Estudo de Polígonos Prof. Jorge.

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1 Estudo de Polígonos Prof. Jorge

2 Enchendo a piscina A piscina de um clube de minha cidade, vista de cima, tem formato retangular. O comprimento dela é de 18 m. o fundo é uma rampa reta. Vista lateralmente, ela tem o formato apresentado na figura. 18 m x Outro dia, a piscina estava vazia. O funcionário do clube abriu o registro e começou a enchê-la. A água jorrava a uma vazão de 4 litros por segundo. Prof. Jorge

3 Enchendo a piscina O gráfico a seguir mostra o nível x da água, em metros, na parte mais funda, em função do volume V de água despejada, em litros. Qual é a profundidade da piscina na parte mais rasa? x (m) 1,8 E na parte mais funda? Qual é a capacidade da piscina, em litros? 0,8 Em quanto tempo a piscina ficará cheia? 43.200 C V ( L) Prof. Jorge

4 Polígonos convexos Prof. Jorge

5 Definição A figura a seguir mostra um conjunto de segmentos consecutivos e não-colineares AB, BC, CD, DE, EF, FA, contidos num mesmo plano. Chama-se polígono união de todos esses segmentos e dos pontos da região interior. B C A D F E Prof. Jorge

6 Elementos A figura abaixo, temos o polígono ABCDEF. Nele, destacamos:
Os vértices A, B, C, D, E e F. A B C D E F  Os ângulos internos A, B, C, D, E e F. Os lados AB, AC, CD, DE, EF e FA. A diagonal BD.  é ângulo externo relativo ao vértice A. Prof. Jorge

7 Nomenclatura Os polígonos recebem nomes especiais, de acordo com o numero n de seus lados. n Polígono n Polígono 3 triângulo 9 eneágono 4 quadrilátero 10 decágono 5 pentágono 11 undecágono 6 hexágono 12 dodecágono 7 heptágono 15 pentadecágono 8 octógono 20 icoságono Prof. Jorge

8 Polígono regular Chama-se polígono regular qualquer polígono que tem todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes. B A C D E F Os ângulos A = B = C = D = E = F. Os lados AB = AC = CD = DE = EF = FA. Prof. Jorge

9 Ângulos internos no polígono regular.
Prof. Jorge

10 Soma dos ângulos internos
A soma dos ângulos internos de um polígono convexo com n lados é dado por Si = (n – 2).180º. A4 A3 Si = (n – 2).180º A2 A5 A1 An Prof. Jorge

11 Ângulo interno do polígono regular
No polígono regular, os n ângulos são congruentes. Chamando de i a medida de cada um deles, temos A C D E F B i i i = (n – 2).180º n i i i i Prof. Jorge

12 Ângulo interno e externo
Medidas dos ângulos internos e externos de alguns polígonos regulares. polígono ângulo interno ângulo externo Triângulo 60º 120º Quadrilátero 90º 90º Pentágono 108º 72º Hexágono 120º 60º Decágono 144º 36º Icoságono 162º 18º 100 lados 176,4º 3,6º Prof. Jorge

13 Exemplo Num decágono regular, cada lado mede 3 cm, Calcular seu perímetro e a medida de cada um de seus ângulos internos. Decágono regular tem 10 lados (n = 10). P = cm = 30 cm S = (n – 2).180o = (10 – 2).180º = = 1440º 1440º i = = 144º 10 Prof. Jorge

14 Área de polígonos Prof. Jorge

15 Definição de área A área de um figura plana fechada é a medida da extensão de sua superfície. A unidade fundamental de medida de áreas é o metro quadrado (m2). A área de 1 m2 é a área de um quadrado cujo lado mede 1 m. Quantos m2 tem 1 km2 1 m 1 m2 Prof. Jorge

16 Área do quadrado A = L2 L L Prof. Jorge

17 Exemplo Calcular a medida de cada lado e de cada uma das diagonais de um quadrado, cuja área mede 18 cm2. L A = L2 ⇒ L2 = 18 ⇒ L = 3√2 D D2 = L2 + L2 ⇒ D = L√2 ⇒ D = 3√2.√2 ⇒ D = 6 cm Prof. Jorge

18 Área do retângulo Altura (h) Base (b) A = b . h Prof. Jorge

19 Exemplo Calcular o perímetro de um retângulo de 18 m2 de área, sabendo que um de seus lados é o dobro do outro. A = 18 ⇒ x.2x = 18 x ⇒ 2x2 = 18 ⇒ x2 = 9 ⇒ x = 3 2x Os lados medem 3 m e 6 m. P = = 18 m Prof. Jorge

20 Área do Paralelogramo h base (b) A = b . h Prof. Jorge

21 Exemplo Os lados de um paralelogramo medem 4 cm e 6 cm e formam, entre si, ângulo de 60º. Obter a sua área. 6 4 60º h h √3 sen 60º = ⇒ h = 4. sen 60º = 4. ⇒ h = 2 √3 4 2 A = b . h = 6. 2√3 ⇒ A = 12√3 Prof. Jorge

22 Área do Losango L L A = d1 . d2 2 d2 L L d1 Prof. Jorge

23 Exemplo O perímetro de um losango é 52 cm e a menor de suas diagonais mede 10 cm. Achar sua área. x P = 4.x ⇒ 4.x = 52 5 ⇒ x = 13 y x2 = 52 + y2 ⇒ 132 = 25 + y2 ⇒ y2 = 169 – 25 ⇒ y2 = 144 ⇒ y = 12 d1 . d2 A = = ⇒ A = 120 cm2 2 2 Prof. Jorge

24 Área do Trapézio base (b1) h base (b2) A = (b1 + b2).h 2 Prof. Jorge

25 Exemplo Uma caixa de papelão tem altura constante, e as duas bases têm forma de trapézios isósceles congruentes. As medidas, em centímetros, são as da figura. Obter a área total externa da caixa. 27 6 10 15 Prof. Jorge

26 Exemplo Uma caixa de papelão tem altura constante, e as duas bases têm forma de trapézios isósceles congruentes. As medidas, em centímetros, são as da figura. Obter a área total externa da caixa. Cálculo da altura do trapézio h = 102 27 ⇒ h = 100 6 15 6 ⇒ h2 = 100 – 36 h h 10 10 ⇒ h2 = 64 15 ⇒ h = 8 Prof. Jorge

27 Exemplo Uma caixa de papelão tem altura constante, e as duas bases têm forma de trapézios isósceles congruentes. As medidas, em centímetros, são as da figura. Obter a área total externa da caixa. Área do trapézio 27 ( ).8 A = 6 15 6 2 8 8 10 10 A = 168 15 Prof. Jorge

28 Exemplo Uma caixa de papelão tem altura constante, e as duas bases têm forma de trapézios isósceles congruentes. As medidas, em centímetros, são as da figura. Obter a área total externa da caixa. 27 6 10 15 A = = 90 Área da face da frente: A = = 162 Área da face de trás: A = = 120 Área das faces laterais: Prof. Jorge

29 Exemplo Uma caixa de papelão tem altura constante, e as duas bases têm forma de trapézios isósceles congruentes. As medidas, em centímetros, são as da figura. Obter a área total externa da caixa. 27 6 10 15 Área total da superfície da caixa: A = = 708 cm2. Prof. Jorge

30 Área do Triângulo h base (b) A = b . h 2 Prof. Jorge

31 Exemplo Calcular a área de um triângulo cujos lados medem 10 cm, 10 cm e 16 cm. 10 10 h = 102 h ⇒ h = 100 8 8 ⇒ h2 = 36 ⇒ h = 6 b . h 16 . 6 A = = = 48 cm2. 2 2 Prof. Jorge

32 Área do Triângulo Eqüilátero
h L√3 h = 2 L A = L2√3 4 Prof. Jorge

33 Exemplo Calcular a área de um triângulo eqüilátero cujo perímetro é 18 cm. P = 18 ⇒ 3L = 18 ⇒ L = 6 cm L2√3 62√3 A = = ⇒ A = 9√3 cm2 4 4 Prof. Jorge

34 Área do Hexágono regular
2 Prof. Jorge

35 Exemplo Achar a área do hexágono regular em que cada apótema mede 6 cm. x/2 tg 30º = 6 O √3 x = ⇒ x = 4 √3 6 3 12 x θ x/2 3x2√3 3.48.√3 A = = 2 2 θ = 30º A = 72√3 cm2 Prof. Jorge

36 Área do triângulo em função da medida de dois de seus lados e do ângulo compreendido por esses lados
h sen α = c c h ⇒ h = c. sen α α b b . c. sen α 2 A = b . h A = ⇒ 2 Prof. Jorge

37 Exemplo Num hexágono regular ABCDEF, a diagonal AC mede 6 cm. Calcular a área do hexágono. B C 6 A D F E Prof. Jorge

38 Exemplo Na figura, ABCE é um quadrado, CDE é um triângulo retângulo em D e ABF é um triângulo eqüilátero. Obter a área da região sombreada. D 2√3 2 E C F A B Prof. Jorge

39 Exemplo (UEMS) Une-se um dos vértices de um quadrado aos pontos médios dos lados que não contêm esse vértice, obtendo-se um triângulo isósceles, como mostra a figura abaixo. A área desse triângulo, em relação à área do quadrado, é: 0,355 0,365 0,375 0,385 0,395 Prof. Jorge