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Baricentro Do baricentro até o lado é 1/3 da mediana completa. Do baricentro até o vértice é 2/3 da mediana toda. a a a b 2 b Razão de Semelhança 2.

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3 Baricentro Do baricentro até o lado é 1/3 da mediana completa. Do baricentro até o vértice é 2/3 da mediana toda. a a a b 2 b Razão de Semelhança 2

4 A8. A figura mostra um paralelogramo ABCD. Se M é ponto médio de CD e BD = 15, a medida de PB é: a) 8,5 b) 9 c) 10 d) 10,5 A BC D P M 3a 2a a 3a + a + 2a = 15 a = 2,5 PB = 7,5 + 2,5 PB = 10

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6 Teorema da Bissetriz Interna A B C D AB BC = AD DC

7 Teorema da Bissetriz Externa A AB BD = AC CD B C D

8 O triângulo ABC é isósceles, de base AC. Se AM é bissetriz interna, o valor de x é: a) 13 b) 12 c) 10 d) 9 A B M C x 4 6 x – 4 x = 6 4 4x = 6x – 24 2x = 24 x = 12

9 Os lados de um triângulo medem 20cm, 24cm e 28cm. Em quanto se deve prolongar o lado menor para que ele encontre a bissetriz do ângulo externo a ele oposto? a) 120cm b) 112cm c) 108cm d) 100cm x x = 24 x 28x = x 4x = 480 x = 120

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11 Círculo O P r d AB DC corda

12 Arco Menor e Arco Maior O A B arco menor arco maior

13 Toda Perpendicular a uma Corda de um Círculo Traçada de seu Centro, Divide esta Corda ao Meio O A B r r

14 Disco O P r

15 Uma Reta é Tangente a um Círculo se, e somente se, ela é Perpendicular ao Raio cujo Extremo é o Ponto de Tangência O A B r r

16 Por um Ponto Exterior a um círculo podem- se Traçar duas, e somente duas, Tangentes ao Círculo O A B R R P

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18 Ângulo Central O B A

19 Ângulo Inscrito O B A a b a b 2a 2b O ângulo inscrito é metade do ângulo central

20 Ângulo de Vértice Interior b ab 2 a 2 x x = a + b 2

21 Ângulo de Vértice Exterior x = a – b 2 P A B C D a b b 2 a 2 x a 2 = b 2 + x

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23 Segmentos Secantes Internos C D A B P a b b 2 b 2 a 2 a 2 PA PD = PC PB PA. PB = PC. PD

24 Segmentos Secantes Externos C B A D P PA PC = PD PB PA. PB = PC. PD a b a 2 a 2 x

25 Segmentos Tangente e Secante C B A P PA PC = PB (PC) 2 = PA. PB a a 2 a 2 x

26 A21. (PUC – MG) Num círculo de 6m de raio, por um ponto situado a 10m do centro, traça-se uma tangente. O comprimento do segmento da tangente do ponto ao círculo, em metros, mede: a) 6 b) 7 c) 8 d) 16 0 x 664 x 2 = 16 · 4 x = 8

27 A22. Na figura, 0 é o centro do círculo. Seu raio mede: a) 3 3 b) 2 3 c) 4,5 d) x 3 + x 6 · 3 = (6 + x) · x 18 = 6x + x 2 x 2 + 6x – 18 x = – x = – x = – r = 3 – = 3 3

28 A23. Uma corda de um círculo é perpendicular a um de seus diâmetros e o divide em dois segmentos proporcionais a 1 e 4. A razão entre o comprimento da corda e o diâmetro do círculo é: a) 0,6 b) 0,7 c) 0,8 d) 0,9 4aa x x 4a · a = x 2 2a = x 4a 5a = 0,8

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30 Diagonais de um Polígono Convexo Diagonal de um polígono é um segmento de reta que tem por extremidades dois vértices não-consecutivos do polígono. A B

31 Número de Diagonais de um Polígono Convexo n Seja n o número de vértices; n (n – 3) Cada vértice faz ligação com todos os outros n vértices, menos com seus adjacentes e ele próprio, ou seja, com (n – 3) vértices; nn.(n – 3) Como há n vértices, então podemos fazer n.(n – 3) ligações; A C

32 Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Em um polígono de n lados traçando-se de um dos vértices todas as diagonais possíveis, o polígono fica dividido em (n – 2) triângulos. S i = (n – 2). 180º Ângulo Interno de um Polígono Regular Todos os ângulos e todos os lados são iguais. a i = Si n

33 Soma dos Ângulos Externos de um Polígono a i + a e = 180º S i + S e = 180º. n S e = 180ºn – (n – 2). 180º S e = 180ºn – 180ºn + 360º S e = 360º Ângulo Externo de um Polígono Regular a e = 360º n aiai aeae

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35 QuadradoRetângulo l l S Quadrado = l 2 3 cm S = 3 × 3 = 9 cm 2 h b S Retângulo = b × h 3 cm 5 cm S = 5 × 3 = 15 cm 2

36 ParalelogramoTrapézio h b S Paralelogramo = b × h b h h bB bB S Trapézio = (B + b) · h 2

37 Losango S Losango = D × d 2

38 r 2p Círculo = 2 r S Disco = · r · r r r R r S Coroa = (R 2 – r 2 ) S Segmento = S Setor – S Triângulo Segmento Circular Disco Setor Circular Coroa Circular S Setor = · r 2 360º · S Disco = r 2

39 Triângulo a b c h S Triângulo = a · h 2 S Triângulo Retângulo = b · c 2 S Triângulo = p(p – a)(p – b)(p – c) ll l S Triângulo Eqüilátero = l 2 3 4

40 Triângulo Circunscrito a b c r r r S Triângulo Circunscrito = c · r 2 + b · r 2 + a · r 2 S Triângulo Circunscrito = r · a + b + c 2 S Triângulo Circunscrito = P · r

41 Triângulo Inscrito 0 a b c h a 2R = h b S Triângulo Inscrito = c · h 2 S Triângulo Inscrito = a · b · c 4R h = a · b 2R

42 Triângulo Dado apenas um Ângulo e os Lados Correspondentes b a H S Triângulo = a · H 2 sen = H b b · sen = H S Triângulo = a · b · sen 2

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44 TriânguloQuadradoHexágono 30º a R l/245º a R l/2 60º a R l/2

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46 Teorema do Seno H b a CB c sen C = H b sen B = H C sen C · b = Hsen B · c = H sen C · b = sen B · c b sen B = c sen C

47 Teorema do Cosseno H c b a mb – m c 2 = H 2 + m 2 a 2 = (b – m) 2 + H 2 c 2 – m 2 = H 2 a 2 = (b – m) 2 + c 2 – m 2 a 2 = b 2 – 2bm + m 2 + c 2 – m 2 cos = m c cos · c = m a 2 = b 2 + c 2 – 2bc · cos

48 Na figura, AC é um diâmetro do círculo e as retas r e s são tangentes ao círculo em A e B. Podemos afirmar que: a) = 2 b) + = 90º c) = 3 d) + 2 = 90º C s B A P r 90 – – º + = 180º = 2

49 Os segmentos PA, PB e QR são tangentes ao círculo da figura em A, B e C, respectivamente. Se PA = 8, calcule o perímetro do triângulo PQR. B A P C Q R 2P = 8 – y + y + 8 – x + x = 16 x y 8 – x x y 8 – y

50 Um triângulo ABC está circunscrito a um círculo. Os lados AB = 5cm, AC = 8cm e BC = 9cm tangenciam um círculo em M, N e P, respectivamente. Calcule AM. A BC M N P xx y yz z x + y = 5 x + z = 8 y + z = 9 x + y = 5 x + z = 8 –y – z = –9 2x = 4 x = 2

51 (UFES) Na figura, a medida de, em graus, é a) 52 b) 54 c) 56 d) 58 32º 58º 2 2 = 58º 2 = 58º

52 (Mack-SP) Na figura, sabe-se que m(CÂD) = 20º e m(CÊD) = 70º. Então, a medida de AMB é igual a a) 50º b) 45º c) 60º d) 30º O BA E DC M x 20º 100º 40º 70º 110º 50º x = 100º – 40º 2 x = 30º

53 (VUNESP) Sejam A, B e C pontos distintos no interior de um círculo, sendo C o centro do mesmo. Se construirmos um triângulo, inscrito no círculo, com um lado passando por A, outro por B e outro por C, podemos afirmar que este triângulo a) é acutângulo b) é retângulo c) é obtusângulo d) pode ser eqüilátero C A B diâmetro 180º 90º

54 Na figura, ABC é um triângulo inscrito no círculo, sendo BC diâmetro. A reta t é tangente ao círculo em A; e são os ângulos que t forma com AB e AC, respectivamente, e – = 38º. O ângulo Ĉ do triângulo ABC mede a) 58º b) 60º c) 62º d) 64º A t BC 90º – = 38º + = 90º 2 = 128º = 64º 128º 64º

55 As retas r e s da figura tangenciam o círculo em A e B. Então a medida x do ângulo assinalado é: a) 60º b) 65º c) 70º d) 75º P A B s r x 50º 2x 65º 2x = 130º x = 65º

56 30º Na figura, AB = 8 é diâmetro do círculo e P é o ponto médio de AQ. O perímetro do triângulo ABQ é a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 A P B Q 60º sen 30º = x = x x x = 4 2P = 8 3 = 24 O triângulo é eqüilátero

57 As bases de um trapézio isósceles circunscrito a um círculo medem 5 e 9. Calcule a medida de cada um dos lados não-paralelos. x xx x y yy y 9 5 2x = 5 x = 2,5 2y = 9 y = 4,5 x + y = 2,5 + 4,5 = 7

58 A52. Dois lados consecutivos de um quadrilátero circunscrito a um círculo medem 6cm e 8cm. Calcule as medidas dos outros dois lados do quadrilátero, sabendo que seu perímetro é 30cm. a a b b 6 6 – a a a + b a + b = 30 2a + 2b = 14 a + b = 7 l 1 = a + b = 7 l 2 = a b = = 9

59 A53. Um quadrilátero convexo está inscrito a um círculo. Dois de seus ângulos internos medem 85º e 113º. A diferença das medidas dos outros dois ângulos internos é a) 23º b) 25º c) 28º d) 32º 85º 113º Dois ângulos opostos de um quadrilátero inscrito são sempre suplementares 85º + x = 180º x = 95º 95º 113º + y = 180º y = 67º 67º 95º – 67º = 28º

60 Num quadrilátero ABCD, inscrito em um círculo, os pontos A e C são diametralmente opostos e Ĉ = 2Â. Calcule, em radianos, as medidas dos ângulos internos desse quadrilátero. A B C D a 2a 2 2 a + 2a = a = 3 2a = ; 2 ;; 2


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