A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo.

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo."— Transcrição da apresentação:

1 Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo

2 Prof. Jorge Relacionando lados e ângulos A trigonometria tem sua origem, portanto, na necessidade de relacionar lados e ângulos de um triângulo. a hipotenusa BC = a A B C a b c o cateto AC = b o cateto AB = c A = 90º B + C = 90º

3 Prof. Jorge Relacionando lados e ângulos A B C a b c a 2 = b 2 + c 2 cateto oposto a hipotenusa = sen = c a cateto adjacente a hipotenusa = cos = b a

4 Prof. Jorge Relacionando lados e ângulos A B C a b c a 2 = b 2 + c 2 cateto oposto a = tg = c b cateto adjacente a os números sen, cos e tg são chamadas de razões trigonométricas do ângulo.

5 Prof. Jorge Exemplos O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas do ângulo B A B C Teorema de Pitágoras BC 2 = AB 2 + AC 2 x 2 = x 2 = x 2 = 400 x = 20 20

6 Prof. Jorge Exemplos O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas de B. cateto oposto a B hipotenusa sen B = = = 3 5 = 0,6 cateto adjac. a B hipotenusa cos B = = = 4 5 = 0, A B C 20

7 Prof. Jorge Exemplos O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas de B. cateto oposto a B cateto adjac. a B tg B = = = 3 4 = 0, A B C 20

8 Prof. Jorge Exemplos Calcular os ângulos agudos de um triângulo retângulo cujos lados medem 5 cm e 6 cm. 5 cm 16 6 cm x y tg y = 6 5 = 1,2 y 50º x + y = 90º x 40º

9 Prof. Jorge Outras razões trigonométricas

10 Prof. Jorge Outras razões trigonométricas A B C a b c cateto oposto a hipotenusa = cosec = a c cateto adjacente a hipotenusa = sec = a b = 1 sen = 1 cos

11 Prof. Jorge Outras razões trigonométricas A B C a b c cateto oposto a = cotg = b c cateto adjacente a = 1 tg

12 Prof. Jorge Seno, co-seno e tangente de ângulos complementares

13 Prof. Jorge Ângulos complementares A B C = 90º tg = 3 4 Os ângulos e são complementares sen = 3 5 cos = 4 5 tg = 4 3 sen = 4 5 cos = 3 5

14 Prof. Jorge Ângulos complementares A B C a b c + = 90º tg = 1 tg Os ângulos e são complementares sen = cos cos = sen sec = cosec cosec = sec cotg = tg

15 Prof. Jorge 1 cm 2 cm t Exemplo No triângulo retângulo da figura, temos: I. sen t = ½II. sec t = 5 2 III. tg t = 2 A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é(são): a) Ib) IIc) III d) II e IIIe) I, II e III

16 Prof. Jorge Seno, co-seno e tangente de 30º, 45º e 60º.

17 Prof. Jorge Seno, co-seno e tangente de 30º, 45º e 60º. 1tg ½cos ½sen 60º45º30º 2/2 3/2 3/33

18 Prof. Jorge Exemplos A partir dos dados apresentados na figura, determinar as medidas indicadas por x e y. x 16 y 30º sen 30º = x cm x = 12. 1/2 x = 6 cm cos 30º = y 12 x = /2 x = 6 3 cm

19 Prof. Jorge Exemplos Os triângulos ABC e BCD da figura são retângulos em B, sendo conhecidos os ângulos BAC = 30º e BDC = 60º, além de AD = 2 cm. Calcular os valores de x, y e z. 30º AB C D x y z 2 cm 60º

20 Prof. Jorge Identidades trigonométricas

21 Prof. Jorge Identidades trigonométricas Ferramentas de grande aplicabilidade sendo utilizadas para: Obter uma razão trigonométrica, para um dado ângulo, a partir de outra razão cujo valor seja conhecido. Simplificar expressões extensas envolvendo várias relações trigonométricas para um mesmo ângulo.

22 Prof. Jorge Identidades trigonométricas A partir do triângulo retângulo abaixo vamos deduzir algumas dessas relações. A C B a c b b 2 + c 2 = a 2 (: a 2 ) b 2 a 2 + c 2 a 2 = a 2 a 2 b a + c a = 1 22 sen + cos = 1 22 sen 2 x + cos 2 x = 1

23 Prof. Jorge b/a c/a Identidades trigonométricas A partir do triângulo retângulo abaixo vamos deduzir algumas dessas relações. A C B a c b sen cos = = b a. a c = b c = tg tg x = sen x cos x

24 Prof. Jorge c/a b/a Identidades trigonométricas A partir do triângulo retângulo abaixo vamos deduzir algumas dessas relações. A C B a c b cos sen = = c a. a b = c b = cotg cotg x = cos x sen x

25 Prof. Jorge Identidades trigonométricas - Resumo 1) sen 2 x + cos 2 x = 1 Relação fundamental 2) tg x = sen x cos x 3) cotg x = cos x sen x (cos x 0) (sen x 0) = 1 tg x 4) sec x = 1 cos x 5) cosec x = 1 sen x (cos x 0) (sen x 0)

26 Prof. Jorge Exemplos Demonstre que sec 2 x = 1 + tg 2 x. sec x = 1 cos x sec 2 x = 1 cos 2 x sec 2 x = sen 2 x + cos 2 x cos 2 x sec 2 x = sen 2 x cos 2 x + cos 2 x cos 2 x sec 2 x = tg 2 x + 1

27 Prof. Jorge Exemplos Demonstre que cosec 2 x = 1 + cotg 2 x. cosec x = 1 sen x cosec 2 x = 1 sen 2 x cosec 2 x = sen 2 x + cos 2 x sen 2 x cosec 2 x = sen 2 x sen 2 x + cos 2 x sen 2 x sec 2 x = 1 + cotg 2 x

28 Prof. Jorge Exemplos Sabendo-se que o seno de um ângulo agudo é igual a 3/5, determine o co-seno, tangente, co- tangente, secante e a co-secante desse ângulo. sen 2 x + cos 2 x cos 2 x = cos 2 x = – cos 2 x = 1 = 25 – 9 25 cos x = = ± 4/5 cos x = 4/5

29 Prof. Jorge Exemplos Sabendo-se que o seno de um ângulo agudo é igual a 3/5, determine o co-seno, tangente, co- tangente, secante e a co-secante desse ângulo. tg x = sen x cos x = = 3 4 cotg x = 1 tg x = = 4 3

30 Prof. Jorge Exemplos Sabendo-se que o seno de um ângulo agudo é igual a 3/5, determine o co-seno, tangente, co- tangente, secante e a co-secante desse ângulo. sec x = 1 cos x = = 5 4 cosec x = 1 sen x = = 5 3

31 Prof. Jorge Exemplos Simplificar as expressões: a) E 1 = tg x + cotg x – sec x. cosec x b) E 2 = cotg x. sec x cosec 2 x E 1 = tg x + cotg x – sec x. cosec x E 1 = sen x cos x + cos x sen x – 1 cos x 1 sen x. E 1 = sen 2 x sen x. cos x + cos 2 x – 1 = sen x. cos x 1 – 1 = 0

32 Prof. Jorge cos x sen x 1 cos x 1 sen 2 x Exemplos Simplificar as expressões: a) E 1 = tg x + cotg x – sec x. cosec x b) E 2 = cotg x. sec x cosec 2 x E 2 = cotg x. sec x cosec 2 x =. = 1 sen x 1 sen 2 x E 2 = 1 sen x. sen 2 x 1 = sen x

33 Prof. Jorge Ângulos e arcos na circunferência

34 Prof. Jorge O Circunferência A B C D E P r r r r r r

35 Prof. Jorge Elementos B A B A OO Corda ABDiâmetro AB

36 Prof. Jorge Elementos A B Arco AB Arco BA

37 Prof. Jorge Arcos e ângulos A B arco completoarco nulo

38 Prof. Jorge Arcos e ângulos A B Arco de meia volta O Arco AB Arco BA

39 Prof. Jorge Arco e ângulo central A B O C D E F m(AB) = m(CD) = m(EF) =

40 Prof. Jorge 0o0o 10 o 20 o 30 o 40 o 50 o 60 o 70 o 80 o 90 o 100 o 110 o 120 o 130 o 140 o 150 o 160 o 170 o 180 o 190 o 200 o 210 o 220 o 230 o 240 o 250 o 260 o 270 o 280 o 290 o 300 o 310 o 320 o 330 o 340 o 350 o O grau como unidade de medida

41 Prof. Jorge 0o0o 10 o 20 o 30 o 40 o 50 o 60 o 70 o 80 o 90 o 100 o 110 o 120 o 130 o 140 o 150 o 160 o 170 o 180 o 190 o 200 o 210 o 220 o 230 o 240 o 250 o 260 o 270 o 280 o 290 o 300 o 310 o 320 o 330 o 340 o 350 o O grau como unidade de medida

42 Prof. Jorge 0o0o 10 o 20 o 30 o 40 o 50 o 60 o 70 o 80 o 90 o 100 o 110 o 120 o 130 o 140 o 150 o 160 o 170 o 180 o 190 o 200 o 210 o 220 o 230 o 240 o 250 o 260 o 270 o 280 o 290 o 300 o 310 o 320 o 330 o 340 o 350 o 1o1o 1º = O grau como unidade de medida

43 Prof. Jorge Exemplos Na figura, os pontos A, B, C, D, E e F dividem a circunferência em seis arcos congruentes. Calcular, em graus, as medidas dos arcos AB e CE e dos ângulos centrais correspondentes. A B O C D E F AB = 360º 6 = 60º CE =2. 60º= 120º = 60º e = 120º

44 Prof. Jorge Exemplos A circunferência da figura tem 12 m de raio. Supondo que o arco AB mede 2 m, calcular em graus, a medida do arco e do ângulo central correspondente. A B O 2 m 12 m Arco (em graus) 2 m = Arco (em metros) 360º 24 m = 30º C = 2r C = C = 24

45 Prof. Jorge O radiano como unidade de medida A R O R R B Comprimento do arco (AB) = R m(AB) = 1 radiano = m(AB) = 1 rad

46 Prof. Jorge Exemplo A R O R 1,5R B Comprimento do arco (AB) = 1,5 R m(AB) = 1,5 rad = m(AB) = 1,5 rad = m(AB) = comprimento R

47 Prof. Jorge Arco completo = comprimento R = 2R R R A B O = 2 rad

48 Prof. Jorge 9 cm Exemplos B 10,8 cm A circunferência da figura tem raio igual a 9 cm e o comprimento do arco AB assinalado é 10,8 cm. Calcular, em radianos, a medida de AB. O A = comprimento R = 10,8 cm 9 cm = 1,2 rad

49 Prof. Jorge 4 cm Exemplos B 30º O arco AB da figura tem medida de 30º e o raio da circunferência é de 4 cm. Calcular, em cm, o comprimento do arco AB. O A ângulo x x = comprimento 360º 2 R 30º 2 3 = 2, 1 cm

50 Prof. Jorge R Exemplos B 40 cm Numa circunferência, o comprimento de um arco é de 40 cm. Esse mesmo arco mede 5 rad. Calcular a medida do raio da circunferência. O A R = comprimento R 5 = 40 cm R 5R = 40 R = 8 cm

51 Prof. Jorge Arcos especiais 00 o Arco nulo /290º Arco de ¼ de volta 180º Arco de meia-volta 2 360º Arco completo Medida em radianos Medida em graus Represen- tação O O O O

52 Prof. Jorge Transformando unidades As medidas de um arco em graus e radianos são proporcionais. Por isso podemos transformar uma unidade em outra por uma regra de três. 180º correspondem a rad

53 Prof. Jorge 2 5 Exemplos Transformar 72º em radianos. 180º rad 72º x x = = rad

54 Prof. Jorge Exemplos Exprimir rad em graus. rad equivale a 180º. x = 4 = º 5. 4 =


Carregar ppt "Prof. Jorge Trigonometria no Triângulo Retângulo."

Apresentações semelhantes


Anúncios Google