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Prof. Jorge Estudo de Polígonos. Prof. Jorge Enchendo a piscina A piscina de um clube de minha cidade, vista de cima, tem formato retangular. O comprimento.

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1 Prof. Jorge Estudo de Polígonos

2 Prof. Jorge Enchendo a piscina A piscina de um clube de minha cidade, vista de cima, tem formato retangular. O comprimento dela é de 18 m. o fundo é uma rampa reta. Vista lateralmente, ela tem o formato apresentado na figura. Outro dia, a piscina estava vazia. O funcionário do clube abriu o registro e começou a enchê-la. A água jorrava a uma vazão de 4 litros por segundo. 18 m x

3 Prof. Jorge Enchendo a piscina O gráfico a seguir mostra o nível x da água, em metros, na parte mais funda, em função do volume V de água despejada, em litros. V ( L) x (m) 0 C ,8 1,8 Qual é a profundidade da piscina na parte mais rasa? E na parte mais funda? Qual é a capacidade da piscina, em litros? Em quanto tempo a piscina ficará cheia?

4 Prof. Jorge Polígonos convexos

5 Prof. Jorge Definição A figura a seguir mostra um conjunto de segmentos consecutivos e não-colineares AB, BC, CD, DE, EF, FA, contidos num mesmo plano. Chama-se polígono união de todos esses segmentos e dos pontos da região interior. A B C D E F

6 Prof. Jorge Elementos Os lados AB, AC, CD, DE, EF e FA. A figura abaixo, temos o polígono ABCDEF. Nele, destacamos: Os vértices A, B, C, D, E e F. Os ângulos internos A, B, C, D, E e F. é ângulo externo relativo ao vértice A. A diagonal BD. A B C D E F

7 Prof. Jorge Nomenclatura Os polígonos recebem nomes especiais, de acordo com o numero n de seus lados. icoságono 20 octógono 8 pentadecágono15 heptágono 7 dodecágono 12 hexágono 6 undecágono 11 pentágono 5 decágono 10 quadrilátero 4 eneágono 9 triângulo3 Polígonon n

8 Prof. Jorge Polígono regular Chama-se polígono regular qualquer polígono que tem todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes. B A C D E F Os lados AB = AC = CD = DE = EF = FA. Os ângulos A = B = C = D = E = F.

9 Prof. Jorge Ângulos internos no polígono regular.

10 Prof. Jorge Soma dos ângulos internos A soma dos ângulos internos de um polígono convexo com n lados é dado por Si = (n – 2).180º. Si = (n – 2).180º A2A2 A3A3 A4A4 A5A5 AnAn A1A1

11 Prof. Jorge Ângulo interno do polígono regular No polígono regular, os n ângulos são congruentes. Chamando de i a medida de cada um deles, temos B A C D E F i i ii i i i = (n – 2).180º n

12 Prof. Jorge Ângulo interno e externo Medidas dos ângulos internos e externos de alguns polígonos regulares. 3,6º176,4º 100 lados 18º162º Icoságono 36º144º Decágono 60º120º Hexágono 72º108ºPentágono 90º Quadrilátero 120º60º Triângulo ângulo externo ângulo interno polígono

13 Prof. Jorge Exemplo Num decágono regular, cada lado mede 3 cm, Calcular seu perímetro e a medida de cada um de seus ângulos internos. Decágono regular tem 10 lados (n = 10). P = cm = 30 cm S = (n – 2).180 o = (10 – 2).180º = = 1440º i = 1440º 10 = 144º

14 Prof. Jorge Área de polígonos

15 Prof. Jorge Definição de área A área de um figura plana fechada é a medida da extensão de sua superfície. A unidade fundamental de medida de áreas é o metro quadrado (m 2 ). A área de 1 m 2 é a área de um quadrado cujo lado mede 1 m. 1 m 1 m 2 Quantos m 2 tem 1 km 2

16 Prof. Jorge Área do quadrado L L A = L 2

17 Prof. Jorge Exemplo Calcular a medida de cada lado e de cada uma das diagonais de um quadrado, cuja área mede 18 cm 2. L L D A = L 2 L 2 = 18 L = 3 2 D 2 = L 2 + L 2 D = L 2 D = D = 6 cm

18 Prof. Jorge Área do retângulo Base (b) Altura (h) A = b. h

19 Prof. Jorge Exemplo Calcular o perímetro de um retângulo de 18 m 2 de área, sabendo que um de seus lados é o dobro do outro. 2x x A = 18 x.2x = 18 2 x 2 = 18 x 2 = 9 x = 3 Os lados medem 3 m e 6 m. P = = 18 m

20 Prof. Jorge Área do Paralelogramo h A = b. h base (b)

21 Prof. Jorge º Exemplo Os lados de um paralelogramo medem 4 cm e 6 cm e formam, entre si, ângulo de 60º. Obter a sua área. h sen 60º = h 4 h = 4. sen 60º= h = 2 3 A = b. h= A = 12 3

22 Prof. Jorge Área do Losango d 1 d 2 A = d 1. d 2 2 L L L L

23 Prof. Jorge Exemplo O perímetro de um losango é 52 cm e a menor de suas diagonais mede 10 cm. Achar sua área. x y 5 P = 4.x 4.x = 52 x = 13 x 2 = y = 25 + y 2 y 2 = 169 – 25 y 2 = 144 y = 12 A = d 1. d 2 2 = A = 120 cm 2

24 Prof. Jorge Área do Trapézio A = (b 1 + b 2 ).h 2 h base (b 1 ) base (b 2 )

25 Prof. Jorge Exemplo Uma caixa de papelão tem altura constante, e as duas bases têm forma de trapézios isósceles congruentes. As medidas, em centímetros, são as da figura. Obter a área total externa da caixa

26 Prof. Jorge Exemplo Uma caixa de papelão tem altura constante, e as duas bases têm forma de trapézios isósceles congruentes. As medidas, em centímetros, são as da figura. Obter a área total externa da caixa. 15 Cálculo da altura do trapézio 10 hh h = 10 2 h = 100 h 2 = 100 – 36 h 2 = 64 h = 8

27 Prof. Jorge Exemplo Uma caixa de papelão tem altura constante, e as duas bases têm forma de trapézios isósceles congruentes. As medidas, em centímetros, são as da figura. Obter a área total externa da caixa. 15 Área do trapézio A = ( ).8 2 A = 168

28 Prof. Jorge Exemplo Uma caixa de papelão tem altura constante, e as duas bases têm forma de trapézios isósceles congruentes. As medidas, em centímetros, são as da figura. Obter a área total externa da caixa. Área da face da frente: A = = Área da face de trás: A = = 162 Área das faces laterais: A = = 120

29 Prof. Jorge Exemplo Uma caixa de papelão tem altura constante, e as duas bases têm forma de trapézios isósceles congruentes. As medidas, em centímetros, são as da figura. Obter a área total externa da caixa. Área total da superfície da caixa: A = = 708 cm

30 Prof. Jorge Área do Triângulo A = b. h 2 h base (b)

31 Prof. Jorge Exemplo Calcular a área de um triângulo cujos lados medem 10 cm, 10 cm e 16 cm. h h = 10 2 h = 100 h 2 = 36 h = 6 A = b. h 2 = = 48 cm 2.

32 Prof. Jorge Área do Triângulo Eqüilátero L L L h h = L3 2 A = L23L23 4

33 Prof. Jorge Exemplo Calcular a área de um triângulo eqüilátero cujo perímetro é 18 cm. P = 18 3L = 18 L = 6 cm A = L = A = 9 3 cm 2

34 Prof. Jorge Área do Hexágono regular L L L L L L A = 3L 2 3 2

35 Prof. Jorge 3 Exemplo Achar a área do hexágono regular em que cada apótema mede 6 cm. x O 6 x/2 θ tg 30º = x/2 6 θ = 30º 3 = x 12 x = 4 3 A = 3x = A = 72 3 cm 2

36 Prof. Jorge Área do triângulo em função da medida de dois de seus lados e do ângulo compreendido por esses lados A = b. h 2 h c b α sen α = h c h = c. sen α b. c. sen α 2 A =

37 Prof. Jorge Exemplo Num hexágono regular ABCDEF, a diagonal AC mede 6 cm. Calcular a área do hexágono. A 6 BC D E F

38 Prof. Jorge Exemplo Na figura, ABCE é um quadrado, CDE é um triângulo retângulo em D e ABF é um triângulo eqüilátero. Obter a área da região sombreada. 232 A B CE D F

39 Prof. Jorge Exemplo (UEMS) Une-se um dos vértices de um quadrado aos pontos médios dos lados que não contêm esse vértice, obtendo-se um triângulo isósceles, como mostra a figura abaixo. A área desse triângulo, em relação à área do quadrado, é: a) 0,355 b) 0,365 c) 0,375 d) 0,385 e) 0,395


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