Ciclo Trigonométrico.

Apresentação em tema: "Ciclo Trigonométrico."— Transcrição da apresentação:

1 Ciclo Trigonométrico

2 Relacionando lados e ângulos
Até agora trabalhamos com o conceito de arco geométrico. A medida de um arco geométrico é restrita ao intervalo [0, 2]. A partir de agora vamos atribuir um significado a medidas de arcos fora daquele intervalo. Passarão a fazer sentido, então, medidas de arcos menores que 0 e maiores que 2. Para chegar a essa generalização, introduziremos dois conceitos importante: arco trigonométrico e ciclo trigonométrico.

3 Ciclo trigonométrico b 1 B A’ O A a –1 1 –1 B’ 2º quadrante

4 Ciclo trigonométrico No ciclo trigonométrico, o raio é considerado como unidade de medida. Sendo o raio r = 1, o comprimento do ciclo é C = 2r = 2.1 = 2. Isso significa que O comprimento de um arco qualquer do ciclo é numericamente igual à sua medida, em radianos. Por isso, vamos deixar de usar, a partir de agora, o símbolo rad, ao expressar a medida de um arco em radianos.

5 Associando números a pontos do ciclo
A cada número real x, vamos associar a um ponto do ciclo trigonométrico. b 1. Ao número real x = 0, associamos o ponto A, origem do ciclo. B + 2. A um número real x qualquer associamos um ponto P, final do percurso sobre o ciclo. A’ O A a Origem 3. O ponto P é chamado de imagem de x no ciclo trigonométrico. – B’

6 Exemplos Marcar no ciclo trigonométrico, as imagens dos números inteiros 0, 1 ,2, 3, 4, 5 e 6 e dos irracionais /2, , 3/2 e 2. 2 /2 1 B Os números reais que acabamos de marcar pertencem à 1ª volta positiva do ciclo. Corresponde ao intervalo [0, 2[. + 3 O A  A’ 2 6 B’ 4 5 3/2

7 Exemplos Marcar no ciclo trigonométrico, as imagens dos números inteiros –1, –2, –3, –4, –5 e –6 e dos irracionais –/2, –, –3/2 e –2. –3/2 –5 –4 B Os números reais que acabamos de marcar pertencem à 1ª volta negativa do ciclo. Corresponde ao intervalo [–2, 0[. –6 – O A –2 A’ –3 – –1 B’ –2 –/2

8 Exemplos Marcar no ciclo trigonométrico e identificar o quadrante a que pertence a imagem do real 4/3. B 4 4 rad = .180º = 240º 3 3 + A’ O A P 4/3 B’

9 Exemplos Marcar no ciclo trigonométrico e identificar o quadrante a que pertence a imagem do real –/4. B – –1 rad = .180º = –45º 4 4 A’ O A P – -/4 B’

10 Exemplos Um pentágono regular está inscrito no ciclo trigonométrico conforme figura. Determine os números reais que tem como imagem cada vértice do pentágono. 2 PB = BQ = QR = RS = SP = B 5  2  P: – = 2 5 10 Q P A’ A  2 O 9 Q: + = 2 5 10 9 2 13 R: + = 10 5 10 R S B’ 13 2 17 S: + = 10 5 10

11 Observação Os pontos A, B, A’ e B’ na figura dividem o ciclo trigonométrico em 4 partes iguais. Cada parte mede /2 ou 90º. Veja /2 B +  A’ O A B’ 3/2

12 Observação Os pontos A, P, Q, A’, R e S na figura dividem o ciclo trigonométrico em 6 partes iguais. Cada parte mede /3 ou 60º. Veja 2/3 /3 Q P +  A’ O A R S 4/3 5/3

13 Observação Os oito pontos assinalados na figura dividem o ciclo trigonométrico em 8 partes iguais. Cada parte mede /4 ou 45º. Veja /2 B 3/4 /4 Q P +  A’ O A R S 5/4 7/4 B’ 3/2

14 Observação Os pontos A, P, Q, A’, R e S na figura dividem o ciclo trigonométrico em 6 partes iguais. Cada parte mede /3 ou 60º. Percorrendo o ciclo no sentido negativo fica: –5/3 –7/3 Q P – A’ O A – R S –2/3 –/3

15 Arco trigonométrico

16 Arco trigonométrico Até aqui marcamos no ciclo trigonométrico imagens de números reais do intervalo [–2, 2[. São os números da 1ª volta positiva ou da 1ª volta negativa. A localização da imagem de um número real permite que sejam dadas, no ciclo, tantas voltas quantas forem necessárias, tanto no sentido positivo como no negativo. Cada ponto do ciclo trigonométrico é imagem de infinitos números reais.

17 Os números acima são chamados de números congruentes.
Arco trigonométrico A origem A, por exemplo, é imagem de todo número real que indique um número inteiro de voltas completas. B 0, 2, 4, 6, ... A’ O A –2, –4, –6, ... Os números acima são chamados de números congruentes. B’

18 Arco trigonométrico – caso geral
Considere que o número real x, 0 ≤ x ≤ 2, tenha como imagem o ponto P do ciclo. O Ponto P é imagem de: B x P x 2 + x A’ O A 4 + x Expressão geral dos números congruentes a x. 6 + x –2 + x –4 + x B’ k.2 + x ou 2k + x

19 Arco trigonométrico Seja x um número real, 0 ≤ x < 2, com imagem num ponto P do ciclo. Chamamos de Arco trigonométrico de extremidade P o conjunto de todos os números reais cuja expressão geral é 2k + x, com k inteiro. Cada um dos infinitos números congruentes que definem um arco trigonométrico é uma determinação do arco. Existe uma única determinação x que está na 1ª volta positiva. Ela é chamada de determinação principal.

20 Encontrando a determinação principal
Conhecendo-se uma das determinações de um arco trigonométrico, podemos encontrar sua determinação principal. Com a determinação principal, podemos raciocinar na primeira volta positiva, o que facilita a localização da extremidade do arco.

21 Exemplos Achar a determinação principal de 1910º e determinar o quadrante de sua extremidade e escrever a expressão geral do arco trigonométrico. B 90º P 1910º 360º 110º 5 110º A’ A 180º O 0o 1910º = º + 110º k.360º + 110º 270º B’

22 Exemplos Achar a determinação principal de –2265º, determinar o quadrante de sua extremidade e escrever a expressão geral do arco trigonométrico. B 90º –2265º 360º –105º –6 255º A’ A 180º O 0o –2265º = –6.360º – 105º – 105º + 360º = 255º P 270º B’ k.360º + 255º

23 Exemplos Achar a determinação principal de 49/5, determinar o quadrante de sua extremidade e escrever a expressão geral do arco trigonométrico. 49/5 = 9,8   8 < 49/5 < 10 49 49 – 40 9  324º, 4º q. – 8 = = 5 5 5 2k + 9/5.

24 Exemplos Achar a determinação principal de –17/3, determinar o quadrante de sua extremidade e escrever a expressão geral do arco trigonométrico.  –17/3 = –5,6 –6 < –17/3 < –4 –17 –17 + 18   60º, 1º q. + 6 = = 3 3 3 2k + /3.

25 Exemplos No ciclo trigonométrico da figura os pontos P e Q são alinhados com o centro O. Para o arco trigonométrico de extremidade Q, obter, em graus e radianos, a determinação principal, a expressão geral e outras duas determinações, uma positiva e outra negativa. B P A’ O 30º A Q B’

26 Arcos trigonométricos notáveis

27 Arcos trigonométricos notáveis
Os arcos trigonométricos com extremidades nos pontos A, B, A’ e B’ merecem uma atenção especial. Eles são chamados arcos notáveis. Vamos analisar a expressão geral desses arcos. Para isso, usaremos a variável k, ou seja, k  {0, ±1, ±2, ±3, …}.

28 Arco de extremidade A 2k ou k.360º B A’ O A B’
Equivale a um número inteiro de voltas. Como uma volta equivale a 2 (ou 360º), sua expressão geral é: 2k ou k.360º

29 Arco de extremidade B 2k + /2 ou k.360º + 90º B A’ O A B’
Equivale a um número inteiro de voltas (2k ou k.360º) mais 1 quadrante (/2 ou 90º). sua expressão geral é: 2k + /2 ou k.360º + 90º

30 Arco de extremidade A’ 2k +  ou k.360º + 180º B A’ O A B’
Equivale a um número inteiro de voltas (2k ou k.360º) mais meia–volta ( ou 180º). sua expressão geral é: 2k +  ou k.360º + 180º

31 Arco de extremidade B’ 2k + 3/2 ou k.360º + 270º B A’ O A B’
Equivale a um número inteiro de voltas (2k ou k.360º) mais 3 quadrantes (3/2 ou 270º). sua expressão geral é: 2k + 3/2 ou k.360º + 270º

32 Arco de extremidade A ou A’
B A’ O A B’ Equivale a um número inteiro de meias–voltas. Como meia–volta equivale a  (ou 180º). sua expressão geral é: k ou k.180º

33 Arco de extremidade B ou B’
Equivale a um número inteiro de meias–voltas (k ou k.180º), mais 1 quadrante (/2 ou 90º). sua expressão geral é: k + /2 ou k.180º + 90º

34 Arco de extremidade A, B, A’ ou B’
Equivale a um número inteiro de quadrantes. Como um quadrante equivale a /2 (ou 90º). sua expressão geral é: k/2 ou k.90º

35 Observação Nas expressões gerais dos arcos notáveis, é importante observar: 2k (ou k.360º) indica um número inteiro de voltas (origem A); k (ou k.180º) indica um número inteiro de meias–voltas (pontos A ou A’); k/2 (ou k.90º) indica um número inteiro de quadrantes (pontos A, B, A’ ou B’).

36 Exemplos Localizar, no ciclo trigonométrico, a(s) extremidade(s) do(s) arco(s) cuja expressão geral é 2k – /3. B 2k indica um número inteiro de voltas. Partimos do ponto A, percorremos 60º no sentido negativo. A’ O A 60º – P B’

37 Exemplos Localizar, no ciclo trigonométrico, a(s) extremidade(s) do(s) arco(s) cuja expressão geral é k.90º + 30º. + B Q K.90º indica um número inteiro de quadrantes. Partimos dos pontos A, B, A’ e B’, percorremos 30º no sentido positivo. 30º P + A’ A 30º 30º R + 30º S B’ +

38 Exemplos Na figura, P e Q estão alinhados com o ponto O. Obter, em graus e radianos, a expressão geral dos arcos de extremidades P ou Q. B P + Partimos dos pontos A ou A’, giramos 70º (ou 7/18) no sentido positivo. A expressão geral dos arcos em P ou Q é 70º A’ O A 70º Q B’ k.180º + 70º ou k + 7/18 +

39 Seno, co-seno e tangente de um arco trigonométrico

40 Seno, co-seno e tangente no ciclo
As definições de seno, co-seno e tangente no triângulo retângulo são restritas aos ângulos agudos. A partir do ciclo trigonométrico e do arco trigonométrico, podemos ampliar os conceitos de seno, co-seno e tangente.

41 Seno, co-seno no ciclo trigonométrico
No ciclo trigonométrico destacamos o ponto P. Ele é a extremidade de um arco trigonométrico do 1º quadrante de medida , com 0º <  < 90º. sen B P() Q PM PM sen ⍺ = = = PM 1 OP 1  A’ A 0M 0M cos ⍺ = = = 0M O M cos OP 1 sen  = OQ = ordenada de P cos  = OM = abscissa de P B’

42 Tangente no ciclo trigonométrico
No ciclo trigonométrico destacamos o ponto P. Ele é a extremidade de um arco trigonométrico do 1º quadrante de medida , com 0º <  < 90º. tg B T P() AT AT tg ⍺ = = = AT OA 1  A’ O 1 A tg  = AT = ordenada de T B’

43 Sinais do seno, co-seno e tangente

44 Sinais do seno, co-seno e tangente
Se x é uma determinação qualquer do arco trigonométrico, temos as seguintes definições: sen sen x = ordenada de P tg 1 B cos x = abscissa de P + + tg x = ordenada de T – + A’ A – + –1 O 1 cos – + + – – – –1 B’

45 Exemplo Na figura abaixo, o ponto M é extremidade do arco trigonométrico de 30º. Determine as coordenadas de M. B M M(cos 30º, sen 30º) 1/2  30º A’ A O M(√3/2, 1/2) √3/2 B’

46 Seno e co-seno dos arcos notáveis

47 Seno e co-seno dos arcos notáveis
No ciclo trigonométrico a seguir, destacamos as coordenadas dos pontos A, B, A’ e B’, extremidades dos arcos notáveis. /2 B(0, 1) (–1, 0)A’ A(1,0) O  0 ou 2 3/2 B’(0, –1) sen 0º = sen 0 = A(1, 0)  cos 0º = cos 0 = 1

48 Seno e co-seno dos arcos notáveis
No ciclo trigonométrico a seguir, destacamos as coordenadas dos pontos A, B, A’ e B’, extremidades dos arcos notáveis. /2 B(0, 1) (–1, 0)A’ A(1,0) O  0 ou 2 3/2 B’(0, –1) sen 90º = sen /2 = 1 B(0, 1)  cos 90º = cos /2 =

49 Seno e co-seno dos arcos notáveis
No ciclo trigonométrico a seguir, destacamos as coordenadas dos pontos A, B, A’ e B’, extremidades dos arcos notáveis. /2 B(0, 1) (–1, 0)A’ A(1,0) O  0 ou 2 3/2 B’(0, –1) sen 180º = sen  = A’(–1, 0)  cos 180º = cos  = –1

50 Seno e co-seno dos arcos notáveis
No ciclo trigonométrico a seguir, destacamos as coordenadas dos pontos A, B, A’ e B’, extremidades dos arcos notáveis. /2 B(0, 1) (–1, 0)A’ A(1,0) O  0 ou 2 3/2 B’(0, –1) sen 270º = sen 3/2 = –1 B’(0, –1)  cos 270º = cos 3/2 =

51 Seno e co-seno dos arcos notáveis
No ciclo trigonométrico a seguir, destacamos as coordenadas dos pontos A, B, A’ e B’, extremidades dos arcos notáveis. /2 B(0, 1) (–1, 0)A’ A(1,0) O  0 ou 2 3/2 B’(0, –1) sen 360º = sen 2 = A(1, 0)  cos 360º = cos 2 = 1

52 Exemplos Calcule o valor da expressão
sen 90º . cos 180º + cos 0º . sen 270º E = sen 0º + tg 180º . cos 270º + cos 0º 1 . (–1) (–1) E = = –2

53 Exemplos Sendo x = /2, determinar o valor de –1 + 2.1 –1 – 1
cos 2x + 2 sen x E = tg 4x – tg x/2 Substituindo x por /2, fica cos  + 2 sen /2 –1 + 2.1 E = = = –1 tg 2 – tg /4 – 1

54 Exemplos Indique os sinais das expressões:
E1 = sen 105º.cos 200º.sec 305º.cosec 250º; E2 = sen 1.cos 2. sec 3. cosec 6 sen sen 105º > 0 105º B cos 200º < 0 sec 305º > 0 A’ A cosec 250º < 0 O cos 220º 250º E1 = (+).(–).(+).(–) > 0 305º B’

55 Exemplos Indique os sinais das expressões:
E1 = sen 105º.cos 200º.sec 305º.cosec 250º; E2 = sen 1.cos 2. sec 3. cosec 6 sen sen 1 > 0 B 2 cos 2 < 0 1 sec 3 < 0 3 A cosec 6 < 0 A’ O cos 6 E1 = (+).(–).(–).(–) < 0 B’

56 Observação No ciclo trigonométrico, o seno e o co-seno de um arco dependem apenas da extremidade dele. Como conseqüência, números congruentes têm mesmo seno e mesmo co-seno. Se x é a determinação principal de um arco, suas outras determinações são do tipo k.360º + x (em graus) ou 2k + x (em radianos). Logo, sen (2k + x) = sen x cos (2k + x) = cos x e

57 Exemplos Calcular sen 15. 15 = 14 +  sen 15 = sen  = 0
 15 é congruente a  7 voltas B sen 15 = sen  = 0 A’ A 15   O B’

58 Exemplos Calcular cos 25/6. 25/6 é congruente a /6
cos 25/6 = cos /6 = √3/2 B 25/6  /6 A’ A 30º O B’