (pontos A ou A); k/2 (ou k.90º) indica um número inteiro de quadrantes (pontos A, B, A ou B).

36 Prof. Jorge Exemplos Localizar, no ciclo trigonométrico, a(s) extremidade(s) do(s) arco(s) cuja expressão geral é 2k – /3. O A B A B P 60º – 2k indica um número inteiro de voltas. Partimos do ponto A, percorremos 60º no sentido negativo.

37 Prof. Jorge P Exemplos Localizar, no ciclo trigonométrico, a(s) extremidade(s) do(s) arco(s) cuja expressão geral é k.90º + 30º. A B A B 30º + K.90º indica um número inteiro de quadrantes. Partimos dos pontos A, B, A e B, percorremos 30º no sentido positivo. 30º Q R S

38 Prof. Jorge Exemplos Na figura, P e Q estão alinhados com o ponto O. Obter, em graus e radianos, a expressão geral dos arcos de extremidades P ou Q. P A B A B + 70º + Q O Partimos dos pontos A ou A, giramos 70º (ou 7/18) no sentido positivo. A expressão geral dos arcos em P ou Q é k.180º + 70º ou k + 7 /18

39 Prof. Jorge Seno, co-seno e tangente de um arco trigonométrico

40 Prof. Jorge Seno, co-seno e tangente no ciclo As definições de seno, co-seno e tangente no triângulo retângulo são restritas aos ângulos agudos. A partir do ciclo trigonométrico e do arco trigonométrico, podemos ampliar os conceitos de seno, co-seno e tangente.

41 Prof. Jorge Seno, co-seno no ciclo trigonométrico No ciclo trigonométrico destacamos o ponto P. Ele é a extremidade de um arco trigonométrico do 1º quadrante de medida, com 0º < < 90º. B A O A B P() M Q sen = PM OP = PM 1 1 = PM cos = 0M OP = 0M 1 = 0M sen = OQ = ordenada de P cos = OM = abscissa de P cos sen

42 Prof. Jorge Tangente no ciclo trigonométrico No ciclo trigonométrico destacamos o ponto P. Ele é a extremidade de um arco trigonométrico do 1º quadrante de medida, com 0º < < 90º. B A O A B P() 1 T tg = AT OA = AT 1 = AT tg = AT = ordenada de T tg

43 Prof. Jorge Sinais do seno, co- seno e tangente

44 Prof. Jorge Sinais do seno, co-seno e tangente Se x é uma determinação qualquer do arco trigonométrico, temos as seguintes definições: sen x = ordenada de P cos x = abscissa de P tg x = ordenada de T O A B A B 1 tg cos sen –1 1 + – + – ++ – – – –+ +

45 Prof. Jorge Exemplo Na figura abaixo, o ponto M é extremidade do arco trigonométrico de 30º. Determine as coordenadas de M. B A O A B M 30º 3/2 1/2 M(cos 30º, sen 30º) M(3/2, 1/2)

46 Prof. Jorge Seno e co-seno dos arcos notáveis

47 Prof. Jorge sen 0º = sen 0 = cos 0º = cos 0 = (–1, 0)A A(1,0) B(0, 1) /2 0 ou 2 O 3/2 B(0, –1) Seno e co-seno dos arcos notáveis No ciclo trigonométrico a seguir, destacamos as coordenadas dos pontos A, B, A e B, extremidades dos arcos notáveis. A(1, 0) 0 1

48 Prof. Jorge sen 90º = sen /2 = cos 90º = cos /2 = (–1, 0)A A(1,0) B(0, 1) /2 0 ou 2 O 3/2 B(0, –1) Seno e co-seno dos arcos notáveis No ciclo trigonométrico a seguir, destacamos as coordenadas dos pontos A, B, A e B, extremidades dos arcos notáveis. B(0, 1) 1 0

49 Prof. Jorge sen 180º = sen = cos 180º = cos = (–1, 0)A A(1,0) B(0, 1) /2 0 ou 2 O 3/2 B(0, –1) Seno e co-seno dos arcos notáveis No ciclo trigonométrico a seguir, destacamos as coordenadas dos pontos A, B, A e B, extremidades dos arcos notáveis. A(–1, 0) 0 –1

50 Prof. Jorge sen 270º = sen 3/2 = cos 270º = cos 3/2 = (–1, 0)A A(1,0) B(0, 1) /2 0 ou 2 O 3/2 B(0, –1) Seno e co-seno dos arcos notáveis No ciclo trigonométrico a seguir, destacamos as coordenadas dos pontos A, B, A e B, extremidades dos arcos notáveis. B(0, –1) –1 0

51 Prof. Jorge sen 360º = sen 2 = cos 360º = cos 2 = (–1, 0)A A(1,0) B(0, 1) /2 0 ou 2 O 3/2 B(0, –1) Seno e co-seno dos arcos notáveis No ciclo trigonométrico a seguir, destacamos as coordenadas dos pontos A, B, A e B, extremidades dos arcos notáveis. A(1, 0) 0 1

52 Prof. Jorge Exemplos Calcule o valor da expressão E = sen 90º. cos 180º + cos 0º. sen 270º sen 0º + tg 180º. cos 270º + cos 0º E = 1. (–1) + 1. (–1) = –2

53 Prof. Jorge Exemplos Sendo x = /2, determinar o valor de E = cos 2x + 2 sen x tg 4x – tg x/2 Substituindo x por /2, fica E = cos + 2 sen /2 tg 2 – tg /4 = – – 1 = –1

54 Prof. Jorge Exemplos Indique os sinais das expressões: a) E 1 = sen 105º.cos 200º.sec 305º.cosec 250º; b) E 2 = sen 1.cos 2. sec 3. cosec 6 O A B A B cos sen 105º 220º 250º 305º sen 105º > 0 cos 200º < 0 sec 305º > 0 cosec 250º < 0 E 1 = (+).(–).(+).(–) > 0

55 Prof. Jorge Exemplos Indique os sinais das expressões: a) E 1 = sen 105º.cos 200º.sec 305º.cosec 250º; b) E 2 = sen 1.cos 2. sec 3. cosec 6 O A B A B cos sen sen 1 > 0 cos 2 < 0 sec 3 < 0 cosec 6 < 0 E 1 = (+).(–).(–).(–) < 0

56 Prof. Jorge Observação No ciclo trigonométrico, o seno e o co-seno de um arco dependem apenas da extremidade dele. Como conseqüência, números congruentes têm mesmo seno e mesmo co-seno. Se x é a determinação principal de um arco, suas outras determinações são do tipo k.360º + x (em graus) ou 2k + x (em radianos). Logo, sen (2k + x) = sen x e cos (2k + x) = cos x

57 Prof. Jorge Exemplos Calcular sen = voltas 15 é congruente a sen 15 = sen = 0 O A B A B 0 15

58 Prof. Jorge Exemplos Calcular cos 25/6. 25/6 é congruente a /6 cos 25 /6 = cos /6 = 3/2 O A B A B 25/6 /6 30º 0


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